TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21833" 【題型1 行程問(wèn)題】 PAGEREF _Tc21833 \h 1
\l "_Tc29527" 【題型2 工程問(wèn)題】 PAGEREF _Tc29527 \h 2
\l "_Tc29773" 【題型3 銷售利潤(rùn)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc29773 \h 3
\l "_Tc9910" 【題型4 航行問(wèn)題】 PAGEREF _Tc9910 \h 4
\l "_Tc23438" 【題型5 和、差、倍、分問(wèn)題】 PAGEREF _Tc23438 \h 5
\l "_Tc21761" 【題型6 數(shù)字問(wèn)題】 PAGEREF _Tc21761 \h 5
\l "_Tc27683" 【題型7 圖形問(wèn)題】 PAGEREF _Tc27683 \h 6
\l "_Tc31228" 【題型8 方案問(wèn)題】 PAGEREF _Tc31228 \h 7
【題型1 行程問(wèn)題】
【例1】（2023·河南許昌·八年級(jí)期末）小麗和小穎相約周末到時(shí)代廣場(chǎng)看電影，她們的家分別距離時(shí)代廣場(chǎng)1800m和2400m.兩人分別從家中同時(shí)出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3，結(jié)果小麗比小穎晚4min到達(dá)劇院．
（1）求兩人的速度．
（2）要想同時(shí)達(dá)到，小穎速度不變，小麗速度需要提高 m/min.
【變式1-1】（2023·重慶·四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）某天運(yùn)動(dòng)員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務(wù)，到達(dá)銀行發(fā)現(xiàn)沒(méi)有帶銀行卡（停留時(shí)間忽略不計(jì)），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．
(1)求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時(shí)間僅剩半小時(shí)，為了節(jié)約時(shí)間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時(shí)9分鐘到達(dá)銀行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？
【變式1-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一半時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時(shí)離表演開(kāi)始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館．已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進(jìn)家取票時(shí)間共用4分鐘．
（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？
（2）請(qǐng)你判斷小明能否在表演開(kāi)始前趕到科技館，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
【變式1-3】（2023·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)期末）小明和小強(qiáng)兩名運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者周末相約到濱江大道進(jìn)行跑步鍛煉．
（1）周六早上6點(diǎn)，小明和小強(qiáng)同時(shí)從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時(shí)到達(dá).若小明每分鐘比小強(qiáng)多行220米，求小明和小強(qiáng)的速度分別是多少米/分？
（2）兩人到達(dá)濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強(qiáng)的跑步速度是小明跑步速度的m倍，兩人在同起點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，結(jié)果小強(qiáng)先到目的地n分鐘．
①當(dāng)m=3，n=6時(shí)，求小強(qiáng)跑了多少分鐘？
②小明的跑步速度為_(kāi)______米/分（直接用含m，n的式子表示）．
【題型2 工程問(wèn)題】
【例2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）湖州市在2017年被評(píng)為“全國(guó)文明城市”，在評(píng)選過(guò)程中，湖州市環(huán)衛(wèi)處每天需負(fù)責(zé)市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時(shí)可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃車每小時(shí)可以清掃42千米的馬路.
（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時(shí)各能清掃多長(zhǎng)的馬路？
（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時(shí)間為6小時(shí)）？
（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開(kāi)始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時(shí)又增加了若干個(gè)環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作．2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴(kuò)大清掃范圍60千米，同時(shí)又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時(shí)環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時(shí)間仍與5月份相同，那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？
【變式2-1】（2023·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h完成，現(xiàn)計(jì)劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作的34。假設(shè)這些工人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排幾名工人工作？
【變式2-2】（2023·遼寧·大石橋市石佛中學(xué)八年級(jí)期末）大石橋市政府為了落實(shí)“暖冬惠民工程”，計(jì)劃對(duì)城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進(jìn)行全面更新改造．該工程乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)是甲隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的1.5倍 ， 若甲隊(duì)先做10天，剩下兩隊(duì)合作30天完成．
（1）甲乙兩個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？
（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.4萬(wàn)元，乙對(duì)每天的施工費(fèi)用為5.6萬(wàn)元，工程施工的預(yù)算費(fèi)用為500萬(wàn)元，為了縮短工期并高效完成工程，擬預(yù)算的費(fèi)用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬(wàn)元？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-3】（2023·廣西貴港·八年級(jí)期中）某校改造維修田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所，項(xiàng)目承包單位派遣了一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場(chǎng)施工，計(jì)劃用30天完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)施工10天后，由于實(shí)際需要，要求整個(gè)工程比原計(jì)劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號(hào)施工隊(duì)與一號(hào)施工隊(duì)共同施工，結(jié)果按實(shí)際需要如期完成整個(gè)工程
(1)如果二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
(2)如果一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)共同施工，完成整個(gè)工程需要多少天？
【題型3 銷售利潤(rùn)問(wèn)題】
【變式3-1】（2023·四川南充·八年級(jí)期末）超市用2500元購(gòu)進(jìn)某品牌蘋(píng)果，以每千克8元的單價(jià)試銷．銷售良好，超市又安排4500元補(bǔ)貨．補(bǔ)貨進(jìn)價(jià)比上次每千克少0.5元，數(shù)量是上次的2倍．
（1）求兩次進(jìn)貨的單價(jià)分別是多少元．
（2）當(dāng)售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋(píng)果的毛利．
