新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺專題02 函數(shù)及其應(yīng)用、指對(duì)冪函數(shù)(易錯(cuò)點(diǎn)分析解題模板舉一反三易錯(cuò)題通關(guān)(含解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)函數(shù)定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）
已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法
法1：若是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集.
法2：復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.
函數(shù)解析式的常見求法
法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.
法2：待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)可設(shè)為，其中是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出即可.
法3：換元法：已知，求時(shí)，往往可設(shè)，從中解出，代入進(jìn)行換元.應(yīng)用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍.
法4：解方程組法：已知滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．
分段函數(shù)
第一步：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值．
第二步：當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
第三步：當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)。
結(jié)論：復(fù)合函數(shù)：
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過變量可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作，其中叫做復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)，叫做的內(nèi)層函數(shù).
抽象函數(shù)的定義域的求法：
(1)若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)的家義域由求出.
(2)若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)樵跁r(shí)的值域.
易錯(cuò)提醒：函數(shù)的概念
①一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合叫做值域，記為.
②函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.
③函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，
④函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.
⑤同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.
基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
①分式的分母不為零；
②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
④零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
⑤三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
⑦對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.
基本初等函數(shù)的值域
①的值域是.
②的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br>③的值域是.
④且的值域是.
⑤且的值域是.
分段函數(shù)的應(yīng)用
分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．
例 1．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意得，解得，則定義域?yàn)椋?br>故選：C.
變式1：設(shè)，若，則（）
A．14B．16C．2D．6
【答案】A
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，解得，
若，則，可得，不合題意；
若，則，可得，解得；
綜上所述：.
所以.故選：A.
變式2：已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意得，
所以．
故選:C.
變式3：已知函數(shù)，則下列正確的是（）
A．B．C．D．的值域?yàn)?br>【答案】B
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確．
對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕?br>，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的值域?yàn)?，又因?yàn)闀r(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤．
故選：B
1．已知函數(shù)，則（）
A．B．3C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則,
令，則，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B.
2．給出下列個(gè)函數(shù)，其中對(duì)于任意均成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；
對(duì)于D，令，則，所以，
令，所以，
所以，
所以，符合.
故選：D.
3．已知函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】令，則，且，則，
可得，
所以.
故選：B.
4．已知函數(shù)滿足，則可能是（）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A，，則，，不滿足；
對(duì)于B，，則，，
不滿足；
對(duì)于C，，則，，不滿足；
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng)時(shí)，，故，
即此時(shí)滿足，D正確，
故選：D
5．設(shè)集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由，即，解得，
所以，
由，所以，
所以，
所以．
故選：D．
6．集合，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由題意可得：，，
所以.
故選：B.
易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的主次（函數(shù)的單調(diào)性與最值）
1.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)定義內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。
2.函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性是函數(shù)在該區(qū)間上的整體性質(zhì)。
3.函數(shù)的單調(diào)定義中的、有三個(gè)特征：（1）任意性（2）有大?。?）屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間。
4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求定義域。
5.判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：
方法1：定義法：一般步驟為設(shè)元作差變形判斷符號(hào)→得出結(jié)論.
方法2：圖象法：如果是以圖象形式給出的，或者的圖象易作出，則可由圖象的上升或下?確定單調(diào)性.
方法3：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
方法4：性質(zhì)法：（1）對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；
6.求函數(shù)最值（值域）的常用方法
方法1：?jiǎn)握{(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.
方法2：圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.
方法3：基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.
方法4：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.
結(jié)論：
1.單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；
②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；
④得出結(jié)論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結(jié)論：
結(jié)論1：若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
結(jié)論2：若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；
結(jié)論3：若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
結(jié)論4：若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
易錯(cuò)提醒：1.函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間：
如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，符號(hào)一致那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．
如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，符號(hào)相反那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意兩個(gè)自變量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象上坡路，減函數(shù)的圖象下坡路．
（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．
（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
2．函數(shù)的最值
前提：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足
條件：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得結(jié)論為最大值
（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得結(jié)論為最小值
例．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)函數(shù)，
則函數(shù)是由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的.
