一、選擇題
1．已知復數(shù)，則其共軛復數(shù)的虛部為( )
A.B.C.D.
2．圓錐的軸截面是正三角形,那么它的側面積是底面積的( )
A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
3．已知m,n為兩條不同的直線,,為兩個不同的平面,對于下列四個命題：
①,,,;
②,;
③,,;
④,.
其中正確命題的個數(shù)有( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
4．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形,如圖所示,,,,則原平面圖形的面積為( )
A.B.C.D.
5．一個正方體表面積與一個球表面積相等，那么它們的體積比是( )
A.B.C.D.
6．O為所在平面內(nèi)一點,且滿足,則O是的( )
A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心
7．以下4個命題，其中正確的命題的個數(shù)為( )
（1）在復平面內(nèi)，虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù)；
（2）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則是的充分必要條件；
（3）已知向量，，，若，，則；
（4）在平面內(nèi)，A，B，C三點在同一條直線上，點O是平面內(nèi)一點，若，，則.
A.0B.1C.2D.3
8．已知球O為正三棱柱的外接球,正三棱柱的底面邊長為1,高為3,則球O的表面積是( )
A.B.C.D.
9．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知的面積為S，，，，則的最小值為( )
A.2B.C.3D.
二、填空題
10．設i是虛數(shù)單位,復數(shù)為純虛數(shù),則實數(shù)a為_______________.
11．已知點，，，則在上的投影向量為________.
12．在中,，，，則________.
13．已知與為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________________.
三、雙空題
14．已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且,,,則球的表面積為_____________,球的體積為___________.
15．已知在中，，，且的最小值為3，則________，若P為邊上任在一點，則的最小值為________.
四、解答題
16．已知向量,.
(1)若,求k的值;
(2)若.
①求與的夾角的余弦值;
②求.
17．如圖,在四棱錐中,底面是菱形,M為的中點,N為的中點.
(1)求證：直線平面;
(2)過點C,D,M的平面與棱交于點Q,求證：Q是的中點.
18．在中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且與共線.
(1)求B;
(2)若,且,,求的面積.
19．如圖：在正方體中，M為的中點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)求證：平面；
(3)若為的中點，求證：平面平面.
20．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，.
(1)求B的大??；
(2)若，求的面積；
(3)求的最大值.
參考答案
1．答案：A
解析：因為.
所以.
所以的虛部為.
故選：A
2．答案：D
解析：設圓錐的底面半徑為r,因為圓錐的軸截面是正三角形,所以母線,
所以：.
故選：D.
3．答案：A
解析：對于①：因為面面平行的判定定理要求m,n相交,若沒有,則,可能相交,故①錯誤;
對于②：因為線面平行的判定定理要求,若沒有,則可能,故②錯誤;
對于③：根據(jù)線、面位置關系可知：//,或m,n異面,故③錯誤;
對于④：根據(jù)線、面位置關系可知：//,或m,n異面,故④錯誤;
故選：A.
4．答案：A
解析：如圖,在直觀圖中過點A,作交于點E,
因為,,,
所以,,即
將直觀圖還原為平面圖如下：
則,,,
所以.
故選：A.
5．答案：C
解析：設正方體的棱長為a,球的半徑為R，
由6a2＝4πR2得＝，故
故答案為C.
6．答案：B
解析：依題意,,
,
,
則,于是,
所以O是的外心.
故選：B.
7．答案：B
解析：（1）在復平面內(nèi)，虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù)；錯誤，虛軸上的原點所對應的復數(shù)不是純虛數(shù)，錯誤；
(2)在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c則，故是的充分必要條件，正確；
(3)已知向量，，，若，，則；錯誤，當時，滿足條件，但結論不成立，錯誤；
(4)若O在A，B，C所在直線上不成立，錯誤；
故正確的命題個數(shù)為1個.
故選：B.
8．答案：B
解析：設三棱柱的高為h,底邊邊長為a.設球O的半徑為R,
則三棱柱底面三角形的外接圓半徑r滿足：,解得：
由題知,,
,
故球O的表面積為,
故選：B.
9．答案：D
解析：，，
由正弦定理得，
，，
，
，
，，當且僅當時取等號
，
，.故選D
10．答案：2
解析：,
它為純虛數(shù),則且,解得.
故答案為：2.
11．答案：
解析：因為，，，
所以，，
所以，
所以在上的投影向量為.
故答案為：
12．答案：
解析：在中,由余弦定理的推論:,
又.
故答案為:.
13．答案：
解析：不妨令，，
所以，
，
因為與的夾角為鈍角，
所以且與不反向，
若，則，解得，
若與共線，則，解得，
綜上可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14．答案：;
解析：在中,由,,得,則,
外接圓半徑,設球半徑為R,依題意,,
即,,
所以球的表面積,體積.
故答案為：;.
15．答案：（1）；/-3.0625
解析：因為
，
當且僅當時等號成立.
又因為的最小值為，所以，
解得，所以.
如圖所示建立直角坐標系，則，，，
設，.
所以，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為.
故答案為：；.
16．答案：(1)或
(2)①;②.
解析：（1）因為,所以或.
（2）因為
.
此時,.
①,,.
所以.
②因為,所以.
17．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：(1)取的中點E,連接,,
因為M,N分別為,的中點,
所以,,
因為底面是菱形,即,所以,
又平面,平面,
所以平面,
同理可得平面,
又,,平面,
所以平面平面,
又因為平面,
所以平面;
（2）因為過點C,D,M的平面與棱交于點Q,
又,平面,平面,所以平面,
又平面平面,平面,
所以,所以,
所以Q為的中點,即Q與中點E重合,所以Q是的中點.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,
因為向量與向量共線,則,
由正弦定理可得,
所以,,
、,則,所以,,因此,.
（2）,且,,,,
在中,由余弦定理有,
即,即,,解得,
所以,.
19．答案：(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
解析：(1)正方體中，M為的中點,底面，；
(2)證明:如圖,連接BD,設交AC于點O，O是DB的中點,M是的中點,
,且平面，平面,
平面；
（3）證明：N是的中點,M是的中點,
四邊形為平行四邊形,
,且平面，平面,
平面由（1）知平面,且,
平面平面.
20．答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）
由正弦定理得
.
（2）由余弦定理得
（3）由得
(當且僅當時取等號)
設,則
設在區(qū)間上遞增

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