正方形中的相交垂線段問題
模型分析:在正方形內(nèi),證明線段相等,構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.等量關(guān)系:如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別是AD與DC邊上的兩點,BE⊥AF,垂足為O,則BE=AF.
圖形演變:在正方形內(nèi),分別連接兩組對邊上任意兩點,得到的兩條線段[如:圖(1)中的線段AF與BE,圖(2)中的線段AF與EG,圖(3)中的線段HF與EG]滿足:若垂直,則相等;若相等,則垂直.
[圖(2)思路:過點B作BM∥GE交AD于點M;圖(3)思路:過點B作BM∥GE交AD于點M;過點A作AN∥HF交CD于點N]
1.如圖所示,正方形ABCD的邊長為8,點E是CD的中點,HG垂直平分AE且分別交AE,BC于點H,G,則 BG=　 　.?
2.(2022山西)如圖所示,在正方形ABCD中,點E是邊BC上的一點,點F在邊CD的延長線上,且BE=DF,連接EF交邊AD于點G.過點A作AN⊥EF,垂足為M,交邊CD于點N.若BE=5,CN=8,則線段AN的長為　 　.?
3.(2023紹興)如圖所示,在正方形ABCD中,點G是對角線BD上的一點(與點B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長AG交EF于點H.(1)求證:∠DAG=∠EGH;
(1)證明:在正方形ABCD中,AD⊥CD.又∵GE⊥CD,∴AD∥GE.∴∠DAG=∠EGH.
(2)判斷AH與EF是否垂直,并說明理由.
(2)解:AH與EF垂直.理由如下:連接GC交EF于點O,如圖所示.∵BD為正方形ABCD的對角線,∴∠ADG=∠CDG=45°.又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG.∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四邊形FCEG為矩形.∴OE=OC.∴∠OEC=∠OCE.∴∠DAG=∠OEC.又∵∠DAG=∠EGH,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°.∴∠GHE=90°.∴AH⊥EF.
正方形中過對角線交點的直角問題
5.(2023海南一模)將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點P放在邊長為1的正方形ABCD的對角線AC上滑動,一條直角邊始終經(jīng)過點B,另一條直角邊與射線DC交于點E.
(1)當(dāng)點E在邊DC上時,如圖(1)所示,求證:①△PBC≌△PDC;②PB=PE.
(1)證明:①∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCP=∠DCP=45°.又∵CP=CP,∴△PBC≌△PDC.
②過點P分別作PF⊥BC于點F,PG⊥CD于點G,如圖所示.易證四邊形PFCG為正方形,∴∠BFP=∠EGP=90°,PF=PG.∵∠EPG+∠EPF=90°=∠BPF+∠EPF,∴∠EPG=∠BPF.∴△PFB≌△PGE(ASA).∴PB=PE.
(2)當(dāng)點E在邊DC的延長線上時,如圖(2)所示,則(1)中的結(jié)論②還成立嗎?如果不成立,請說明理由;如果成立,請給予證明.
(2)解:PB=PE成立.證明如下:設(shè)PE交BC于點O,如圖所示.∵∠BPE=∠BCE=90°,∠BOP=∠COE,∴∠PBC=∠PEC.由(1)得∠PBC=∠PDC,∴∠PDC=∠PEC.∴PE=PD.又∵PB=PD,∴PE=PB,故(1)中的結(jié)論②仍然成立.
正方形中的三垂直全等模型
模型分析:在正方形中,作垂線,構(gòu)造全等三角形,作垂線是解決問題的關(guān)鍵.等量關(guān)系:如圖,點E是正方形ABCD的邊BC上一點,EF⊥AE于點E,FH⊥BH于點H,則△ABE≌△EHF
圖形演變:(1)如圖(1)所示,點G是正方形ABCD的邊BC上一點,DE⊥AG于點E,BF⊥AG于點F,則△ADE≌△BAF;(2)如圖(2)所示,直線l過正方形ABCD的頂點A,過點B,D分別作直線l的垂線,垂足分別為F,E,則△ADE≌△BAF;
(3)條件:四邊形ABDC和四邊形AEFG均為正方形,結(jié)論:△ABG≌△ACE,直線BG⊥CE.
模型分析:在正方形中,延長線段等于已知線段,通過證明三角形全等來證明一線段等于兩線段的和,延長線段作輔助線是解決問題的關(guān)鍵.等量關(guān)系:如圖所示,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,則EF=BF+DE.
圖形演變:(1)如圖所示,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,則:①EF=BE+DF;②△CEF的周長為正方形ABCD邊長的2倍;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF;④MN2=BM2+DN2;(2)如圖所示,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,FA平分∠DFE,則EF= DF-BE.
9.如圖所示,點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,且 ∠MAN=45°.把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE.(1)求證:△AEM≌△ANM;
(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得△ADN≌△ABE,∴∠DAN=∠BAE,AE=AN,∠D=∠ABE=90°.∴∠ABC+∠ABE=180°.∴點E,B,C三點共線.∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°.∴∠MAE=∠MAN.又∵M(jìn)A=MA,∴△AEM≌△ANM(SAS).

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