一．選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）
1. 若某正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，則該正比例函數(shù)的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正比例函數(shù)，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為，把點代入求解即可．
【詳解】解：設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為，
把點代入，得，
解得，
∴，
故選：D．
2. 下列計算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算，據(jù)此相關(guān)運算法則，進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、不是同類二次根式，所以不能合并，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是正確的；
故選：D．
3. 對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 它的圖象必經(jīng)過點
B. y的值隨x值的增大而增大試卷源自 每日更新，匯集全國各地小初高最新試卷。C. 當時，
D. 它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，據(jù)此逐一分析各選項的情況，進行作答即可．
【詳解】解：A、當時，，
函數(shù)的圖象經(jīng)過點，選項A不符合題意；
B、，
的值隨值的增大而減小，選項B不符合題意；
C、當時，，解得：，
當時，，選項C符合題意；
D、，，
函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，選項D不符合題意；
故選：C．
4. 如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為和．若，則的值是（ ）

A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

解：由題意可知：，
在直角三角形和中，
，
即，
∵
∴
故選B．
【點睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解答的關(guān)鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．
5. 下列命題中，真命題的個數(shù)是（ ）
①平行四邊形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；
②一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
④對角線相等且互相平分的四邊形是菱形；
⑤四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形；
⑥對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了真假命題，平行四邊形的性質(zhì)與判斷，矩形、菱形、正方形的判定等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)判斷①；利用平行四邊形的判定判斷②、③；利用矩形、菱形的判定判斷③、④；利用正方形的判定判斷⑤即可．
【詳解】解：①平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故原命題是假命題；
②一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故原命題是假命題；
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，，故原命題是真命題；
④對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原命題是假命題；
⑤四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故原命題是真命題；
⑥對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原命題是真命題．
故選：B．
6. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則在下列選項中，b的值可以是（ ）
A. b＝﹣1B. b＝﹣2C. b＝﹣3D. b＝0
【答案】C
【解析】
【分析】由原方程有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ＝b2﹣4＞0，再逐一檢驗各選項即可得到答案.
【詳解】解：根據(jù)題意得Δ＝b2﹣4＞0，
則b2＞4，
所以b的值可取﹣3．
故選：C．
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握由一元二次方程根的情況求解判別式中參數(shù)的取值或取值范圍是解本題的關(guān)鍵.
7. 如圖，在矩形中，點的坐標是，則的長是（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，過作軸于，由矩形的性質(zhì)得，再由點的坐標得，，然后由勾股定理求出的長，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，過作軸于，
四邊形是矩形，
，
點坐標是，
，，
，
，
故選：C
8. 小穎姐姐今年大學畢業(yè)了，她去一家公司參加招聘文員測試，公司對應(yīng)試者進行了筆試和面試測試，再按筆試占60%、面試占40%計算應(yīng)試者的總成績，已知小穎姐姐筆試得85分、面試得75分，則她的總成績?yōu)椋? ）
A. 79分B. 80分C. 81分D. 82分
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可．
【詳解】解：由題意可得，她的總成績?yōu)椋悍郑?br>故選：C．
【點睛】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，用到的知識點是加權(quán)平均數(shù)．
9. 如圖，“漏壺”是一種古代計時器，在壺內(nèi)盛一定量水，水從壺下的小孔漏出，壺內(nèi)壁有刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計算時間．若用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，下面的圖象適合表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（不考慮水量變化對壓力的影響）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可知y隨x的增大而勻速的減小，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵不考慮水量變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，
∴y隨x的增大而勻速的減小，即y隨x勻速變化，