【變式3-2】（2023·湖南·邵陽(yáng)市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫(kù)區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺(tái)“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進(jìn)貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國(guó)各地．2020年10月份，該專賣店第一次購(gòu)進(jìn)A商品40件，B商品60件，進(jìn)價(jià)合計(jì)8400元；第二次購(gòu)進(jìn)A商品50件，B商品30件，進(jìn)價(jià)合計(jì)6900元．
（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為多少元？
（2）10月底，該專賣店順利將兩次購(gòu)進(jìn)的商品全部售出．由于季節(jié)原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進(jìn)貨單價(jià)比10月份上漲了m元，進(jìn)價(jià)合計(jì)49000元；12月份的進(jìn)貨單價(jià)又比11月份上漲了0.5m元，進(jìn)價(jià)合計(jì)61200元，12月份的進(jìn)貨數(shù)量是11月份進(jìn)貨數(shù)量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過(guò)程中維持每件150元的售價(jià)不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為多少元？
【變式3-3】（2023·浙江·八年級(jí)期末）某藥店采購(gòu)部于7月份和8月份分別用16000元和40000購(gòu)兩批口罩，8月份每盒口罩的進(jìn)價(jià)比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍．
（1）求7月份購(gòu)進(jìn)了口罩多少盒？
（2）該藥店在7，8月份均將當(dāng)月購(gòu)進(jìn)的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標(biāo)價(jià)為150元．已知7月份兩店按標(biāo)價(jià)各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標(biāo)價(jià)的八折出售；乙店剩余口罩先按標(biāo)價(jià)的九折售出b盒后，再將余下口罩按標(biāo)價(jià)七折全部售出，結(jié)果利潤(rùn)與甲店相同．
①用含b的代數(shù)式表示a．
②8月份，乙店計(jì)劃將分到的口罩按標(biāo)價(jià)出售n箱后，剩余口罩全部捐獻(xiàn)給醫(yī)院．若至少捐贈(zèng)96盒口罩，且預(yù)計(jì)乙店7，8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤(rùn)為2000元，求a,b,n所有可能的值．
【題型4 航行問(wèn)題】
【例4】（2023·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知A,B兩港之間的距離為150千米，水流速度為5千米/時(shí)．
(1)若一輪船從A港順流航行到B港所用的時(shí)間是從B港逆流航行到A港所用時(shí)間的23，求該輪船在靜水中的航行速度；
(2)記某船從A港順流航行到B港，再?gòu)腂港逆流航行返回到A港所用的時(shí)間為t1；若該船從A港航行到B港再返回到A港均為靜水航行，所用時(shí)間為t2，請(qǐng)比較t1與t2的大小，并說(shuō)明理由．
【變式4-1】（2023·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學(xué)八年級(jí)期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為40千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行30千米所用時(shí)間相等．求江水的流速為多少千米/時(shí)．
【變式4-2】（2023·吉林四平·七年級(jí)期末）兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后兩船相距多遠(yuǎn)？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個(gè)碼頭間往返，其中去程的時(shí)間是回程的時(shí)間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是 ．
【變式4-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）一小船由A港到B港順流航行需6小時(shí)，由B港到A港逆流航行需8小時(shí).小船從早晨6時(shí)由A港到B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時(shí)后找到救生圈.
問(wèn)：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？
（2）救生圈是何時(shí)掉入水中的？
【題型5 和、差、倍、分問(wèn)題】
【例5】（2023·江蘇淮安·八年級(jí)期末）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G，某地已開(kāi)通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？
【變式5-1】（2023·江蘇·儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)東區(qū)校九年級(jí)階段練習(xí)）某生態(tài)示范村種植基地計(jì)劃種植一批葡萄，原計(jì)劃總產(chǎn)量要達(dá)到36萬(wàn)斤．為了滿足市場(chǎng)需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了8萬(wàn)斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬(wàn)斤？
【變式5-2】（2023·北京八中八年級(jí)期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來(lái)越占領(lǐng)汽車市場(chǎng)，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費(fèi)均為 300 元，而續(xù) 航里程之比則為 1∶4．經(jīng)計(jì)算新能源汽車相比燃油車節(jié)約 0.6 元/公里．
（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價(jià)（每公里費(fèi)用）；
（2）隨著更多新能源車進(jìn)入千家萬(wàn)戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受 0.48 元/度的優(yōu)惠專用電費(fèi)．以新能源 EV500 為例，充電 55 度可續(xù)航 400 公里，試計(jì)算每公里所需電費(fèi)， 并求出與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比．
【變式5-3】（2023·浙江舟山·七年級(jí)期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導(dǎo)小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢測(cè)工作的通知，6月3日起我市居民進(jìn)入公共場(chǎng)所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測(cè)陰性證明．根據(jù)文件要求，學(xué)生在校期間每周要組織核酸檢測(cè)一次，某校積極響應(yīng)，安排校醫(yī)甲和教師乙進(jìn)行核酸采集培訓(xùn)．經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時(shí)比乙采集30人用時(shí)少2分鐘．
(1)求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？
(2)該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)比八年級(jí)少18人，其中七年級(jí)有7個(gè)班，每班m人，8八年級(jí)有6個(gè)班，每班n人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級(jí)學(xué)生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個(gè)試管不浪費(fèi)情況下，有哪幾種分裝方案？
【題型6 數(shù)字問(wèn)題】
【例6】（2023·貴州·銅仁市第十一中學(xué)八年級(jí)期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之比是47，原來(lái)得兩位數(shù)是______．
【變式6-1】（2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)．
【變式6-2】（2023·山東濰坊·八年級(jí)期末）一個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來(lái)的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47，則這個(gè)二位數(shù)是_____．
【變式6-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4，用個(gè)位上的數(shù)去除這個(gè)兩位數(shù)商是3，求這個(gè)兩位數(shù).
