易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略切點(diǎn)所在位置及求導(dǎo)簡(jiǎn)化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）
一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)
1．概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．
詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；
③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．
2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．
3．物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．
二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1．求導(dǎo)的基本公式
2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；
（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；
（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．
3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：
應(yīng)用1．在點(diǎn)的切線方程
切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．
應(yīng)用2．過(guò)點(diǎn)的切線方程
設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．
易錯(cuò)提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點(diǎn)：
連乘形式則先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元
2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問(wèn)題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：
（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．
（3）曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過(guò)”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過(guò)點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．
3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．
4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．
例 ．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若，都有，求的取值范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，曲線在處的切線方程是，即．
（2）因?yàn)?，都有，所以?br>設(shè)，則．
記，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，．
變式1．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）顯然，要使方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
只需當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，由方程，得.
令，則直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)..
又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，
又當(dāng)時(shí)，，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
只需或.
綜上，若有兩個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為.
變式2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)原點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）易知的定義域?yàn)椋?
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程為：，
把點(diǎn)帶入切線得：，所以，的切線方程為：；
（2），
又有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則 有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
構(gòu)造函數(shù)，
則為增函數(shù)，且，
即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則， 則，
設(shè)，
方法一、原不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
令，
由單調(diào)遞增，即，
若單調(diào)遞增，即恒成立，此時(shí)符合題意；
若有解，此時(shí)有時(shí)，單調(diào)遞減，則，不符合題意；綜上所述：的取值范圍為.
方法二、，
設(shè)，在恒成立，
在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，
，
所以的取值范圍為.
變式3．已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若對(duì)，恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）解：，
所求切線斜率為，切點(diǎn)為，
故所求切線方程為，即.
（2）方法一：分離變量
由得在恒成立，令，則，
， 當(dāng)時(shí)，，即： ，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取最大值為 ，故，即的取值范圍是.
方法二：分類討論
由得在恒成立，
令，則，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，
又，故當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，令得，
令得，令得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取最小值 ，
故，即的取值范圍是，綜上所述，的取值范圍是.
方法三：數(shù)形結(jié)合
由得在恒成立，
令，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，
，,
若，當(dāng)時(shí)，，，，不合題意；
若，，
曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處的切線相同．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，解得，
故當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍是.
1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以與互為反函數(shù)，所以，
則．由，得，
設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則直線的斜率，故，
顯然，故，
所以直線的傾斜角為，
故選：B．
2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)求導(dǎo)后根據(jù)題意可得在上有解. 令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得值域，從而可得不等式，求解即可.
【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，曲線不存在與直線垂直的切線，
當(dāng)時(shí)，若曲線存在與直線垂直的切線，
只需在上有解.
令，求導(dǎo)得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，
所以k的取值范圍是.
故選：D.
3．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，切點(diǎn)分別為，，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式可得，再根據(jù)韋達(dá)定理即可得答案.
【詳解】由題意得，
過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，即，
由于，故，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，
所以為的兩個(gè)解，且，
所以，
所以.
故選：A.
4．曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.
【詳解】因?yàn)?，所以所求切線方程為，
令，則，
令，則.
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以.
因?yàn)?，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.
故選：B.
5．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在處的切線方程為B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù)的極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出在處的切線斜率，從而求切線方程，即可判斷選項(xiàng)A；令，由單調(diào)性和極值可判斷選項(xiàng)C、D；由零點(diǎn)存在定理可判斷選項(xiàng)B.
【詳解】由得，所以，又,
所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；
令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，
所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處有極大值，極大值點(diǎn)，所以C正確；
因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確
因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤.
故選：ACD
6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.
【詳解】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以l的斜率，
選項(xiàng)A中直線的斜率為，符合題意；
選項(xiàng)B中直線的斜率為，不符合題意；
選項(xiàng)C中直線的斜率為，符合題意；
選項(xiàng)D中直線的斜率為，符合題意；
故選：ACD.
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
B．在區(qū)間上的最小值為
C．過(guò)點(diǎn)有且僅有1條直線與曲線相切
D．若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進(jìn)而判斷B，求解切點(diǎn)處的切線方程，將經(jīng)過(guò)的點(diǎn)代入，利用方程的根即可判斷DC.