∴選項B圖象適合表示y與x的對應(yīng)關(guān)系．
故選：B．
【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，理解題意，得出水從壺底小孔均勻漏出是解答的關(guān)鍵．
10. 如圖，是一張平行四邊形紙片，要求利用所學知識作出一個菱形，甲、乙兩位同學的作法如下：
則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（ ）
A. 僅甲正確B. 僅乙正確C. 甲、乙均正確D. 甲、乙均錯誤
【答案】C
【解析】
【分析】由甲乙的做法，根據(jù)菱形的判定方法可知正誤．
【詳解】解：甲的作法如圖所示：
四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
又垂直平分AC，
．
在和中，
，
，
，
四邊形AFCE為平行四邊形，
又，
四邊形AFCE為菱形，
所以甲的作法正確；
乙的作法如圖所示：
，
，
AE平分，
，
，
，
同理可得，
，
又，
四邊形ABEF為平行四邊形，
，
四邊形ABEF為菱形，
所以乙的作法正確，
故選C．
【點睛】本題考查菱形的判定，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. 乙前4秒行駛的路程為48米
B. 在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒
C. 兩車到第3秒時行駛的路程相等
D. 在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度
【答案】C
【解析】
【詳解】A．根據(jù)圖象可得，乙前4秒行駛的路程為12×4=48米，正確，不符合題意；
B．根據(jù)圖象得：在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒，正確，不符合題意；
C．根據(jù)圖象可得兩車到第3秒時速度相同，但是行駛的路程不相等，故本選項錯誤，符合題意；
D．在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度，正確，不符合題意；
故選C．
12. 在函數(shù)（其中k、b為常數(shù)，且）的圖象上有兩個點，則下列各式中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)增減性判斷即可．
【詳解】解：∵函數(shù)（其中k、b為常數(shù)，且），
∴隨的增大而減小，
又∵點，是函數(shù)上的兩點，
，
∴．
故選A．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的增減性，靈活運用，解決問題．
13. 菱形的對角線交于點O，過點A作，垂足為E，交于點E，若，菱形的面積為24，則的長為（ ）
A. 2.4B. 4C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)菱形面積對角線積的一半可求，再根據(jù)勾股定理得出．結(jié)合，即可作答．本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．
【詳解】解：是菱形，
，，
∴
則，
∴
∴
中，
，
∴
則，
故選：C．
14. 如圖，把放在直角坐標系內(nèi)，其中，，點A、B的坐標分別為、，將沿x軸向右平移，當點C落在直線上時，線段掃過的面積為（ ）
A. 35B. 30C. 28D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理以及平行四邊形的面積，明確線段掃過的面積為平行四邊形的面積是解決此題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，線段掃過的面積為平行四邊形的面積，先利用勾股定理求出，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到即點的縱坐標為4，進而求出其橫坐標為5，得到，從而得到，即可求出平行四邊形面積得到答案；
【詳解】解：如圖所示，線段掃過的面積為平行四邊形的面積，
點A、B的坐標分別為、，
，
，
在直線上，
解得：，
，
線段掃過面積為24，
故選：D．
15. 如圖，正方形和正方形中，點D在上，，，H是的中點，連接，那么下列說法：①；②；③是等腰三角形；④．正確的序號是（ ）
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①④
【答案】A
【解析】
【詳解】連接、，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，，則，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求的長．本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．
【分析】解：連接、，如圖，
四邊形和四邊形都是正方形，
，，，，
①是正確的；
，
則
則②是錯誤的；
在中，，
是的中點，
．
∴
∴③是正確的；④是錯誤的；
故選：A．
二．填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）
16. 若二次根式有意義，則實數(shù)的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式中被開方是非負數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：二次根式有意義，
∴，解得，，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，不等式的性質(zhì)，掌握以上知識的運用是解題的關(guān)鍵．
17. 將一次函數(shù)的圖象進行上下平移，使得平移之后的圖象經(jīng)過點，則平移之后圖象的解析式為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進行解答即可．
【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)平移后的解析式為：，
∵移之后的圖象經(jīng)過點，
∴，
解得：，
∴平移之后圖象的解析式為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，熟練掌握函數(shù)圖像的平移規(guī)律：上加下減，左加右減是解本題的關(guān)鍵．
18. 明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進兩步（EB⊥OC于點E，且EB＝10尺），踏板升高到點B位置，此時踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長______尺．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】解：設(shè)OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的長度為（尺）．
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
19. 如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在點E處，交于點F．若，，則的度數(shù)為______．