【題型7 圖形問(wèn)題】
【例7】（2023·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是40，寬是30，現(xiàn)要把它的長(zhǎng)和寬減少相同的長(zhǎng)度后，使新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之比是7:5，減少的長(zhǎng)度是______.
【變式7-1】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am(a>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a-1)m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg．
(1)“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為 kgm2，“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為 kgm2（結(jié)果用含a的式子表示）；
(2)若“豐收2號(hào)”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值．
【變式7-2】（2023·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）李師傅要給一塊長(zhǎng)9米，寬7米的長(zhǎng)方形地面鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長(zhǎng)與B款長(zhǎng)方形瓷磚的長(zhǎng)相等，B款瓷磚的長(zhǎng)大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計(jì)圖的規(guī)律進(jìn)行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長(zhǎng)為_(kāi)______米，寬為_(kāi)______米．
【變式7-3】（2023·浙江杭州·七年級(jí)期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙箱.（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）
圖1 圖2
（1）若該廠倉(cāng)庫(kù)里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板．問(wèn)豎式和橫式紙箱各加工多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的兩種紙板全部用完？
（2）該工廠原計(jì)劃用若干天加工紙箱2400個(gè)，后來(lái)由于對(duì)方急需要貨，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度是原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)，問(wèn)原計(jì)劃每天加工紙箱多少個(gè)？
【題型8 方案問(wèn)題】
【例8】（2023·四川成都·八年級(jí)期末）某河流防污治理工程已正式啟動(dòng)，由甲隊(duì)單獨(dú)做5個(gè)月后，乙隊(duì)再加入合作3個(gè)月就可以完成這項(xiàng)工程．已知若甲隊(duì)單獨(dú)做需要10個(gè)月可以完成．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要幾個(gè)月？
（2）已知甲隊(duì)每月施工費(fèi)用為15萬(wàn)元，比乙隊(duì)多6萬(wàn)元，按要求該工程總費(fèi)用不超過(guò)141萬(wàn)元，工程必須在一年內(nèi)竣工（包括12個(gè)月）．為了確保經(jīng)費(fèi)和工期，采取甲隊(duì)做a個(gè)月，乙隊(duì)做b個(gè)月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工，問(wèn)有哪幾種施工方案？
【變式8-1】（2023·河南南陽(yáng)·三模）某市為了做好“全國(guó)文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對(duì)市區(qū)S米長(zhǎng)的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．
（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長(zhǎng)度各是多少米．
（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造a米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程隊(duì)改造，后12S米的道路由乙工程隊(duì)改造；
方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．
根據(jù)上述描述，請(qǐng)你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說(shuō)明理由．
【變式8-2】（2023·云南大理·八年級(jí)期末）某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的 960 件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用 20 天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的23，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天 80 元，乙工廠加工費(fèi)用為每天 120 元．
（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？
（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成．在加工過(guò)程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天 15 元的午餐補(bǔ)助費(fèi)， 請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說(shuō)明理由．
【變式8-3】（2023·江西·南昌市第八中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共50臺(tái)．已知購(gòu)進(jìn)一臺(tái)甲種空調(diào)比購(gòu)進(jìn)一臺(tái)乙種空調(diào)進(jìn)價(jià)少0.3萬(wàn)元；用20萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少萬(wàn)元？
（2）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金不少于10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)至少31臺(tái)，商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？
（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)1100元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺(tái)樣機(jī)按八折出售，其余全部標(biāo)價(jià)售出，商場(chǎng)從銷售這50臺(tái)空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤(rùn)恰好又可以購(gòu)進(jìn)以上空調(diào)共2臺(tái)．請(qǐng)直接寫(xiě)出該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這50臺(tái)空調(diào)各幾臺(tái)．
專題10.4 分式方程的應(yīng)用【八大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1809" 【題型1 行程問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1809 \h 1
\l "_Tc22553" 【題型2 工程問(wèn)題】 PAGEREF _Tc22553 \h 5
\l "_Tc12298" 【題型3 銷售利潤(rùn)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc12298 \h 8
\l "_Tc27784" 【題型4 航行問(wèn)題】 PAGEREF _Tc27784 \h 12
\l "_Tc14797" 【題型5 和、差、倍、分問(wèn)題】 PAGEREF _Tc14797 \h 15
\l "_Tc6833" 【題型6 數(shù)字問(wèn)題】 PAGEREF _Tc6833 \h 19
\l "_Tc27424" 【題型7 圖形問(wèn)題】 PAGEREF _Tc27424 \h 21
\l "_Tc30960" 【題型8 方案問(wèn)題】 PAGEREF _Tc30960 \h 25
【題型1 行程問(wèn)題】
【例1】（2023·河南許昌·八年級(jí)期末）小麗和小穎相約周末到時(shí)代廣場(chǎng)看電影，她們的家分別距離時(shí)代廣場(chǎng)1800m和2400m.兩人分別從家中同時(shí)出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3，結(jié)果小麗比小穎晚4min到達(dá)劇院．
（1）求兩人的速度．
（2）要想同時(shí)達(dá)到，小穎速度不變，小麗速度需要提高 m/min.
答案:（1）小麗和小穎的速度分別為50 m/min和75 m/min；（2）6.25.
