一、選擇題
1．的虛部為( )
A.1B.-1C.iD.
2．已知向量,,則( )
A.B.C.D.
3．袋中有大小相同,質(zhì)地均勻的2個紅球和3個黃球,從中無放回的先后取兩個球,取到紅球的概率為( )
A.B.C.D.
4．下列說法中正確的是( )
A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱柱的各條棱都相等
C.所有幾何體的表面都能展成平面圖形D.正方體和長方體都是特殊的四棱柱
5．已知i是虛數(shù)單位,若,則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.B.C.D.
6．已知球的體積為,則它的半徑為( )
A.2B.C.4D.
7．在中,已知,,則等于( )
A.4B.3C.D.
8．若棱長為1的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的體積為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．設(shè)m,n是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,則下列命題中不正確的為( )
A.若,,則
B.若,,則
C.若,,,則
D.若,,,則
10．下列命題中正確的有( )
A.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)
B.數(shù)據(jù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位數(shù)為5
C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙
D.為調(diào)查學(xué)生每天平均閱讀時間,某中學(xué)從在校學(xué)生中,利用分層抽樣的方法抽取初中生20人,高中生10人．經(jīng)調(diào)查,這20名初中生每天平均閱讀時間為60分鐘,這10名高中生每天平均閱讀時間為90分鐘,那么被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時間為70分鐘
11．在中,若,則B( )
A.60°B.150°C.120°D.30°
12．如圖,正方體的棱長為a,線段上有兩個動點(diǎn)E,F,且.則下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)E與重合時,異面直線與所成的角為
B.三棱錐的體積為定值
C.在平面內(nèi)的射影長為
D.當(dāng)E向運(yùn)動時,二面角的平面角保持不變
三、填空題
13．某校選修輪滑課程的學(xué)生中，一年級有20人，二年級有30人，三年級有20人.現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個樣本，已知在一年級的學(xué)生中抽取了4人，則這個樣本中共有____________人.
14．中,a,b,c分別為,,的對邊,,,則______________.
15．已知單位向量,的夾角為,與垂直,則___________.
16．如圖,在正方體中,E,F依次是和的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為________________．
四、解答題
17．已如i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時,z是純虛數(shù);
（2）若,求的值．
18．若,求下列的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）,其中為,的夾角
19．本著健康、低碳的生活,租共享電動自行車出行的人越來越多,某共享電動自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價2元（20分鐘及以內(nèi)）,超過20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元（不足10分鐘的部分按10分鐘計算）．現(xiàn)有甲、乙、丙三人來該租車點(diǎn)租車是相互獨(dú)立的（各租一車一次）,設(shè)甲、乙、丙不超過20分鐘還車的概率分別為,,,20分鐘以上且不超過30分鐘還車的概率分別為,,三人租車時間都不會超過40分鐘．
（1）求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用完全相同的概率：
（2）求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為11元的概率．
20．已知中,,．再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求：
（1）b的值;
（2）的面積．
條件①：;
條件②：．
21．三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,且,O、M分別為、的中點(diǎn).
（1）求證：平面;
（2）求證：平面平面;
（3）求三棱錐的體積.
22．如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,.
（1）求證：平面;
（2）求證：直線平面;
（3）求直線與平面所成角的正切值．
參考答案
1．答案：A
解析：因為,
的虛部為1．
故選：A．
2．答案：A
解析：因為,所以,故選A.
3．答案：C
解析：由題意,給2個紅球編號為1、2,給3個黃球編號為3、4、5,
則無放回的先后取出兩個球的所有基本情況有：
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
共20種;
取到紅球的基本情況有：,,,,,,,,,,,,,,共14種.
故所求概率.
故選：C.
4．答案：D
解析：棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確;
棱柱的各條側(cè)棱相等,所以B不正確;
球不能展開為平面圖形,C不正確;
正方體和長方體都是特殊的四棱柱,D正確;
故選：D．
5．答案：C
解析：,
,即z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為
故選：C．
6．答案：A
解析：設(shè)球的半徑為r,則,解得.
故選：A.