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)單調(diào)遞減，
而二次函數(shù)的圖象開口向上，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞減，
則函數(shù)在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又其對(duì)稱軸為，故，所以.故選：C.
變式1．下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意的，使得”成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，“對(duì)任意的，使得”，則函數(shù)在上為減函數(shù).
對(duì)于選項(xiàng)A，，為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B，，其導(dǎo)數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)C，為一次函數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，在上單調(diào)遞增，不符合題意.故選：A.
變式2．若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，且，都有，
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)不妨設(shè)，都有，
所以有，
所以函數(shù)是上的減函數(shù)，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即有，有，
所以有，
所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)，即時(shí)，有,由，得，
所以，解得，此時(shí)無解；
當(dāng)，即時(shí)，由，得，
所以，解得或．
綜上所述，不等式的解集為．
故選：C.
變式3．定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且都有，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意：當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí),
可得函數(shù)在單調(diào)遞增.
則
，
在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象.
得，則不等式的解集為，
故選：B.

1．已知函數(shù)，若對(duì)于一切的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，所以，即恒成立?br>故函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)椋?，即?br>當(dāng)時(shí)，左邊成立，故符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，解得：，
綜上所述：的取值范圍為：.
故選：D.
2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，此時(shí)，則，
所以在單調(diào)遞減，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)和時(shí)，.
由，即，
所以或或或，
所以或或或無解，
所以原不等式解集為
故選：D
3．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)，則，即，解得，
所以的定義域?yàn)椋遥?br>所以為奇函數(shù)，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，
所以不等式，即，
等價(jià)于，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且對(duì)任意的，，滿足，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是定義在上的奇函數(shù)，
對(duì)任意的，，，滿足，在上單調(diào)遞減，所以在上也單調(diào)遞減，
又所以，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集為．
故選：C.
5．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由，得．
因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，
所以為奇函數(shù)，
因此．
又，
所以．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而為奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，解得，
故的取值范圍為．
故選：D.
6．為定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】對(duì)任意的，都有，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，
所以，即為偶函數(shù)，
又，
由，可得，即，
所以，
所以的解集為，
故選：A.
7．函數(shù)，其中，則滿足的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，
當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上為減函數(shù)，
此時(shí)，.
因?yàn)椋?br>令，其中，
則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，
綜上可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以，等價(jià)于，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，故原不等式的解集為.
故選：A.
8．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
同理，當(dāng)時(shí)，，則，
且，可知函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，則，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，即，即，
所以在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.
則，
即，即，
可得，且，所以，解得，
所以解集為.
故選:A
9．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，，且，總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)可得，在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，總有?br>所以函數(shù)圖象上凸，畫出函數(shù)圖象，由幾何意義可知，表示函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率，
顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，
因?yàn)?，所以，B正確；
C選項(xiàng)，，結(jié)合函數(shù)圖象可知，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD
10．設(shè)函數(shù)，則（）
A．的一個(gè)周期為B．在上單調(diào)遞增
C．在上有最大值D．圖象的一條對(duì)稱軸為直線
【答案】BD
【詳解】對(duì)A：，故不是的周期，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：令，則，
則，
∵，則，
∴在上單調(diào)遞增，且，
又∵在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，B正確；
對(duì)C：∵，則，
∴，則，
又∵在上單調(diào)遞增，且，
∴在上最大值為，
即在上有最大值，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，故圖象的一條對(duì)稱軸為直線，D正確.
故選：BD.
11．已知函數(shù)，則（）
A．函數(shù)為奇函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，或1
C．若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，由，解得或，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，由，有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)0，當(dāng)時(shí)，必有，有，可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由，可知滿足題意只需
當(dāng)時(shí)，，有，即，
所以，由，有，
則，可知當(dāng)時(shí)，和恒成立，
，有.故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
易錯(cuò)點(diǎn)三：奇偶性的前提及兩個(gè)函數(shù)與一個(gè)函數(shù)的區(qū)別（函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性）
1.奇偶性技巧
(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.