分析：（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2x m/min和3x m/min，根據(jù)題意，小麗所用時(shí)間-小穎蘇勇時(shí)間=4分鐘，列出分式方程，解答即可.
（2）設(shè)小麗速度需要提高a m/min，根據(jù)題意，小麗所用時(shí)間=小穎所用時(shí)間，列出分式方程，解答即可.
【詳解】解：（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2x m/min和3x m/min，根據(jù)題意，得:
18002x?24003x=4
解得：x=25
經(jīng)檢驗(yàn)x=25是原分式方程的解，
則2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）
答：小麗和小穎的速度分別為50m/min和75m/min
（2）設(shè)小麗速度需要提高a m/min，根據(jù)題意，得：
180050+a=240075
解得：a=6.25
經(jīng)檢驗(yàn)a=6.25是原分式方程的解
答：小麗速度需要提高6.25 m/min.
故答案為6.25
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題干，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
【變式1-1】（2023·重慶·四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）某天運(yùn)動(dòng)員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務(wù)，到達(dá)銀行發(fā)現(xiàn)沒(méi)有帶銀行卡（停留時(shí)間忽略不計(jì)），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．
(1)求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時(shí)間僅剩半小時(shí)，為了節(jié)約時(shí)間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時(shí)9分鐘到達(dá)銀行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？
答案:(1)280米/分鐘
(2)2100米
分析：（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據(jù)小偉在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返時(shí)間共用50分鐘，列方程2800x+28004x=50，解得x=70，檢驗(yàn)后求出4x=280，回答問(wèn)題；
（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，根據(jù)小偉上坡的平均速度是280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時(shí)9分鐘，列方程2y200+y350=9，解得y=700，推出這段坡路的總路程是700+2×700=2100．
【詳解】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘,
根據(jù)題意得，2800x+28004x=50，
解得，x=70，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是所列方程的解，且符合題意，
∴4x=280，
答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；
（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，
∵上坡的平均速度是，280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，
∴根據(jù)題意得，2y200+y350=9，
解得，y=700，
∴700+2×700=2100，
答：這段坡路的總路程是2100米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程與一元一次方程的應(yīng)用——行程問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握路程和速度與時(shí)間的關(guān)系，列代數(shù)式列方程解答，解分式方程注意檢驗(yàn)，應(yīng)用題注意設(shè)未知數(shù)和回答問(wèn)題．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一半時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時(shí)離表演開(kāi)始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館．已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進(jìn)家取票時(shí)間共用4分鐘．
（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？
（2）請(qǐng)你判斷小明能否在表演開(kāi)始前趕到科技館，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
答案:（1）小明步行的速度為76米/分鐘；（2）小明能在表演開(kāi)始前趕到科技館，理由見(jiàn)詳解．
分析：（1）設(shè)小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）利用時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合小明進(jìn)家取票時(shí)間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到達(dá)科技館所需時(shí)間，將其與23分鐘比較后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：1設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則小明騎車的速度為5x米/分鐘．根據(jù)題意，得1900x?19005x=20，
解得：x=76．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=76是原分式方程的解．
答：小明步行的速度為76米/分鐘．
（2）19005×76+12×190076+4=21.5t2，理由見(jiàn)解析
分析：（1）設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x千米/時(shí)，故可知順流速度為x+5千米/時(shí)，逆流速度為x?5千米/時(shí)，列分式方程150x?5×23=150x+5，求解即可．
（2）設(shè)船在靜水中的航行速度為v千米/時(shí)，由題意可知t1=150v+5+150v?5，t2=150v×2，比較t1?t2與0的大小．
（1）
解：設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x，
則順流速度為x+5千米/時(shí)，逆流速度為x?5千米/時(shí)；
故有150x?5×23=150x+5
解得x=25
經(jīng)檢驗(yàn)得x=25是原方程的解
∴該輪船在靜水中的航行速度為25千米/時(shí)．
（2）
解：設(shè)船在靜水中的航行速度為v千米/時(shí)
由題意知t1=150v+5+150v?5
t2=150v×2
t1?t2=150v+5+150v?5?150v×2
=150v(v+5)(v?5)v(v?5)+v(v+5)?2(v+5)(v?5)
=150v(v+5)(v?5)×50>0
∴t1?t2>0
∴t1>t2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與異分母分式的加減．解題的關(guān)鍵在于正確的列分式方程與分式的比較大小．
【變式4-1】（2023·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學(xué)八年級(jí)期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為40千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行30千米所用時(shí)間相等．求江水的流速為多少千米/時(shí)．
答案:16千米/時(shí)
分析：設(shè)江水的流速為x千米/時(shí)，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】設(shè)江水的流速為x千米/時(shí)，根據(jù)題意得，
70x+40=3040?x，
解得x=16，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的解，
答：江水的流速為16千米/時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023·吉林四平·七年級(jí)期末）兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)掖嫠?，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后兩船相距多遠(yuǎn)？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個(gè)碼頭間往返，其中去程的時(shí)間是回程的時(shí)間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是 ．
答案:（1）2h后兩船相距200千米（2）2h后甲船比乙船多航行4a千米；（3）v=2a
分析：（1）分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解；
（2）用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順?biāo)旭?，設(shè)碼頭之前的距離為s，列方程求解即可．
【詳解】解：（1）2h后，甲船行駛的路程為2×(50+a)(km)，乙船行駛的路程為2×(50?a)(km)
兩船相距為2×(50+a)+2×(50?a)=200(km)
答：2h后兩船相距200千米
（2）由（1）得2h后，甲船行駛的路程為2×(50+a)(km)，乙船行駛的路程為2×(50?a)(km)
甲船比乙船多航行2×(50+a)?2×(50?a)=4a(km)
答：2h后甲船比乙船多航行4a千米
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順?biāo)旭?，設(shè)碼頭之前的距離為s
則去程時(shí)間為t1=sv?a，返程時(shí)間為t2=sv+a
由題意可得t1=3t2，即sv?a=3sv+a，解得v=2a
快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是為v=2a
故答案為v=2a
【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，以及分式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握船順流航行和逆流航行的速度公式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）一小船由A港到B港順流航行需6小時(shí)，由B港到A港逆流航行需8小時(shí).小船從早晨6時(shí)由A港到B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時(shí)后找到救生圈.
