第I卷（選擇題）
一、單選題
1. 設(shè)（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A B. C. D.
2. 某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估計(jì)3例心臟手術(shù)全部成功的概率為（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
3. 已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 直線、與平面所成的角相等，則
B. 、、三個(gè)平面，若，，則
C. 、、為空間中的三條直線，若，，則
D. 、為兩條直線，、為兩個(gè)平面，若，，，則
5. 已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角是
B. 若直線，則
C. 點(diǎn)到直線的距離是1
D. 過(guò)與直線平行的直線方程是
6. 如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，則等于（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，若，則面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，從直線上任一動(dòng)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
二、多選題
9. 今年春節(jié)檔兩部電影票房突破20億大關(guān)，《滿江紅》不負(fù)眾望，憑借喜劇元素和家國(guó)情懷，以25.96億票房成為檔期內(nèi)票房冠軍，另一部科幻續(xù)作《流浪地球2》則成為最高口碑電影．下圖是這兩部電影連續(xù)7天的日票房情況，則（ ）

A. 《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球日票房平均數(shù)
B. 《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C. 《滿江紅》日票房極差小于《流浪地球2》日票房極差
D. 《滿江紅》日票房第25百分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的第75百分位數(shù)
10. 設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則點(diǎn)三點(diǎn)共線
C. 若點(diǎn)M是的重心，則
D. 若且，則的面積是面積的
11. 在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱展開(kāi)得到平面圖如圖所示，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則在原直三棱柱中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. ，，，四點(diǎn)共面
B.
C. 幾何體和直三棱柱的體積之比為
D. 當(dāng)時(shí)，與平面所成角為
第II卷（非選擇題）
三、填空題
12. 已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是___________.
13. 甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝隊(duì)將代表所在區(qū)參加市級(jí)比賽，他們約定，先贏四場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝．假設(shè)每場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為，每場(chǎng)比賽不存在平局且比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若在前三場(chǎng)比賽中，甲隊(duì)贏了兩場(chǎng)，乙隊(duì)贏了一場(chǎng)，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為_(kāi)_____．
14. 已知四面體中，，其余各棱長(zhǎng)均為6，則四面體外接球的表面積為_(kāi)_________.
四、解答題
15. 從3個(gè)黑球，，和3個(gè)白球，，中任取3個(gè)：
（1）寫(xiě)出基本事件空間和基本事件總數(shù)n.
（2）求顏色都相同的概率；
（3）求恰有1個(gè)白球的概率.
16. 某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的年齡的中位數(shù)和眾數(shù)；
（2）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35～45歲所有人的年齡的方差．
17. 在①；②；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.
問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且___________.
（1）求角；
（2）在中，，求周長(zhǎng)的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
18. 矩形所在平面與等腰梯形所在平面互相垂直，，，直線與平面所成角為，.

（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）線段上任意一點(diǎn)到平面的距離是否為定值?如果是，則求出定值，否則說(shuō)明理由．
19. 已知圓，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若從P到圓O切線長(zhǎng)為，求P點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩條切線所夾劣弧長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)，直線與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期1+3期中考試數(shù)學(xué)試題
第I卷（選擇題）
一、單選題
1. 設(shè)（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以有，
故選：D
2. 某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估計(jì)3例心臟手術(shù)全部成功的概率為（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概率的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)中，有3組隨機(jī)數(shù)表示手術(shù)成功，
故3例心臟手術(shù)全部成功的概率為：.
故選：B
3. 已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，根據(jù)投影向量的定義求解.
【詳解】由得，
即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
4. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 直線、與平面所成的角相等，則
B. 、、為三個(gè)平面，若，，則
C. 、、為空間中三條直線，若，，則
D. 、為兩條直線，、為兩個(gè)平面，若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用正四面體可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)面面的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)空間中線線的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正四面體中，、與平面所成角相等，但與相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則與平行或相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則與平行或相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由，得，由因?yàn)椋?，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.
5. 已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線傾斜角是
B. 若直線，則
C. 點(diǎn)到直線的距離是1
D. 過(guò)與直線平行的直線方程是
【答案】D
【解析】
【分析】求解直線的傾斜角判斷A；利用直線的斜率乘積判斷B；點(diǎn)到直線的距離判斷C；求解直線方程判斷D．
【詳解】直線，直線的斜率為：，所以直線的傾斜角為：，所以A不正確；
直線的斜率為：，兩條直線不垂直，所以B不正確；
點(diǎn)到直線的距離是：，所以C不正確；
過(guò)與直線平行的直線方程是，正確，所以D正確；
故選：D．
6. 如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，則可得CD.
【詳解】在中，由余弦定理可得.
又，故為直角三角形，故.
因?yàn)椋覟殇J角，故.
由
利用正弦定理可得，代值可得，
故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎(chǔ)題.
7. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，若，則面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得，由此得到關(guān)系；從而利用表示的面積，利用二次函數(shù)最值求得面積的最值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系
則，，，，，
設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中三角形面積最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笕切蚊娣e利用一個(gè)變量表示出來(lái)，得到二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的最值求得面積的最值.
8. 已知圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，從直線上任一動(dòng)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】將直線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的公共弦方程，利用垂足確定的軌跡為一個(gè)圓,然后結(jié)合點(diǎn)到圓心的距離求最小值即可.
【詳解】
易得，設(shè)，
因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以
所以在以為直徑的圓上,
又因?yàn)?且的中點(diǎn)為，
所以以為直徑的圓的方程為：.
所以為以為直徑的圓和圓的的公共弦，
兩個(gè)圓的方程相減得：
所以直線,
直線恒過(guò)定點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,
則在以為直徑的圓上，設(shè)圓的圓心為，半徑為，
所以，
所以的最小值為:．
故選：B
二、多選題
9. 今年春節(jié)檔兩部電影票房突破20億大關(guān)，《滿江紅》不負(fù)眾望，憑借喜劇元素和家國(guó)情懷，以25.96億票房成為檔期內(nèi)票房冠軍，另一部科幻續(xù)作《流浪地球2》則成為最高口碑電影．下圖是這兩部電影連續(xù)7天的日票房情況，則（ ）