【詳解】的定義域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確，
，令得或，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，最小值為，故B錯(cuò)誤，
設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切線方程為，
若切線經(jīng)過(guò)，則將代入可得，
所以或，故經(jīng)過(guò)會(huì)有兩條切線，C錯(cuò)誤，
若切線經(jīng)過(guò)，則將代入得，
令，
則當(dāng)因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，
作出的圖象如下：，
要使過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則直線過(guò)點(diǎn)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
故，D正確，
故選：AD

8．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)答案見解析(3)
【分析】（1）代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，對(duì)分類討論，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）由恒成立，結(jié)合函數(shù)的極值，求的取值范圍.
【詳解】（1）時(shí)，函數(shù)，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所求切線方程為，即.
（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，
①，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
②，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
③，恒成立，在上單調(diào)遞增.
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.
于是，所以
當(dāng)且時(shí)，
由于函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸大于0，
因此，此時(shí)，符合題意.
所以的取值范圍為.
9．已知函數(shù)，且，．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的求法，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后化簡(jiǎn)，換元，求導(dǎo)，由函數(shù)的值域，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽，，
所以，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）由，得，得，
所以，，
于是，，
由，得．
當(dāng)時(shí)，，與題意不符，所以．
對(duì)兩端同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，得．設(shè)，則，設(shè)，
則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，即或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
10．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求得，求得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使，求得，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，求得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，可得，
則，，即切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
（2）解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>即，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一的，使，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
由，得，則，
所以
因?yàn)椋?
設(shè)，可得，
所以在區(qū)間上為減函數(shù)，
又由，所以，
又因?yàn)?，設(shè)，則，
可知在上單調(diào)遞增，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
11．已知，函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）由得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入計(jì)算出縱坐標(biāo)即得切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先由導(dǎo)數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得出零點(diǎn)．
【詳解】（1）由題意，，由得，此時(shí)，
所以切點(diǎn)為；
（2），時(shí)，，在上是增函數(shù)，無(wú)最小值，所以，
，
時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值，
，，
，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值為，
由題意，，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，
所以，所以，即，是減函數(shù)，
又，因此是的唯一零點(diǎn)，
所以由得．
易錯(cuò)點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號(hào)的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）
1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
第一步：確定函數(shù)的定義域；
第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
第三步：把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注意①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.
技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧
利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．
2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路
第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知 ()在區(qū)間上恒成立列出不等式；
第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題；
第三步：對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使在整個(gè)區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去；若只有在個(gè)別點(diǎn)處有，則參數(shù)可取這個(gè)值．
易錯(cuò)提醒：一：研究單調(diào)性問(wèn)題
1．函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2．已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
二：討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；
（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；
（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間(通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；
（3）恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；
（4）根的分布來(lái)定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。
例 ．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若，討論在上的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>設(shè)，
則．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，令，則．
當(dāng)時(shí)，，則即單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則即單調(diào)遞增．
綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，
，
．
（ｉ）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，不存在極大值，不符合題意．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
①當(dāng)，即時(shí)，若，即，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
若，即，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
②當(dāng)，即時(shí)，
若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞減，
故在內(nèi)無(wú)極值，不符合題意．
③當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，
在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
④當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
故在處取得內(nèi)的唯一極小值，不存在極大值，不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
變式1．已知函數(shù)．
(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（），求證：．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
所以，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以恒成立，
即，所以在上單調(diào)遞減．
（2）解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)，則，
設(shè)，可得，
所以在上是減函數(shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，
由，
設(shè)，則，
所以在上是增函數(shù)，所以，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，，在上是增函?shù)，所以，
所以，可得，所以．
變式2．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求的取值范圍．
【詳解】（1）．
由題可知：，當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；.當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）原不等式為，即．
因?yàn)?，所以?br>令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，
取，則；取，則，所以存在唯一使得，令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，即，．
故．故，
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故，解得或，
即的取值范圍為.
變式3．設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若正數(shù)，滿足，證明：.