【答案】##112度
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可得．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三．解答題（本大題共8小題，共62分）
20. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用二次根式的性質(zhì)和除法法則計算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式計算即可．
小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
21. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，先化為一般式，再運用代入數(shù)值，進行化簡計算，即可作答．
【詳解】解：，
移項得，
∴，
則．
即，．
22. 2023年5月31日，“神舟十六號”載人飛船成功發(fā)射，激發(fā)了同學們的愛國熱情．學校為了解學生對航空航天知識的掌握情況，對七、八年級學生進行了測試，此次測試采用百分制，并規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為及格，59分及以下為不及格，現(xiàn)從七、八年級各隨機抽取20名學生的測試成績，并將數(shù)據(jù)進行以下整理與分析．
①抽取七年級20名學生的成績?nèi)绫恚?br>②抽取七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）
③抽取八年級20名學生成績的扇形統(tǒng)計圖如圖2所示．
④七年級、八年級各抽取的20名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如表：
請根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）______．
（2）補全七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖．
（3）目前該校七年級學生有300人，八年級學生有200人，估計兩個年級此次測試成績達到優(yōu)秀的學生總?cè)藬?shù)．
（4）從平均數(shù)和方差的角度分析，你認為哪個年級的學生成績較好？請說明理由．
【答案】（1）
（2）見詳解 （3）135人
（4）八年級學生成績較好，理由見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義求出七年級這20名學生成績的中位數(shù)，即的值；
（2）根據(jù)頻數(shù)之和等于樣本容量可求出“”的頻數(shù)，進而補全頻數(shù)分布直方圖，
（3）分別求出七、八年級優(yōu)秀等級的人數(shù)，進而即可求解；
（4）根據(jù)七、八年級的平均數(shù)，中位數(shù)，方差比較得出答案．
本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及頻數(shù)分布直方圖，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義是解決問題的前提．
【小問1詳解】
解：把七年級20名學生的成績按小到大排序后，位于第和位的分數(shù)為
∴處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為，
因此中位數(shù)是82，即
【小問2詳解】
解：結(jié)合七年級20名學生的成績表，得出的人數(shù)有4人，
補全頻數(shù)分布直方圖，如圖所示：
【小問3詳解】
解：七年級優(yōu)秀人數(shù)：（人），
八年級優(yōu)秀的人數(shù)為：（人），
∴（人）
答：優(yōu)秀的學生總?cè)藬?shù)大約有135人；
【小問4詳解】
解：八年級學生成績較好，
理由：八年級學生成績的平均數(shù)較大，而方差較小，說明平均成績較高，且波動不大，
因此八年級學生的成績較好．
23. 如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點均在格點上．
（1）直接寫出線段AC、CD、AD的長；
（2）求∠ACD的度數(shù)；
（3）求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）AC=，CD=，AD=5
（2）∠ACD=90°
（3）13
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理可判斷；
（3）由S四邊形ABCD=可求．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，得：
AC=，
CD=，
AD==5．
【小問2詳解】
解：∵AC+CD=+=25=5=AD．
∴∠ACD=90°．
【小問3詳解】
解：．S四邊形ABCD==8+5=13．
【點睛】本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理與逆定理是解題的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A，點B．直線與直線交于點E，與x軸交于點C，點E坐標為．
（1）求E的坐標和m的值；
（2）直接寫出不等式的解集．
（3）點P在直線AB上，若的面積為3，求點P的坐標．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）運用數(shù)形結(jié)合思想，分析出即直線在直線的上方時所對應(yīng)的的值，滿足條件．
（3）設(shè)點的橫坐標為，則，通過直線的解析式確定、的坐標，即可確定的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式可列出關(guān)于的方程，求出，即可得出點的坐標．
本題是兩條直線相交問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，表達出點坐標解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：依題意，當時，，
即點，
將點的坐標代入得：，
解得：；
【小問2詳解】
解：結(jié)合圖象，∵兩直線交于點E坐標為，
不等式的解集：；
【小問3詳解】
解：由（1）知，直線為，
直線與軸交于點，
，
直線與軸、軸分別交于點，點，
，
，
設(shè)點的橫坐標為，則，
，即，
解得或，
或．
25. 低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深．低碳環(huán)保．綠色出行成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行．某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲型自行車進貨價格為每臺650元，乙型自行車進貨價格為每臺800元．該公司銷售4臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利1250元，銷售1臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利950元
（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元?