A. 《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球日票房平均數(shù)
B. 《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C. 《滿江紅》日票房極差小于《流浪地球2》日票房極差
D. 《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的第75百分位數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圖表信息逐一判斷即可.
【詳解】由圖表可得《滿江紅》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球2》日票房平均數(shù)，A正確;
由圖可得《滿江紅》日票房單日票房數(shù)據(jù)波動(dòng)更大，《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正確.
《滿江紅》日票房極差大于《流浪地球日票房極差，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)是從小到大排序第個(gè)數(shù)，
因?yàn)?，《流浪地?》日票房的第75百分位數(shù)是從小到大排序第個(gè)數(shù)，
《滿江紅》日票房的第25百分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的第75百分位數(shù)，所以D正確.
故選：ABD.
10. 設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B 若，則點(diǎn)三點(diǎn)共線
C. 若點(diǎn)M是的重心，則
D. 若且，則的面積是面積的
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由平面向量基本定理，變形得到，A錯(cuò)誤；假設(shè)點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，畫(huà)出圖形，結(jié)合向量加法法則及重心的概念及性質(zhì)得到答案；D選項(xiàng)，可以先得到的面積與面積底相同，高線之比為2:3，從而得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，假設(shè)點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線，則，即，
整理得：，
故當(dāng)時(shí)，即，與條件中的不一致，
所以點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；
如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，若點(diǎn)M是的重心，則點(diǎn)M在AH上，且MA=2MH，則，則，C正確；
D選項(xiàng)，由于，而，所以，其中，不妨設(shè)，則Q點(diǎn)在直線BC上，由于與同底，而高線之比等于與的比，即比值為2:3，所以的面積是面積的，D正確.
故選：CD
11. 在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱展開(kāi)得到平面圖如圖所示，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則在原直三棱柱中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. ，，，四點(diǎn)共面
B.
C. 幾何體和直三棱柱的體積之比為
D. 當(dāng)時(shí)，與平面所成的角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系可判斷A，B選項(xiàng)，根據(jù)幾何體的體積計(jì)算方法即可判斷C選項(xiàng)，利用定義法可判斷線面角，即可判斷D選項(xiàng)
【詳解】如圖，將展開(kāi)的平面圖還原成立體圖形，
對(duì)A選項(xiàng)，連接，為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，，，，四點(diǎn)共面，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)B選項(xiàng)，，棱柱為直三棱柱，易得平面，又平面，，又，四邊形為正方形，，又，平面，又平面，，B選項(xiàng)正確；
對(duì)C選項(xiàng)，，分別為，的中點(diǎn)，，
幾何體和直三棱柱的體積之比為，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，又，且，，，，又由B選項(xiàng)的分析知平面，即為與平面所成的角，又，與平面所成的角為，故D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
第II卷（非選擇題）
三、填空題
12. 已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．
【詳解】解：點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，
直線的斜率或，
的斜率為，的斜率為，
直線的斜率或，即，
故答案為：．
13. 甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝隊(duì)將代表所在區(qū)參加市級(jí)比賽，他們約定，先贏四場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝．假設(shè)每場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為，每場(chǎng)比賽不存在平局且比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若在前三場(chǎng)比賽中，甲隊(duì)贏了兩場(chǎng)，乙隊(duì)贏了一場(chǎng)，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】考慮先贏四場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝，甲隊(duì)已經(jīng)贏了兩場(chǎng)，故只需再先贏兩場(chǎng)則獲勝，分析得到甲在隨后進(jìn)行的場(chǎng)次可以有兩場(chǎng)連勝，也可輸一場(chǎng)贏兩場(chǎng)（含兩種情況），還可以輸兩場(chǎng)贏兩場(chǎng)（含三種情況），分別計(jì)算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得.
【詳解】由題意得甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為，且最多再進(jìn)行四場(chǎng)比賽，最少再進(jìn)行兩場(chǎng)比賽.
則①再進(jìn)行兩場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為；
②再進(jìn)行三場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為；
③再進(jìn)行四場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，
由互斥事件的概率加法公式，可得最終甲隊(duì)獲勝的概率為．
故答案為.
14. 已知四面體中，，其余各棱長(zhǎng)均為6，則四面體外接球的表面積為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】作圖，由余弦定理計(jì)算，再得，利用正弦定理可求得底面外接圓的半徑，再計(jì)算得的值，列方程，代入求解出，從而可求解出，代入表面積公式計(jì)算.
【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為，半徑為，底面的外心為，底面外接圓的半徑為，因?yàn)?，其余各棱長(zhǎng)均為，所以可得，所以，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，可得，求解得，所以，所以外接球的表面積為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.
四、解答題
15. 從3個(gè)黑球，，和3個(gè)白球，，中任取3個(gè)：
（1）寫(xiě)出基本事件空間和基本事件總數(shù)n.
（2）求顏色都相同的概率；
（3）求恰有1個(gè)白球的概率.
【答案】（1）見(jiàn)解析，28（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列舉法按找一定的次序不重不漏的列出基本事件即可.
（2）由（1）即可找出同色的基本事件，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】（1）