【詳解】（1）的定義域是，.
令，解得；令，解得或.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.
（2）證明：因?yàn)椋?
設(shè)，定義域?yàn)椋瑒t，
當(dāng)時(shí)，.單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
因此，所以對(duì)任意的恒成立.
令，有
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，即，解得，即.
1．若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.
【詳解】由，可得，即，
因?yàn)?，可得，所以，其中?br>設(shè)，則，
又因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以，即，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，
設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，
所以，解得．
故選：C．
2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判斷的對(duì)稱性，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性即可求解，注意最后的范圍要考慮定義域..
【詳解】由得的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?br>，，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱.
記，
當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易知單調(diào)遞增，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
綜上，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對(duì)稱，
由此可知，要使，必有，兩邊平方整理得，解得，
又，得或，
所以的解集為.
故選：D.
3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時(shí)，的單調(diào)性確定整個(gè)增減性，由與的正負(fù)反推正負(fù)即可求解.
【詳解】設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增.
又，
當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，.
即不等式的解集為.
故選：B.
4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.
【詳解】令，則，
因?yàn)?，則，且，
可知，且僅當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等價(jià)于，
可得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：D.
5．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較大小，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】令，則．
∵在上恒成立，∴，
故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；
由，得，即，故B錯(cuò)誤；
由，得，即，故C正確；
由得，即，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
6．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）
C．存在，
D．若，則
【答案】ABD
【分析】由原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性判斷A；令，結(jié)合題設(shè)條件判斷其單調(diào)性后可判斷B，C，D.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以是定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)，
因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，而，故，
所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，
因?yàn)椋蕰r(shí)，，
所以，設(shè)，
故時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
同理在上為減函數(shù)，
對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；
對(duì)于B，，故，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，
故恒成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
，， 所以，
故時(shí)，，而，故，故D正確；
故選：ABD
7．設(shè)，若，，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．無(wú)極值點(diǎn)
C．的對(duì)稱中心是D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，建立三元方程組，結(jié)合函數(shù)解析式，利用代入法，求導(dǎo)研究單調(diào)性、函數(shù)對(duì)稱性判斷、倒序相加法，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得，
則，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，由，故C正確；
對(duì)于D，由，
則與關(guān)于對(duì)稱，
所以，
設(shè)，
，兩式相加可得：
，解得，故D正確.
故選：BCD.
8．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．若是增函數(shù)，則
D．若和的零點(diǎn)總數(shù)大于2，則這些零點(diǎn)之和大于5
【答案】ABD
【分析】直接代入即可判斷A，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，由在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出的取值方程，即可判斷C，首先說(shuō)明，得到在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，利用對(duì)數(shù)均值不等式得到，即可得到，再說(shuō)明在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、且，最后利用基本不等式證明即可.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，
則，
，
所以，故A正確；
對(duì)于B：，
令，
則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確；
對(duì)于C：在上恒成立，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，即為的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)根，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
所以和都只有個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則無(wú)零點(diǎn)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，
所以，所以，所以，
所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以，，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，
又，
所以，
所以，故D正確.
其中：不等式的證明如下：
要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，
則，可得在上單調(diào)遞減，
∴，得證.