問(wèn)：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？
（2）救生圈是何時(shí)掉入水中的？
答案:（1）48；（2）10時(shí).
分析：（1）先設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時(shí)，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，求出x的值，在進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）先設(shè)救生圈是在x點(diǎn)鐘落下水中的，則救生圈每小時(shí)順?biāo)鞯木嚯x等于全程的148
，根據(jù)小船早晨6時(shí)從港出發(fā)，順流航行需6小時(shí)，得出它在中午12點(diǎn)鐘到達(dá)B港，根據(jù)救生圈在y點(diǎn)鐘就已掉下水，到這時(shí)已漂流的時(shí)間為（12-x）小時(shí)，在這段時(shí)間里，每小時(shí)船行駛?cè)痰?6，救生圈沿著航行方向漂流全程的148，船與救生圈同向而行，距離拉大，船到B港后立刻掉頭去找救圈，2小時(shí)后找到，在這一小時(shí)內(nèi)，船與救生圈相向而行，將原已拉開(kāi)的距離縮短為0，列出方程，求出方程的解即可
【詳解】（1）設(shè)船由A港漂流到B港需要x小時(shí)，
依題意得，16?1x=18+1x，解得x=48.
經(jīng)檢驗(yàn)，x=48是原方程的解，且有意義.
（2）設(shè)救生圈在x時(shí)落入水中，由（1）知水的速度為148，則(6+6?x)(16?148)=(18+148)×2，解得x=10.
經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解，且符合實(shí)際意義.
【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程
【題型5 和、差、倍、分問(wèn)題】
【例5】（2023·江蘇淮安·八年級(jí)期末）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡(jiǎn)稱5G，某地已開(kāi)通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？
答案:60兆
分析：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)“小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒”列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆
由題意得：600x?60015x=140
解得：x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原分式方程的解，且符合題意，
15×4=60，
答：該地5G的下載速度是每秒60兆．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)列出方程．
【變式5-1】（2023·江蘇·儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)東區(qū)校九年級(jí)階段練習(xí)）某生態(tài)示范村種植基地計(jì)劃種植一批葡萄，原計(jì)劃總產(chǎn)量要達(dá)到36萬(wàn)斤．為了滿足市場(chǎng)需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了8萬(wàn)斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬(wàn)斤？
答案:改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬(wàn)斤
分析：根據(jù)題意可得等量關(guān)系：原計(jì)劃種植的畝數(shù)－改良后種植的畝數(shù)=20畝，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每畝產(chǎn)量x萬(wàn)斤，改良后每畝產(chǎn)量1.5x萬(wàn)斤，
36x?36+81.5x=20，
解得，x=13，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=13是原分式方程的解，
∴1.5x=0.5，
答：改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬(wàn)斤．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023·北京八中八年級(jí)期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來(lái)越占領(lǐng)汽車市場(chǎng)，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費(fèi)均為 300 元，而續(xù) 航里程之比則為 1∶4．經(jīng)計(jì)算新能源汽車相比燃油車節(jié)約 0.6 元/公里．
（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價(jià)（每公里費(fèi)用）；
（2）隨著更多新能源車進(jìn)入千家萬(wàn)戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受 0.48 元/度的優(yōu)惠專用電費(fèi)．以新能源 EV500 為例，充電 55 度可續(xù)航 400 公里，試計(jì)算每公里所需電費(fèi)， 并求出與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比．
答案:（1）燃油車0.8；新能源汽車0.2；（2）8.25%
分析：（1）設(shè)新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為x元/公里，則燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為（x+0.6）元/公里，根據(jù)等量關(guān)系式：新能源汽車?yán)m(xù)航里程：燃油車?yán)m(xù)航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量可得新能源汽車400公里所需費(fèi)用，再用此費(fèi)用÷總公里數(shù)即可得新能源汽車每公里所需電電費(fèi)；由（1）知燃油汽車每公里費(fèi)用，用此費(fèi)用乘以總公里數(shù)可得燃油汽車總費(fèi)用，再用新能源汽車的總費(fèi)用÷燃油車相同里程下的所需費(fèi)用即可得答案.
【詳解】解：（1）設(shè)新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為x元/公里，則燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為（x+0.6）元/公里，依題可得：
300x：300+0.6x =4：1，
解得：x=0.2，
∴燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽車?yán)m(xù)航單價(jià)為0.2元/公里，燃油車?yán)m(xù)航單價(jià)為0.8元/公里.