(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.
對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
2.周期性技巧
結(jié)論1：若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：
也可理解為：平移個(gè)單位到谷底，再平移一個(gè)單位到巔峰，再平移一個(gè)單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，
結(jié)論2：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.
證明：
口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).
結(jié)論3：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.
證明：先向左平移個(gè)單位得
令如同結(jié)論1
結(jié)論4：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有，(或)(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.
證明：，
結(jié)論5:定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，有且，
(其中是常數(shù)，)則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.
另一種題干出現(xiàn)的信息：①若的圖象關(guān)于直線都對(duì)稱，則等價(jià)于且，則為周期函數(shù)且.
②若為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則為周期函數(shù)且
證明：向左平移個(gè)單位，得
，同理，
利用口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期
結(jié)論6:若定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立()，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：由函數(shù)
，向右平移個(gè)單位得
口訣：內(nèi)同號(hào)，外異號(hào)，內(nèi)部只差需2倍，出現(xiàn)周期很.
結(jié)論7:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：
如同結(jié)論4，
結(jié)論8:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：
結(jié)論9:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：得
結(jié)論10:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)都對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：函數(shù)滿足且，
則
利用口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期
結(jié)論11:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線都對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
證明：函數(shù)滿足且，
則
3.對(duì)稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
結(jié)論：
1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即有意義，那么一定有.
(2)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么.
2.函數(shù)周期性常用結(jié)論
對(duì)定義域內(nèi)任一自變量的值:
(1)若，則.
(2)若，則.
(3)若，則.
3.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
(2)若對(duì)于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
易錯(cuò)提醒：奇偶性的前提及兩個(gè)函數(shù)與一個(gè)函數(shù)的區(qū)別
1．函數(shù)的奇偶性
由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．
2．函數(shù)的對(duì)稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則．
又是偶函數(shù)，所以，所以．
故選：C.
變式1．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．B．
C．是以4為周期的函數(shù)D．的圖象關(guān)于對(duì)稱
【答案】B
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
將換成，則有，
A：令，所以，因此本選項(xiàng)正確；
B：因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
由，可得，的值不確定，
因此不能確定的值，所以本選項(xiàng)不正確；
C：因?yàn)椋?br>所以，
所以，因此是以4為周期的函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；
D：因?yàn)椋?br>所以，
因此有，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
由上可知是以4為周期的函數(shù)，
所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱，因此本選項(xiàng)正確，
故選：B.
變式2．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：①當(dāng)時(shí)，的最小值為3；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④是圖象的一條切線，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【詳解】①當(dāng)時(shí)，,,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值是3，正確；
②函數(shù)，記，其定義域是，，因此是奇函數(shù)，正確；
③的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，把它向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得的圖象，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確；
④，由得或，，，
因此直線和都是函數(shù)圖象的切線，④正確，
故選：D．
變式3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以，所以4為函數(shù)的周期，
所以．故選：C．
1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則的值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【詳解】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，
又可知，
所以，可得，
即，因此是周期為的奇函數(shù)，
則，代入計(jì)算可得.
故選：B
2．定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，
又函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得，
則有，進(jìn)而可得，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則.
故選：C.
3．已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）
A．的周期為4B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】由于為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所以圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以，
所以①，
而②，
兩式相加得，則③，
所以，
所以是的一個(gè)周期，A選項(xiàng)正確.
由③令得，
由①令得，
由②令得，則，
所以，
所以，C選項(xiàng)正確.
由①令得，
由，
得，
兩式相減得，即，
且關(guān)于對(duì)稱，，
所以④，
所以，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由④令得，所以，
所以，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
4．已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）
A．
B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．
D．
【答案】BD
【詳解】假設(shè)，則，都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，，又，，
所以，所以無法確定的值，所以C錯(cuò)誤；
又，，所以，又，所以，
由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則

，所以 D正確.
故選：BD
5．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，
若為奇函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
則，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；
對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，
所以導(dǎo)函數(shù)的周期為8，所以，故C正確；
由周期，得，，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，
所以，故D正確.