故選：ABD
9．已知函數(shù)且．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求得，再構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，對(duì)分類討論，即可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）不等式恒成立，即恒成立，接下來(lái)研究的值域，從而分離參數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值．
【詳解】（1）函數(shù)且的定義域?yàn)?，?br>記，
則，
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則，
所以在上單調(diào)遞減；
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則，
所以在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
優(yōu)解：由題意設(shè)，則，
令，則，
令，則；令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，而且，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
（2）恒成立，即恒成立．
記，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以在上恒成立．
所以恒成立．設(shè)，則．
，
因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．
所以，故實(shí)數(shù)的最大值為．
優(yōu)解:不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，
即恒成立． 令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
即，即，
令，則單調(diào)遞增，所以，
所以，故實(shí)數(shù)的最大值為．
10．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）分，，，四種情況討論，分別求出對(duì)應(yīng)單調(diào)性．
（2）運(yùn)用同構(gòu)和換元，再通過(guò)分離參數(shù)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增；
若，則單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，令，得或．
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
③當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由，得，
即．
設(shè)，則，
所以為增函數(shù)，且的值域?yàn)椋?br>令，
所以可化為，則．
令．
因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減．
所以，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
11．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若存在極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用求導(dǎo)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求導(dǎo)得到，然后對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，
由得或，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
（2）．
當(dāng)時(shí)，令，得，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)僅有唯一的極小值點(diǎn)，
此時(shí)，顯然符合題意．
當(dāng)時(shí)，令，得或，
若，即，則，
此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；
若，即，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的極小值點(diǎn)，
由得，所以；
若，即，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的極小值點(diǎn)，
由得．
綜上所述，的取值范圍為．
易錯(cuò)點(diǎn)三：誤判最值與極值所在位置（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）
1．函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
第一步：先確定函數(shù)的定義域；
第二步：求導(dǎo)數(shù)；
第三步：求方程的根；
第四步：檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．
2．函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
技巧：
1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．
2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：（1）根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn)．
3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路
（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．
結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
5、對(duì)于任意的，總存在，使得；
6、對(duì)于任意的，總存在，使得；
7、若存在，對(duì)于任意的，使得；
8、若存在，對(duì)于任意的，使得；
9、對(duì)于任意的，使得；
10、對(duì)于任意的，使得；
11、若存在，總存在，使得
12、若存在，總存在，使得
易錯(cuò)提醒：（1）①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．
（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
例 ．已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且.
(1)求的取值范圍；
(2)若，求的最小值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?
因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等根.
所以有，解得.所以的取值范圍為.
（2）由（1）知，即，
所以可化為.因?yàn)椋?br>所以，所以
令，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?br>所以若恒成立，則，即實(shí)數(shù)的最小值為0.
變式1．已知函數(shù)，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【詳解】（1） ，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
若，則，若，則或.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點(diǎn).
故．
（2），，
當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的極值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，則，
當(dāng)時(shí)，，
令，得或；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，滿足題意，故.
（2）由（1）知，且是的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)，所以的極小值為，的極大值為.
變式3．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
易知在定義域上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞增，
故在時(shí)取得極小值，；
（2）由，
令，即，
由題意可知是方程的兩個(gè)根，則，
欲證，
即證，即證，
令，
若，定義域上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；
則，可知在時(shí)，單調(diào)遞減，
在時(shí)，單調(diào)遞增，
要符合題意則需，
又時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)不妨令，
構(gòu)造函數(shù)
，
即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即，
所以，因?yàn)椋裕?br>且在時(shí)，單調(diào)遞增，故，得證.
1．已知函數(shù)，在有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理求解．
【詳解】，由題意在上只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
設(shè)，，
時(shí)，在上沒有極值點(diǎn)，
，
時(shí)，恒成立，遞減，時(shí)，，因此，，所以，
時(shí)，恒成立，遞增，時(shí)，，因此，，所以，
時(shí)，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，
，時(shí)，，，
因此若，則在上至多只有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，所以且，由得，此時(shí)滿足題意．
綜上，的范圍是．
故選：C．
2．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義求解即可.
【詳解】據(jù)題意，應(yīng)是的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
由于，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意.
故選：C.
3．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意，求出導(dǎo)函數(shù)，可求得極值點(diǎn)分別為或，再分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極小值的定義，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
令，解得：或，
當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，即，則恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，符合題意.
故選：C.
4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先得到，根據(jù)題目條件得到不等式，求出，故，，分兩種情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，
故，解得，
則，，
要想滿足要求，則或，
解得，或，
故的取值范圍是.
故選：D
5．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．0是的極值點(diǎn)
C．在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)D．的值域是
【答案】C
【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)極值點(diǎn)定義判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，取特殊值判斷D.
【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
由B知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：C
6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.
【詳解】
所以時(shí)遞減，
時(shí)，遞增，是極值點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以，即，
故選：B.