7．答案：C
解析：由余弦定理可得,,
所以．
故選：C．
8．答案：C
解析：因為正方體的體對角線長為其外接球的直徑,所以球的直徑為,即半徑,
故其體積為．
故選：C．
9．答案：ACD
解析：對于A,m,n可能平行或者異面,故A錯誤,
對于B,若,,,則,故B正確,
對于C,或,故C錯誤,
對于D,一個平面內(nèi)的一條直線要垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,才可以得到兩個平面垂直,故D錯誤,
故選：ACD.
10．答案：BCD
解析：對于A,1,2,3,3,4,5的中位數(shù)為3,眾數(shù)也為3,故A錯誤;
對于B,將數(shù)據(jù)由小到大排列為：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,
因為,所以數(shù)據(jù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位數(shù)為5,故B正確;
對于C,乙的平均數(shù)為,
方差為,
所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙,故C正確;
對于D,被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時間為分鐘,故D正確.
故選：BCD.
11．答案：AC
解析：因為,,
所以(大邊對大角),
由正弦定理可知,
,
又因為,
或．
故選：AC．
12．答案：BCD
解析：A：當(dāng)E與重合時,因為,此時F為的中點(diǎn),記BD中點(diǎn)為O,連接,
由正方體性質(zhì)可知,,,所以四邊形為平行四邊形,
所以,又,,,
所以,錯誤;
B：,易知點(diǎn)A到平面的距離和點(diǎn)B到直線的距離為定值,所以三棱錐的體積為定值,正確;
C：易知,在平面內(nèi)的射影在上,所以射影長為,正確;
D：二面角,即為二面角,顯然其平面角不變,正確.
故選：BCD.
13．答案：14
解析：設(shè)這個樣本中共有n個人，則，解得.故答案為14.
14．答案：
解析：由余弦定理可得：,可得：,
由正弦定理可得：,
故答案為：．
15．答案：
解析：單位向量,的夾角為,
,
與垂直,
則實(shí)數(shù),
故答案為：.
16．答案：
解析：在正方體中,連、、,
,F依次是和的中點(diǎn),
所以且,所以四邊形為平行四邊形,
所以且,又且,
所以且,所以四邊形為平行四邊形,
,是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角）,
設(shè)正方體的棱長為2,則,
．
異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：．
17．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則,解得,所以．
（2）當(dāng)時,,則,．
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：（1）由,得
（2）由,得
（3）由,得
（4）由得,
（5）由得
（6）
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意可得,甲、乙、丙30分鐘以上且不超過40分鐘還車的概率分別
為,
三人都為不超過20分鐘還車的概率,
三人都20分鐘以上且不超過30分鐘還車的概率,
三人都30分鐘以上且不超過40分鐘還車的概率
甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用完全相同的概率為．
（2）由題意可得,甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為11元,
則三人的租車費(fèi)用組合為3,4,4,
甲租車費(fèi)用為3元,其余租車費(fèi)用為4元的概率
乙租車費(fèi)用為3元,其余租車費(fèi)用為4元的概率
丙租車費(fèi)用為3元,其余租車費(fèi)用為4元的概率
即甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為11元的概率為．
20．答案：答案不唯一,具體見解析．
解析：（1）若選擇①,
由,得,
由,,得,
解得或．
若選擇②,
由,得,
由,,得,
解得．
（2）若選擇①
,,則
當(dāng)時,,面積,
當(dāng)時,,的面積
若選擇②
,,則
所以的面積．
21．答案：（1）證明見解析;
（2）證明見解析;
（3）.
解析：（1）證明：O、M分別為、的中點(diǎn), ,
又平面,平面, 平面;
（2）證明：,O為的中點(diǎn), ,
又平面平面,平面平面,
且平面, 平面,又平面,
平面平面;
（3）在等腰直角三角形中,,
,,等邊三角形的面積,
又平面,三棱錐的體積,
.
22．答案：（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）
解析：（1）證明：因為四邊形是菱形,所以．
因為平面,平面,所以平面．
（2）證明：因為四邊形是菱形,所以．
又因為平面,平面,所以．
又因為,平面,
所以平面．
（3）如圖,過B作,連接,
因平面,平面,所以．
又因為,
,平面,所以平面．
所以是直線與平面所成的角．
因為,,所以
在中,,,
所以．
所以直線與平面所成角的正切值是．

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