故選：BCD.
6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并且?duì)，都有，則下列說法正確的是（）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．
D．若時(shí)，，則時(shí)，
【答案】ACD
【詳解】由可知函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，故A正確；
由可得，又，
所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故為函?shù)周期，
又，
所以，故C正確；
由知函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，
則在函數(shù)圖象上，且，
所以，即，故D正確.
故選：ACD
7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)
D．若函數(shù)滿足，則
【答案】ABD
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；
因?yàn)椋?，又?br>所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；
因?yàn)?，所以是最小正周期?的周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，那么?br>所以也是周期為4的函數(shù)，
，
因?yàn)椋?，?br>所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
8．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則下列四個(gè)命題中正確的是（）
A．
B．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
C．函數(shù)在區(qū)間上存在3個(gè)零點(diǎn)
D．若在區(qū)間上的根為，則
【答案】AB
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋灾芷?，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，
所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，若當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，則根據(jù)周期性和對(duì)稱性可推出無零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，且的周期，
又在區(qū)間上的根為，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
易錯(cuò)點(diǎn)四：遺漏冪函數(shù)的特征及二次函數(shù)弦長公式（冪函數(shù)與二次函數(shù)）
1、根據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小的方法
冪函數(shù)的冪指數(shù)的大小，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離軸(不包括冪函數(shù)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離軸.
2、對(duì)于函數(shù)，若是二次函數(shù)，就隱含，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時(shí)，就要分和兩種情況討論.在二次函數(shù)中，的正負(fù)決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸的位置).
3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），
4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.
結(jié)論：
1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．
2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個(gè)不等正根
（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3.一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.
①，
限定條件
②
限定條件
③
限定條件
在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根
限定條件
限定條件
限定條件
限定條件
限定條件
在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根
限定條件
限定條件
在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根
限定條件
4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成： = 1 \* GB3 ①軸處在區(qū)間的左側(cè)； = 2 \* GB3 ②軸處在區(qū)間的右側(cè)； = 3 \* GB3 ③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
易錯(cuò)提醒：冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).
掌握二次函數(shù)解析式的三種形式（不能忘記最后一種）
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.
（3）兩點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
與軸相交的弦長
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.
例 1若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)函數(shù)，
則函數(shù)是由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的.
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)單調(diào)遞減，
而二次函數(shù)的圖象開口向上，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞減，
則函數(shù)在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又其對(duì)稱軸為，故，
所以.
故選：C.
變式1．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】為開口方向向上，對(duì)稱軸為的拋物線，
又在上單調(diào)遞減，，解得：.
故選：B.
變式2．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在上單調(diào)遞增；
∴，
解得；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故選：A．
變式3．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由題可得，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，
所以，
聯(lián)立解得，
又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，所以成立，
構(gòu)造，
所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，
(i)若，則對(duì)稱軸，解得；
(ii) 若，在單調(diào)遞增，滿足題意；
(iii) 若，則對(duì)稱軸恒成立；
綜上，，
故選：B.
1．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)殚_口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
為開口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。
故選：D
2．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（）
A．2B．C．D．-2
【答案】C
【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意;
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，符合題意，故.
故選：C.
3．已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù),
所以，解得，又，
，解得，解得，
所以，，
由與在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，
則不等式，即，等價(jià)于，
所以，解得，即不等式的解集為.
故選：C
4．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
且，所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，?br>則
所以.

故選：A
5．已知的解集是，則下列說法正確的是（）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，則m的取值范圍是或
D．當(dāng)時(shí)，，的值域是，則的取值范圍是
【答案】ABD
【詳解】因的解集是，則是關(guān)于x的方程的二根，且，
于是得，即，
對(duì)于A，不等式化為：，解得，A正確；
對(duì)于B，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，B正確；
對(duì)于C，，令，則在上單調(diào)遞增，
即有，因有解，則，解得或，C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，
依題意，，由得，或，因在上的最小值為-3，
從而得或，因此，D正確.