7．已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件求出，，即可判斷．
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>在上單調(diào)遞增，且，，
所以，，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值且．
的定義域?yàn)椋桑?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取得極大值，也是最大值，，
即．所以．
故選：A
8．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（ ）
A．8B．12C．16D．32
【答案】C
【分析】先利用極值點(diǎn)的定義求得，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最值，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又在取極值，所以，
所以，，，
令，得或；令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故滿足題意，
又，故，
故選：C．
9．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；
(3)若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，沒有極小值.
(2)0
(3)
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；
（3）根據(jù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可得的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域：，，
令，則，變化時(shí)，，的變化情況如下表：
則的極大值為：，沒有極小值；
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域：，
，
令，定義域：，，
則在上是增函數(shù)，則，所以，
即在上是增函數(shù)，則.
（3），定義域：，
，
令，定義域：，，
（1）當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，則存在，使，即，
變化時(shí)，，的變化情況如下表：
則，只需，即；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；
（3）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則在上是增函數(shù)，，不合題意，
綜上所述，的取值范圍是.
10．已知函數(shù).
(1)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；
(2)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次求導(dǎo)，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算極值即可.
（2）確定，變換得到，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到取值范圍.
【詳解】（1），故，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值，.
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.
（2）顯然，要使方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
只需當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)根.
當(dāng)時(shí)，由方程，得，令，
則直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.
又當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象知要使直線與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
只需或，
綜上所述：
若有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
11．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)極值點(diǎn)的意義求出并驗(yàn)證即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
由在處取得極值，得，解得，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在處取得極值，
所以.
（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，而，即，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?
易錯(cuò)點(diǎn)四：零點(diǎn)不易求時(shí)忽略設(shè)零點(diǎn)建等式（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題）
1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)．
2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用以下方法：
（1）解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；
（3）通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．
3．已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：
方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．
方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決．
方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．
4．解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟
第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
第二步：建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義．
技巧：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：
方法1：利用零點(diǎn)存在性定理判斷法；
方法2：代數(shù)法：求方程的實(shí)數(shù)根；
方法3：幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．
方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決
2、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或
②，構(gòu)造函數(shù)或
③，構(gòu)造函數(shù)或
易錯(cuò)提醒：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根
例 ．已知函數(shù)．
(1)若在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：有兩個(gè)零點(diǎn)，，且．
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以.
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，在上無(wú)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．
所以的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).
因?yàn)樵谏嫌袠O值，所以，所以.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有極值.
（2）由已知，定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，由（1）知：，
因?yàn)?，所?令，，則.
因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
因?yàn)椋?br>由（1）知：在上單調(diào)遞減，且，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知在，即上存在唯一的零點(diǎn)，使，.
因?yàn)?
令，，則.
當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極大值，也是最大值.因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以，所以.
由（1）知在上單調(diào)遞增，且，
所以在上存在唯一的零點(diǎn)，使．
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，.
下面證明：
設(shè)，則
．
兩式相減：，
即，所以.
因?yàn)椋?br>所以
.
要證：，即證：，
只要證：，即證：.
令，即證：，．令，，
則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
所以． 即成立，
故有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.
變式1．已知函數(shù).
(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，
由，得，
，
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，
又，即當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，
令函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，
，
令函數(shù)，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得，，
即，
于是當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，
所以若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.
變式2．若函數(shù)在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
則時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得函數(shù)在處取得極小值；當(dāng)時(shí)，，
則時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．所以c的值為3.
（2），
函數(shù)定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增，時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)-1；時(shí)，，，恰有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，解得或，解得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，有極大值，時(shí)，有極小值，
恰有一個(gè)零點(diǎn)，或
解得，
綜上可知，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
變式3．已知函數(shù).
(1)求的極值：
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，解得，
當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
，令，解得，
當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故a的取值范圍為.
1．已知函數(shù)（）.
(1)求在上的最大值；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)明確函數(shù)的單調(diào)性，求出極值和端點(diǎn)值，可得答案；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值和極小值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得答案.
【詳解】（1），
可知時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
由，，，，
則.
（2）由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以，即，
解得，故的取值范圍為.