（2）為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共30臺，且資金不超過21000元，如何購買才能使得這30臺自行車全部售出后總利潤最大?
【答案】（1）100元，170元
（2）購買甲型自行車20輛、乙型自行車10輛才能使得這30臺自行車全部賣出后總利潤最大
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，
（1）設(shè)該公司銷售一臺甲型自行車的利潤是元，一臺乙型自行車的利潤是元，根據(jù)“該公司銷售4臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利1250元，銷售1臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利950元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該公司加購臺甲型自行車，則加購臺乙型自行車，利用總進價進貨單價進貨數(shù)量，結(jié)合總進價不超過21000元，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)加購的這30臺自行車全部售出后總利潤為元，利用總利潤每臺甲型自行車的銷售利潤銷售數(shù)量（購進數(shù)量）每臺乙型自行車的銷售利潤銷售數(shù)量（購進數(shù)量），可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
【小問1詳解】
解：設(shè)該公司銷售一臺甲型自行車的利潤是元，一臺乙型自行車的利潤是元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：該公司銷售一臺甲型自行車的利潤是100元，一臺乙型自行車的利潤是170元；
【小問2詳解】
設(shè)該公司加購臺甲型自行車，則加購臺乙型自行車，
根據(jù)題意得：，
解得：．
設(shè)這30臺自行車全部售出后總利潤為元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
當時，取得最大值，此時（臺．
答：該公司加購20臺甲型自行車，10臺乙型自行車時，才能使得這30臺自行車全部售出后總利潤最大．
26. 如圖，在中，D是的中點，E是的中點，于點F，于點G．

（1）求證：四邊形為矩形；
（2）若，，求矩形的周長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先由垂直的定義得到，再證明是的中位線，得到，進而求出，由此即可證明四邊形為矩形；
（2）先根據(jù)線段中點的定義得到，再利用勾股定理求出的長，利用三角形中位線定理求出的長，再根據(jù)矩形的周長公式進行求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∵D是的中點，E是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵D是AB的中點，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中位線，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
∴矩形的周長．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形中位線定理，熟知矩形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
27. 如圖1，把一個含角的直角三角板和一個正方形擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C始終重合，連接，取的中點M，的中點N，連接、．
（1）若直角三角板和正方形如圖1擺放，點E、F分別在正方形的邊、上，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）若直角三角板和正方形如圖2擺放，點E、F分別在、的延長線．其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．
（3）①在擺放過程中，若，則的面積______（用含a的式子表示）
②若，，連接，在擺放的過程中，的面積存在最大值和最小值，請直接寫出和的值．
【答案】（1）
（2）仍然成立，證明見解析
（3）①；②，
【解析】
【分析】（1）連接，利用證明，得再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和三角形中位線定理可得答案；
（2）連接，由(1)同理可證明結(jié)論；
（3）①連接，設(shè)交于O，交于G，首先證明是等腰直角三角形，可得，
②根據(jù)三角形三邊關(guān)系知，從而解決問題．
【小問1詳解】
證明如下：
連接，
四邊形是正方形，
M是的中點，N是的中點，
M是的中點，
【小問2詳解】
仍然成立，證明如下：如圖，連接，
四邊形是正方形，
，
M是的中點，N是的中點，
M是的中點，
【小問3詳解】
①如圖3，連接，，設(shè)交于O，交于G，
M是的中點，
,
M是的中點，N是的中點，
，
，
故答案為：；
②四邊形是正方形，，
由題意得
即
當時，最小值，
當時，最大值
，；
【點睛】本題四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．甲：連接，作的中垂線交、于、，則四邊形是菱形．
乙：分別作與的平分線、，分別交于點，交于點，則四邊形是菱形．
65
87
57
96
79
67
89
97
77
100
83
69
89
94
58
97
69
78
81
88
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
七年級
81
a
167.9
八年級
82
81
106.3

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