，即
（2）“顏色都相同”，則，，
則
（3）同理，“恰有1個(gè)白球”，
則
，共個(gè)基本事件，
求得.
【點(diǎn)睛】本題考查了基本事件的列舉以及古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
16. 某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的年齡的中位數(shù)和眾數(shù)；
（2）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35～45歲所有人的年齡的方差．
【答案】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為
（2）10
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)及眾數(shù)即可；
（2）先根據(jù)分層抽樣求出第四組和第五組抽取的人數(shù)，再求出第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)和方差，進(jìn)而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由于，
所以這20人的年齡的中位數(shù)為：，
眾數(shù)為：；
【小問(wèn)2詳解】
由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，
故各組中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取4人和2人，
設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，
則，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，
據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35～45歲的所有人的年齡方差約為10．
17. 在①；②；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.
問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且___________.
（1）求角；
（2）在中，，求周長(zhǎng)的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選擇①：由正弦定理化邊為角即可求出；選擇②：利用面積公式和數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)可得出；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求出.
【小問(wèn)1詳解】
選擇①：條件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
選擇②：條件即，
即，.
在中，，所以，則，
所以，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
由余弦定理知：
所以得
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
所以求周長(zhǎng)的最大值為.
18. 矩形所在平面與等腰梯形所在平面互相垂直，，，直線與平面所成角為，.

（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）線段上任意一點(diǎn)到平面的距離是否為定值?如果是，則求出定值，否則說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法可得答案；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理可證明平面，從而可判斷段上任意一點(diǎn)到平面的距離為定值，利用空間距離的向量求法可求得定值.
【小問(wèn)1詳解】
過(guò)點(diǎn)F作,垂足為G，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平?
故平面，則為直線與平面所成角，即，
過(guò)點(diǎn)C作平面的垂線作為z軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?br>在等腰梯形中，，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
故，
平面一個(gè)法向量可取為，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)交于點(diǎn)H，連接，
因?yàn)?且，故四邊形為平行四邊形，
則，平面，平面，
故平面，
所以線段上任意一點(diǎn)到平面的距離是否為定值，
又，
故A點(diǎn)到平面的距離為，
即定值為.
19. 已知圓，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若從P到圓O的切線長(zhǎng)為，求P點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩條切線所夾劣弧長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)，直線與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1），
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線長(zhǎng)與幾何關(guān)系即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩條切線所夾劣弧長(zhǎng).
（2）根據(jù)題意求出坐標(biāo)，證明直線與點(diǎn)三點(diǎn)共線即可.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意，設(shè)，
設(shè)兩切點(diǎn)為，則，，
由題意可知，即，
解得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為．
在中，易得，
所以，
所以?xún)蓷l切線所夾劣弧長(zhǎng)為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，
依題意，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
可以設(shè)，
和圓聯(lián)立，得到，
代入消元得到，，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，
所以有，
代入直線方程得，．
同理，設(shè)，聯(lián)立方程有，
代入消元得到，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，
，
代入得到．
若，則，此時(shí)，
顯然三點(diǎn)在直線上，即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
若則，
所以有，
所以，所以三點(diǎn)共線，
即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
綜上所述，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

相關(guān)試卷

湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）：

這是一份湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案），文件包含湖北省部分學(xué)校2023-2024年度高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題docx、高一數(shù)學(xué)考試參考答案pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共9頁(yè)， 歡迎下載使用。

河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（PDF版附解析）：

這是一份河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（PDF版附解析），共6頁(yè)。

河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題docx、河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共20頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
河北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

河北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（Word版附解析）

河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部