2．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，為的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合有兩個(gè)零點(diǎn)可得解；
（2）分析法轉(zhuǎn)化要證問(wèn)題，只要證，即證，即證 ，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值判斷證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，
即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，，，依題意，解得，
即的取值范圍為.
（2）不妨設(shè)，則，要證，則只要證，
即證，即證，
即證，，
而即，即證，，
令，，則，
設(shè)，，則，
即在上單調(diào)遞增，則有，
即，在上單調(diào)遞減，而，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，成立，
故有成立.
3．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）函數(shù)的極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可求的值并檢驗(yàn)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，由函數(shù)極值的符號(hào)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，故．
（2）由（1）可知，．
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以
解得，故的取值范圍為．
4．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在上存2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；
（2）討論當(dāng)時(shí)，方程變形為，設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）若，在上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；
若，由，得，
令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以，
又，
所以要使直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
5．已知函數(shù).
(1)若存在實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在有解，求導(dǎo)得最值，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，即可得，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）由得即在有解，
令，只需，
，當(dāng)時(shí)，遞增，
當(dāng)時(shí)，遞減，
.
（2）有兩個(gè)不同零點(diǎn)有兩個(gè)不同實(shí)根，
令，則，又，
當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，
又，不妨設(shè)，
令，
，
在遞增，，即，
又，
，
，
下證，
設(shè)，直線的方程在處的切線為，
設(shè)，則，
即，
設(shè)則.
在遞增，，
，.綜上.
6．已知．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)可得分兩種情況討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且，令，結(jié)合單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）．
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，
要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
則，且，
令，則，
令，則，
∴即在上單調(diào)遞減．
∵，，
∴，使得，
且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
且，
且，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，不符合題意,所以整數(shù)a的最大值為-2．
7．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
(2)若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分與討論，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由得，且定義域?yàn)?br>∵，令，即，解得，
令，解得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
在處的極小值為，無(wú)極大值.
（2）當(dāng)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
故在區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由（1）得在上最小值為，
若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，整理得.
8．已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)最小值解決不等式恒成立問(wèn)題，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）由函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，令，可得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)其求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的最大值為，解得，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）由題意可知，所以（*）
因，令，則，
于是由（*）式可得，
構(gòu)造函數(shù)，，
對(duì)其求導(dǎo)得，
令，，對(duì)其求導(dǎo)得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因此，，
于是，得證．
9．已知．
(1)若當(dāng)時(shí)函數(shù)取到極值，求的值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)1(2)答案見解析
【分析】（1）求得，由，得到，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，求得，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在單調(diào)遞增．，結(jié)合，，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，得出在沒有零點(diǎn)，在由，得到存在唯一，使得，即可得到答案.
【詳解】（1）解：函數(shù)，可得
因?yàn)闀r(shí)函數(shù)取到極值，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，可得，
令，
可得，
令，可得，所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋栽趨^(qū)間上，即單調(diào)遞增，
所以是的變號(hào)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取到極值．
（2）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
令，
則，
所以在單調(diào)遞增，則，
所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，可得，
令，
可得，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，，則，
所以在單調(diào)遞增．
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，
所以存在使得．則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故在沒有零點(diǎn)，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，而，
所以，
則，
所以存在唯一，使得，
故在存在唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)．
10．設(shè)函數(shù)，其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為，為的零點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)分類討論，求出和的解，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）分和兩種情況討論，時(shí)，易得零點(diǎn)為0，直接比較即可，時(shí)，，再由，可得，再結(jié)合基本不等式即可證明.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
所以時(shí)，或，
時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)， ， 所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
所以時(shí)， 或，
時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可知時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
由為的零點(diǎn)，則，則，故，
若，由（1）可知，則；
若，則，故,化簡(jiǎn)得
即，又，所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
綜上所述，恒成立．
11．已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；極大值，無(wú)極小值
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在原理分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，，．
令，解得；令，解得．
所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，有極大值；無(wú)極小值．
（2）．
當(dāng)時(shí)，．
令，則．
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減．
，
．
所以在上存在唯一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，．
由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立．
令，，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，“”成立．
所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，不存在零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)或時(shí)，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，不存在零點(diǎn)．基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
（為常數(shù)）
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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