故選：ABD
6．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是
B．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是
C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則
D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是
【答案】BCD
【詳解】解：令得，即
所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
故，作出函數(shù)圖像如圖，
由圖可知，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故B選項(xiàng)正確；
有4個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故C選項(xiàng)正確；
由C選項(xiàng)可知，所以，由于有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是，故，所以，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
7．已知函數(shù)(即，)則（）
A．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．設(shè)最小值為，則D．方程可能有2個(gè)解
【答案】ABD
【詳解】：當(dāng)時(shí)，，即，
所以，所以是偶函數(shù)，故正確；
：當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱軸為，開口向上，
此時(shí)在上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱軸為，開口向上，
此時(shí)在上是增函數(shù)，
綜上，在上是增函數(shù)，故正確；
：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椴荒艽_定的大小，所以最小值無法判斷，故錯(cuò)誤；
：令，
當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)解，故正確.
故選：ABD
8．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【詳解】當(dāng),，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí),為二次函數(shù)，要想在處取最小，
則對(duì)稱軸要滿足,且,
即，解得,
故選：BCD.
9．設(shè)，函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【詳解】由題意，函數(shù)，令，
可得拋物線的開口向上，對(duì)稱軸的方程為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，
此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
可得在遞減，在上遞增，且；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，
此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在遞減，在上遞增，且，
此時(shí)選項(xiàng)B符合題意；
當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
不妨設(shè)另個(gè)零點(diǎn)分別為且，
此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得在遞減，在上遞增，且，
則在遞減，在上遞增，且，
此時(shí)選項(xiàng)D符合題意.
綜上可得，函數(shù)的圖象可能是選項(xiàng)BD.
故選：BD.
10．關(guān)于的方程，下列命題正確的有（）
A．存在實(shí)數(shù)，使得方程無實(shí)根
B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根
D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
【答案】AB
方程化為關(guān)于的二次方程.
當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根，故原方程無實(shí)根.
當(dāng)時(shí)，可得，則，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，由可知，，.
因?yàn)?，所以無實(shí)根，有兩個(gè)不同的實(shí)根.
綜上可知：A，B項(xiàng)正確，C，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
易錯(cuò)點(diǎn)五：根式奇偶討論（指對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)）
指數(shù)
1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.
2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).
3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路
(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．
(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．
(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．
(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．
5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大??；
6.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；
7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。
對(duì)數(shù)：
1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.|
3.，且是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
4.識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)以1為分界：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，且以軸為漸近線.
5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
6.比較對(duì)數(shù)值的大小
(1)若對(duì)數(shù)值同底數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較
(2)若對(duì)數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較
(3)若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較
解決對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個(gè)步驟:
第一步：求出函數(shù)的定義域；
第二步：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；
第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性
結(jié)論：
1.畫指數(shù)函數(shù)，且的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):
2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)且的圖象越高，底數(shù)越大.
3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)
(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域
形如的函數(shù)的定義域就是的定義域.
求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域.若的范圍不確定，則需對(duì)進(jìn)行討論.
求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.
(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
令，如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù).
換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)(2).其中，且，且.
對(duì)數(shù)函數(shù)，且的圖象過定點(diǎn)，且過點(diǎn)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.