（2）依題可得新能源汽車400公里所需費(fèi)用為：
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽車每公里所需電電費(fèi)為：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依題可得燃油汽車400公里所需費(fèi)用為：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比為：
26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽車每公里所需電電費(fèi)為0.066元；新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費(fèi)用（油電）百分比為8.25%.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023·浙江舟山·七年級(jí)期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導(dǎo)小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢測(cè)工作的通知，6月3日起我市居民進(jìn)入公共場(chǎng)所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測(cè)陰性證明．根據(jù)文件要求，學(xué)生在校期間每周要組織核酸檢測(cè)一次，某校積極響應(yīng)，安排校醫(yī)甲和教師乙進(jìn)行核酸采集培訓(xùn)．經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時(shí)比乙采集30人用時(shí)少2分鐘．
(1)求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？
(2)該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)比八年級(jí)少18人，其中七年級(jí)有7個(gè)班，每班m人，8八年級(jí)有6個(gè)班，每班n人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級(jí)學(xué)生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個(gè)試管不浪費(fèi)情況下，有哪幾種分裝方案？
答案:(1)甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；
(2)m=36n=45
(3)有4種方案：①5個(gè)10人試管，1個(gè)20人試管；
②3個(gè)10人試管，2個(gè)20人試管；
③1個(gè)10人試管，3個(gè)20人試管；
④7個(gè)10人試管，0個(gè)20人試管．
分析：（1）可設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，甲為2x人，根據(jù)所用的時(shí)間可列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組即可；
（3）設(shè)10人試管有x個(gè)，20人試管有y個(gè)，從而得到10x+20y=70，根據(jù)x與y都是正整數(shù)，從而可求解．
（1）
解：設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，則甲為每分鐘采集2x人，
依題意得：522x+2=30x，
解得x=2，
2×2=4人，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是方程的解且符合題意，
答：甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；
（2）
解：依題意得：7m=6n?187m+6n=87×(2+4)，
解得m=36n=45；
（3）
解：設(shè)10人試管有x個(gè)，20人試管有y個(gè)，依題意得：
10x+20y=70，即x=7-2y，
則有：x=5y=1或x=3y=2或x=1y=3或x=7y=0，
有4種方案：①5個(gè)10人試管，1個(gè)20人試管；
②3個(gè)10人試管，2個(gè)20人試管；
③1個(gè)10人試管，3個(gè)20人試管；
④7個(gè)10人試管，0個(gè)20人試管．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系．
【題型6 數(shù)字問(wèn)題】
【例6】（2023·貴州·銅仁市第十一中學(xué)八年級(jí)期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之比是47，原來(lái)得兩位數(shù)是______．
答案:63
分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗(yàn)并作答．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，
則可列方程：10x+66×10+x=47，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，則60+x＝63，
故答案為：63．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．
【變式6-1】（2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)．
答案:34
分析：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，兩位數(shù)是10x+x+1，利用兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗(yàn)后求出兩位數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，
則：10x+(x+1)?2x+1=8，
解方程得：x=3，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是原方程的根，
所以個(gè)位上的數(shù)字為：x+1＝3＋1＝4，
所以這個(gè)兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．
答：這個(gè)兩位數(shù)是34．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字問(wèn)題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程．
【變式6-2】（2023·山東濰坊·八年級(jí)期末）一個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來(lái)的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47，則這個(gè)二位數(shù)是_____．
答案:84
分析：設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)“如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來(lái)的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47”，即可得出關(guān)于x的分式方程，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為（12﹣x），
根據(jù)題意得：1012?x+x10x+12?x＝47，
解得：x＝8，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，
∴12﹣x＝4．
故答案為84．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4，用個(gè)位上的數(shù)去除這個(gè)兩位數(shù)商是3，求這個(gè)兩位數(shù).
答案:15.
分析：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+4，這個(gè)兩位數(shù)為：10x+（x+4），根據(jù)用個(gè)位上的數(shù)去除這個(gè)兩位數(shù)商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：x+4+10xx+4=3，
解得：x=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：這個(gè)兩位數(shù)為15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，利用個(gè)位與十位的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．在解答本題的過(guò)程中根據(jù)條件從而得到本題的結(jié)果．
【題型7 圖形問(wèn)題】
【例7】（2023·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是40，寬是30，現(xiàn)要把它的長(zhǎng)和寬減少相同的長(zhǎng)度后，使新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之比是7:5，減少的長(zhǎng)度是______.
答案:5
分析：設(shè)減少的長(zhǎng)度是x，根據(jù)題意列出方程，解方程，檢驗(yàn)即可.
【詳解】解：設(shè)減少的長(zhǎng)度是x，由題意，得
40?x30?x=75
去分母得：5(40?x)=7(30?x)
去括號(hào)得：200?5x=210?7x
移項(xiàng)得：7x?5x=210?200
合并同類項(xiàng)得：2x=10
系數(shù)化為1得：x=5
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是該方程的解
故填：5.
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.能根據(jù)題意列出方程是解決此題的關(guān)鍵，還需注意對(duì)方程的解要進(jìn)行檢驗(yàn).
