模型1、“8”字模型

圖1 圖2
8字模型（基礎型）
條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。
8字模型（加角平分線）
條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

例2．（2023春·山東七年級課時練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
例3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市龍華中學校考期末）（1）在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關系： ；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù) 個；

（3）如果圖2中，，，與分別是和的角平分線，試求的度數(shù)；
（4）如果圖2中和為任意角，其他條件不變，試問與，之間存在著怎樣的數(shù)量關系（直接寫出結(jié)論即可）．
例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．
(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關系，并說明理由；
(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；
(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．
例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實、定理、常用的數(shù)學結(jié)論和基本規(guī)律為基礎，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個“8字形”中，存在結(jié)論．
我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個“飛鏢形”中，存在結(jié)論．
(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：
如圖2，、分別平分、，說明：．
(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：
①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．


模型2、“A”字模型

結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為 ．
例2．（2022·福建泉州·九年級校考期中）如圖，，若，那么（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．
例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．
（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．
（3）如圖2，請你歸納猜想與的關系是______，并說明理由．
（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關系并說明理由．
例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．
幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
應用上面模型解決問題：
(1)如圖（2），“五角星”形，求？
分析： 圖中是“A”型圖，于是，所以= ；
(2)如圖（3），“七角星”形，求；
(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?br>圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為 ．

例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
例4．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點E放在上，移動三角板，當點E從點A沿向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當時，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有 ．（填序號）

例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點在上，點在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當點落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)），設旋轉(zhuǎn)時間為秒．
(1)當______秒時，；當______秒時，；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點記為，如圖2，若有兩個內(nèi)角相等，求的值；
(3)當邊與邊、分別交于點、時，如圖3，連接，設，，，試問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

課后專項訓練
1．（2023·海南·七年級?？计谥校┤鐖D，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長交于F，那么圖中的度數(shù)是（ ）度．
A．75B．90C．100D．105
2．（2023·江西鷹潭·七年級校考階段練習）如圖，將△ABD沿∠BAC的角平分線AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
3．（2023·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，這是一副三角板疊放在一起的示意圖，則圖中等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┦堑钠椒志€，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，已知△ABC為直角三角形，若沿圖中虛線剪去∠B，∠1+∠2 =270°，則∠B等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
7．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€直角三角板與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
8．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點P是AB邊上的一個動點（不與頂點A、B重合）．則的度數(shù)可能是（ ）

A．B．C．D．
9．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
10．（2022秋·七年級課時練習）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，當，且點E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若 ，則三角板有一條邊與斜邊平行．
11．（2023·江蘇七年級期中）如圖，、的平分線交于，；、的平分線交于，；如此下去，、的平分線的交角為；…若，，則為 度．
12．（2023·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是的外角的平分線，且交延長線于點E，，則 °．
13．（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于 度．

14．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則 ．
15．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，將沿虛線剪去，則 °．
16．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點E、F在上．若，則 ．

17．（2023春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）如圖，，則 ．

18．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
19．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的度數(shù)是 ．
20．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：將兩塊三角尺按圖1擺放，固定三角尺，將三角尺繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其中，，設旋轉(zhuǎn)角為
．
(1)當時（如圖2），求的值；
(2)當時（如圖3），與相交于點F，求的值；
(3)當時，連結(jié)（如圖4），直線與相交于點F，試探究的大小是否改變？若不改變，請求出此定值；若改變，請說明理由．
21．（2023·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，直線分別交的邊、和的延長線于點D、E、F．
(1)若，則 ．(2)、、有什么數(shù)量關系？請說明理由．
22．（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）將三角尺（，）放置在上（點在內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經(jīng)過點和點，我們來研究與是否存在某種數(shù)量關系．
(1)特例探究：若，則________度，________度．
(2)類比探究：、、的關系是 ___________________．
(3)變式探究：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點在外，三角尺的兩邊、仍恰好經(jīng)過點和點，探究、、的關系(只要求直接寫出結(jié)論)：____________________．
23．（2023春·廣東深圳·七年級深圳實驗學校中學部?？计谥校┨骄款}
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個角的數(shù)量關系是______；
(2)如圖2，若，的角平分線，交于點，則與，的數(shù)量關系為______；
(3)如圖3，，分別平分，，當時，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；
(4)如圖4，如果，，當時，則的度數(shù)為______．

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