易錯(cuò)提醒：根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】AC
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以為偶函數(shù)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，
，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
而函數(shù)在都是減函數(shù)，
所以函數(shù)在是減函數(shù)，
又因?yàn)榕己瘮?shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
變式1、設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以；
又因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，
所以，，
且由函數(shù)為偶函數(shù)知在上單調(diào)遞減，故
對(duì)于選項(xiàng)A和B，∵，在上單調(diào)遞減，
∴，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C和D，∵，，函數(shù)為偶函數(shù)，
在上單調(diào)遞減，
∴，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
變式2、已知函數(shù)，則（）
A．的最小值為1B．，
C．D．
【答案】ACD
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值1，A正確．
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為1，所以，所以，B錯(cuò)誤．
因?yàn)?，所以，又，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C正確．
因?yàn)?，所以，所以，D正確．
故選：ACD
變式3、已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】由可知，若，則，則不成立，
又時(shí)，，故，
又，則可看作的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出與的圖象如圖，

結(jié)合圖象可知，故A錯(cuò)誤，B正確；
由，，得，
故，C正確；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
由于，故，即，
故，D正確，
故選：BCD
1．下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)
B．“”的必要不充分條件是“”
C．函數(shù)的最小正周期為2
D．函數(shù)的最小值為2
【答案】AB
【詳解】對(duì)于A，令，則，即，
所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，不能推出，而能推出，
所以“”的必要不充分條件是“”，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，令等價(jià)于，
所以①，令等價(jià)于，
所以②，由①②可得：，
所以函數(shù)的最小正周期為4，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)，令，
則，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
故，故函數(shù)的最小值為2錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
2．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到下列四個(gè)命題，其中正確的命題有（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
B．當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)
C．函數(shù)的最小值是
D．函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)
【答案】AC
【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，由的性質(zhì)可知其在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)，又是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故B不正確；
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又是偶函數(shù)，
所以函數(shù)的最小值是，故C正確；
由函數(shù)定義可得，函數(shù)與不可能有四個(gè)交點(diǎn)，故D不正確.
故選：AC.
3．給出下列說法，錯(cuò)誤的有（）
A．若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則
B．已知的值域?yàn)?，則的取值范圍是
C．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>D．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，
則，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，由可得，此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，符合題意，
綜上所述，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>所以函數(shù)的值域滿足，
所以，解得，所以B說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：由得，所以的定義域?yàn)?，選項(xiàng)C說法正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，
令，，則，
即函數(shù)的值域?yàn)?，選項(xiàng)D說法錯(cuò)誤；
故選：ABD
4．給出下列說法，錯(cuò)誤的有（）
A．若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則
B．已知的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是
C．已知函數(shù)滿足，且，則
D．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，，即，即，
即，整理可得，即，
所以，，解得，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，合乎題意，
當(dāng)時(shí)，，
由可得，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，合乎題意.
綜上所述，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>則函數(shù)的值域滿足，
則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)滿足，則，
故的周期為，因?yàn)?，則，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>由，得，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋畡t，
又
，
故函數(shù)的值域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤：
故選：ABD.
5．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，的部分解析式為，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．若函數(shù)在內(nèi)滿足恒成立，則
C．存在實(shí)數(shù)，使得的圖象與直線有7個(gè)交點(diǎn)
D．已知方程的解為，則
【答案】BCD
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，
函數(shù)的圖象如圖所示，

對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，，結(jié)合圖象可知，故B正確：
對(duì)于選項(xiàng)C，令，即，
由，解得或，
將代入中，得到，
分析可得，當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有7個(gè)交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)方程的解為4個(gè)時(shí)，，不妨設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性可得.
分析圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程的解為3個(gè)，，
又因?yàn)椋?，所以，故D正確.
故選：BCD.
6．下列選項(xiàng)正確的是（）
A．
B．若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則
C．的最小值為
D．已知正實(shí)數(shù)a、b，若，則的最小值為9
【答案】BD
【詳解】當(dāng)時(shí)，,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
,,,B選項(xiàng)正確;
,當(dāng)即,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
正實(shí)數(shù)a、b，若，則,,
即時(shí)取等號(hào)，D選項(xiàng)正確.
故選:BD.
7．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【詳解】∵，∴，
∴或，
又∵，∴，∴，故A不正確，B正確；
又由有意義知，從而，
于是.
所以.
從而.
又，所以，
故.
解得或（舍去）.
把代入解得.
所以，，故C正確，D不正確.
故選：BC.
8．已知函數(shù)，則（）
A．當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)镽
B．一定存在最小值
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽
【答案】AC
【詳解】對(duì)于A：若，則，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的上方，
即恒成立，所以的定義域?yàn)镽，故A正確；
對(duì)于B：若，則的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽，沒有最小值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由于函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象，
此時(shí)對(duì)稱軸為直線，故C正確；
對(duì)于D：若，則，故的值域不是R，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.

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