【變式7-1】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am(a>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a-1)m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg．
(1)“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為 kgm2，“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為 kgm2（結(jié)果用含a的式子表示）；
(2)若“豐收2號(hào)”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值．
答案:(1)500a2?1；500(a?1)2
(2)5
分析：（1）分別求出“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”的面積，再用500除以面積即可；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于a等式求解即可，注意需要驗(yàn)根．
(1)
解：“豐收1號(hào)”的面積為：a2?1，
∴單位面積產(chǎn)量為：500a2?1；
“豐收2號(hào)”的面積為：(a?1)2，
∴單位面積產(chǎn)量為：500(a?1)2；
故答案為：500a2?1；500(a?1)2；
(2)
解：由題意，可得500a2?1×1.5=500(a?1)2，
解得a=5，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=5是原分式方程的解，
∴a的值為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的分式方程．
【變式7-2】（2023·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）李師傅要給一塊長(zhǎng)9米，寬7米的長(zhǎng)方形地面鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長(zhǎng)與B款長(zhǎng)方形瓷磚的長(zhǎng)相等，B款瓷磚的長(zhǎng)大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計(jì)圖的規(guī)律進(jìn)行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長(zhǎng)為_(kāi)______米，寬為_(kāi)______米．
答案: 1 34或15
分析：設(shè)A款瓷磚邊長(zhǎng)為a米，B款瓷磚長(zhǎng)為a米、寬為b米，則2×7a×9?b2a+b=2(9?b2a+b+1)×7a?14，解得a=1，由題意知9?b2+b是正整數(shù)，設(shè)9?b2+b=k(k為正整數(shù)），解得b=9?2kk+1，將k為正整數(shù)代入即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)A款瓷磚邊長(zhǎng)為a米，B款瓷磚長(zhǎng)為a米、寬為b米，
則2×7a×9?b2a+b=2(9?b2a+b+1)×7a?14，
解得：a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1是原方程的解，
由題意得：9?b2+b是正整數(shù)，
設(shè)9?b2+b=k(k為正整數(shù)），
解得：b=9?2kk+1，
當(dāng)k=1時(shí)，b=72(72>1，舍去）；
當(dāng)k=2時(shí)，b=53(53>1，舍去）；
當(dāng)k=3時(shí)，b=34；
當(dāng)k=4時(shí)，b=15．
故答案為：1，34或15．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023·浙江杭州·七年級(jí)期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙箱.（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）
圖1 圖2
（1）若該廠倉(cāng)庫(kù)里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板．問(wèn)豎式和橫式紙箱各加工多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的兩種紙板全部用完？
（2）該工廠原計(jì)劃用若干天加工紙箱2400個(gè)，后來(lái)由于對(duì)方急需要貨，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度是原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)，問(wèn)原計(jì)劃每天加工紙箱多少個(gè)？
答案:（1）加工豎式紙盒200個(gè)，橫式紙盒400個(gè)；（2）原計(jì)劃每天加工紙箱400個(gè)
分析：（1）設(shè)加工豎式紙箱x個(gè)，橫式紙箱y個(gè)，根據(jù)豎式紙箱需要4張長(zhǎng)方形紙板，1張正方形紙板，橫式紙箱需要3張長(zhǎng)方形紙板，2張正方形紙板列出方程組，然后求解方程組即可；
（2）設(shè)原計(jì)劃每天加工紙箱a個(gè)，根據(jù)“實(shí)際加工時(shí)每天加工速度是原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)”列出關(guān)于a的分式方程，然后求解方程驗(yàn)根即可.
【詳解】解：（1）設(shè)加工豎式紙箱x個(gè)，橫式紙箱y個(gè)，
由題意，得4x+3y=2000x+2y=1000，
解得x=200y=400，
答：加工豎式紙盒200個(gè)，橫式紙盒400個(gè)；
（2）設(shè)原計(jì)劃每天加工紙箱a個(gè)，
由題意，得2400a?24001.5a=2，
解得a=400，
經(jīng)檢驗(yàn)：a=400是所列方程的根，且符合題意.
答：原計(jì)劃每天加工紙箱400個(gè).
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，找到題中相等關(guān)系的量列出方程（組）.
【題型8 方案問(wèn)題】
【例8】（2023·四川成都·八年級(jí)期末）某河流防污治理工程已正式啟動(dòng)，由甲隊(duì)單獨(dú)做5個(gè)月后，乙隊(duì)再加入合作3個(gè)月就可以完成這項(xiàng)工程．已知若甲隊(duì)單獨(dú)做需要10個(gè)月可以完成．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要幾個(gè)月？
（2）已知甲隊(duì)每月施工費(fèi)用為15萬(wàn)元，比乙隊(duì)多6萬(wàn)元，按要求該工程總費(fèi)用不超過(guò)141萬(wàn)元，工程必須在一年內(nèi)竣工（包括12個(gè)月）．為了確保經(jīng)費(fèi)和工期，采取甲隊(duì)做a個(gè)月，乙隊(duì)做b個(gè)月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工，問(wèn)有哪幾種施工方案？
答案:（1）15（2）方案一：甲隊(duì)作4個(gè)月，乙隊(duì)作9個(gè)月；方案二：甲隊(duì)作2個(gè)月，乙隊(duì)作12個(gè)月
分析：(1)設(shè)完成本項(xiàng)工程的工作總量為1,由題意可知510+310+3x=1,從而得出x=15. 即單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要15個(gè)月.
(2)根據(jù)題目關(guān)鍵信息：該工程總費(fèi)用不超過(guò)141萬(wàn)元、采取甲隊(duì)做a個(gè)月，乙隊(duì)做b個(gè)月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工可以列出關(guān)于a、b方程組，從而得出a、b的取值范圍，根據(jù)a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)，則b=9或b=12．從而得出a的取值.確定工程方案.
【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)需要x個(gè)月完成，根據(jù)題意得：510+310+3x=1
經(jīng)檢驗(yàn)x=15是原方程的根
答：乙隊(duì)需要15個(gè)月完成；
（2）根據(jù)題意得：15a+9b≤141a10+b15=1，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都為正整數(shù)，
∴9≤b≤12又a=10﹣23b，
∴b為3的倍數(shù)，∴b=9或b=12．
當(dāng)b=9時(shí)，a=4；
當(dāng)b=12時(shí)，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲隊(duì)作4個(gè)月，乙隊(duì)作9個(gè)月；
方案二：甲隊(duì)作2個(gè)月，乙隊(duì)作12個(gè)月；
【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程解決工程問(wèn)題，工程問(wèn)題是中考常考知識(shí)點(diǎn).根據(jù) a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)是本題的難點(diǎn).
【變式8-1】（2023·河南南陽(yáng)·三模）某市為了做好“全國(guó)文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對(duì)市區(qū)S米長(zhǎng)的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．
（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長(zhǎng)度各是多少米．
（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造a米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程隊(duì)改造，后12S米的道路由乙工程隊(duì)改造；
方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．
根據(jù)上述描述，請(qǐng)你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說(shuō)明理由．
答案:（1）甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為180米，乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為150米；（2）方案二所用的時(shí)間少
分析：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為x米，根據(jù)“甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分別表示出兩種方案所用的時(shí)間，再作差比較大小，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為x米，則甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為x+30米，
根據(jù)題意，得：360x+30=300x，
解得：x=150，
檢驗(yàn)，當(dāng)x=150時(shí)，xx+30≠0，
∴原分式方程的解為：x=150，
x+30=180，
答：甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為180米，乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為150米；
（2）設(shè)方案一所用時(shí)間為：t1=12sa+12sb=(a+b)s2ab，
方案二所用時(shí)間為t2，則12t2a+12t2b=s，t2=2sa+b，
∴a+b2abS?2a+bS=(a?b)22ab(a+b)S，
∵a≠b，a>0，b>0，
∴a?b2>0，
∴a+b2abS?2a+bS>0，即：t1>t2，
∴方案二所用的時(shí)間少．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及分式的減法法則，找出等量關(guān)系，列分式方程，掌握分式的通分，是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023·云南大理·八年級(jí)期末）某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的 960 件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用 20 天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的23，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天 80 元，乙工廠加工費(fèi)用為每天 120 元．
（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？
（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成．在加工過(guò)程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天 15 元的午餐補(bǔ)助費(fèi)， 請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說(shuō)明理由．
答案:（1）甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品. （2）甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)既省時(shí)又省錢．見(jiàn)解析．
分析：（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品所需天數(shù)﹣乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品所需天數(shù)＝20， 由等量關(guān)系列出方程求解．
（2）分別計(jì)算出甲單獨(dú)加工完成、乙單獨(dú)加工完成、甲、乙合作完成需要的時(shí)間和費(fèi)用， 比較大小，選擇既省時(shí)又省錢的加工方案即可．
【詳解】（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，
則： 960x?9601.5x=20解得：x＝16
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品
（2）方案一：甲工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則需要的時(shí)間為：960÷16＝60 天
需要的總費(fèi)用為：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則
需要的時(shí)間為：960÷24＝40 天
需要的總費(fèi)用為：40×（120+15）＝5400元
方案三：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)，設(shè)共需要 a 天完成任務(wù)，則
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的總費(fèi)用為：24×（80+120+15）＝5160元
綜上所述：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)既省時(shí)又省錢．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其結(jié)果是否符合題意；②選擇最優(yōu)方案時(shí)，需將求各個(gè)方案所需時(shí)間和所需費(fèi)用，經(jīng)過(guò)比較后選擇最優(yōu)的那個(gè)方案．
【變式8-3】（2023·江西·南昌市第八中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共50臺(tái)．已知購(gòu)進(jìn)一臺(tái)甲種空調(diào)比購(gòu)進(jìn)一臺(tái)乙種空調(diào)進(jìn)價(jià)少0.3萬(wàn)元；用20萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少萬(wàn)元？
（2）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金不少于10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)至少31臺(tái)，商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？
（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)1100元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺(tái)樣機(jī)按八折出售，其余全部標(biāo)價(jià)售出，商場(chǎng)從銷售這50臺(tái)空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤(rùn)恰好又可以購(gòu)進(jìn)以上空調(diào)共2臺(tái)．請(qǐng)直接寫(xiě)出該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這50臺(tái)空調(diào)各幾臺(tái)．
答案:（1）0.1，0.4；（2）商場(chǎng)有3種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)；②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)；③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)；（3）購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)
分析：（1）可設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是x萬(wàn)元，則乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是（x+0.3）萬(wàn)元，根據(jù)等量關(guān)系用20萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量＝用40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量×2，列出方程求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買甲種空調(diào)n臺(tái)，則購(gòu)買乙種空調(diào)（50﹣n）臺(tái)，根據(jù)商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金不少于10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)至少31臺(tái)，求出n的范圍，即可確定出購(gòu)買方案；
（3）找到（2）中3種購(gòu)進(jìn)方案符合條件的即為所求．
【詳解】解：（1）設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是x萬(wàn)元，則乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是（x+0.3）萬(wàn)元，依題意有
20x＝40x+0.3×2，
解得x＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是0.1萬(wàn)元，乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是0.4萬(wàn)元；
（2）設(shè)購(gòu)買甲種空調(diào)n臺(tái)，則購(gòu)買乙種空調(diào)（50﹣n）臺(tái)，依題意有
0.1n+0.4(50?n)?10ns?31，
解得31≤n≤3313，
∵n為整數(shù)，
∴n取31，32，33，
∴商場(chǎng)有3種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)；②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)；③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)；
（3）①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合題意，舍去；
②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合題意；
③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合題意，舍去．
綜上所述，購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

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