2024年江蘇省南京師范大學附屬中學中考二模數(shù)學試題

這是一份2024年江蘇省南京師范大學附屬中學中考二模數(shù)學試題，共30頁。試卷主要包含了全卷滿分120分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

注意事項：
1．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．
2．請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．
3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．
4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．D．4
2．估算的值應(yīng)在（ ）
A．5和6之間B．6和7之間C．7和8之間D．8和9之間
3．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，已知點，，若將線段平移至，其中點，，則的值為（ ）
A．B．C．2D．4
5．華為最新款手機芯片“麒麟990”是一種微型處理器，每秒可進行10000000000次運算，它工作2024秒可進行的運算次數(shù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，是函數(shù)圖象上的兩點，過點B作x軸的垂線與射線交于點C．若，則k的值為（ ）
A．4B．6C．D．8
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
7．要使二次根式有意義，則的取值范圍是 ．
8．不等式組的所有整數(shù)解的和為 ．
9．圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 °．
10．如圖，平行四邊形中，分別是邊上的動點，且，則的最小值為 ．
11．小明不小心把一塊直角三角形玻璃打碎了，他取了一個碎片（如圖），若，，，則原直角三角形玻璃的面積為 ．（參考數(shù)據(jù)：，，）
12．將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為 ．
13．不透明袋子中裝有個黑球、個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出個球，“摸出黑球”的概率是 ．
14．如圖，是的直徑，點D在的延長線上，切于點C，若，則的度數(shù)為 ．
15．如圖，在蘇通長江大橋的主橋示意圖中，兩座索塔及索塔兩側(cè)的斜拉索對稱分布，大橋主跨的中點為E，最長的斜拉索長，記與大橋主梁所夾的銳角為α，那么用的長和α的三角函數(shù)表示主跨長的表達式應(yīng)為 （m）．
16．圖1是利用邊長為的正方形繪成的七巧板圖案，現(xiàn)將它剪拼成一個“房子”造型（如圖2），過左側(cè)的三個端點作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形作為題字區(qū)域（點在圓上，點在上），形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為 ．
三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．計算：．
18．先化簡，再從的范圍內(nèi)選擇一個合適的整數(shù)代入求值．
19．解方程和不等式組：
(1)；
(2)．
20．駕駛員理論考試中，常遇到4選2的多選題．如：駕駛機動車遇到如圖這種情況時，正確的做法是“停車等待動物穿過”和“與動物保持較遠距離”．現(xiàn)制作4張形狀大小完全相同的卡片，其中每張卡片的正面分別寫有“停車等待動物穿過”“鳴喇叭驅(qū)趕動物”“下車驅(qū)趕動物”“與動物保持較遠距離”，洗勻后背面朝上．
(1)隨機抽取1張卡片，恰為“停車等待動物穿過”的概率是______；
(2)一次性抽取2張卡片，卡片恰為“停車等待動物穿過”和“與動物保持較遠距離”的概率是多少？（請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程）
21．如圖，已知矩形．
(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，使點分別在邊上，（不寫作法，保留作圖痕跡，并給出證明．）
(2)若，求菱形的周長．
22．如圖，已知在中，，以A為圓心，的長為半徑作圓，是的切線與的延長線交于點E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點A作的垂線交的延長線于點D．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，連接．
①試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
②若，的半徑為3，求的長．
23．3月12日植樹節(jié)，某中學需要采購一批樹苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆種樹苗的價格是樹苗基地的倍，用元在市場上購買的種樹苗比在樹苗基地購買的少捆．
(1)求樹苗基地每捆種樹苗的價格．
(2)樹苗基地每捆種樹苗的價格是元．學校決定在樹苗基地購買，兩種樹苗共捆，且種樹苗的捆數(shù)不超過種樹苗的捆數(shù)．樹苗基地為支持該?；顒樱瑢?、兩種樹苗均提供八折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．
24．已知函數(shù)(是常數(shù)，)，函數(shù)
(1)若函數(shù)和函數(shù)的圖象交于點，點．
求，的值；
當時，直接寫出的取值范圍；
(2)若點在函數(shù)的圖象上，點先向下平移個單位，再向左平移個單位，得點，點恰好落在函數(shù)的圖象上，求的值．
25．如圖，直線交雙曲線于A、B兩點，交x軸于點C，且B恰為線段的中點，連接．若．求k的值．
26．在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點旋轉(zhuǎn)一個角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．
例如：如圖①，先將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作，逆，．
(1)如圖②，經(jīng)過，順，得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）
(2)如圖③，經(jīng)過，逆，得到，經(jīng)過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．
(3)如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．
Ⅰ．用尺規(guī)作出點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；
Ⅱ．直接寫出的長．
27．拋物線交軸于兩點（在的左邊），已知坐標，拋物線交軸于點．
(1)直接寫出拋物線的解析式；
(2)如圖1，點在拋物線段上，過點作軸垂線，分別交軸、線段于兩點，連接，若與相似，求點的坐標；
(3)如圖2，將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點，直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上?若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
題號
一
二
三
總分
得分
參考答案：
1．B
【分析】此題考查了相反數(shù)的定義．根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)求解即可．
【詳解】解：由相反數(shù)的定義可知，的相反數(shù)是，
故選：B．
2．A
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，先估算出的取值范圍，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)估算出的取值范圍即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：A．
3．A
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意得：
，
故選：A．
4．C
【分析】本題考查坐標與圖象的變化，根據(jù)，兩點的坐標可得出平移的方向和距離，求出a和的值，整體代入進而解決問題．
【詳解】解：∵線段由線段平移得到，
且，，，，
∴平移方式為：先向左平移3個單位，再向上平移1個單位，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
5．C
【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．
【詳解】解：，
故選C．
6．B
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)，得，求出．作軸于點，設(shè)直線與軸交于點，根據(jù)，得，所以，即可得到點點，，代入即可求出答案．
【詳解】解：如圖，作軸于點，設(shè)直線與軸交于點，
點，，，
點，，，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴點，，
點A，是函數(shù)圖象上的兩點，
∴，
解得，
∴
故選：B．
7．/
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)題中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟記二次根式有意義的條件是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：要使二次根式有意義，
，解得，
故答案為：．
8．5
【分析】此題主要考查解一元一次不等式組．先分別求出兩個一元一次不等式的解集，然后找出兩個解集的公共部分所有整數(shù)求和即可．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：
不等式組的整數(shù)解是：2，3，
∴不等式組的整數(shù)解的和為：，
故答案為：5．
9．
【分析】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖以及扇形的弧長公式，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，根據(jù)弧長公式計算即可．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為，
∴底面周長為：

解得：，
故答案為：
10．
【分析】延長，截取，連接，，過點A作于點H，證明，得出，說明當最小時，最小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：延長，截取，連接，，過點A作于點H，如圖所示：
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴當最小時，最小，
∵兩點之間線段最短，
∴當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
11．107
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形的面積．利用直角三角形邊角關(guān)系求出的長是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，求得，再根據(jù)直角三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴
故答案為：107．
12．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律． 根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進行求解即可；
【詳解】將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后可得：，
故答案為：；
13．/0.375
【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，用黑球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：∵一共有個黑球、個白球，且每個球被摸到的可能性相同，
∴從袋子中隨機摸出個球，“摸出黑球”的概率是，
故答案為：．
14．/28度
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理計算的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，連接，
∵切于點C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15．
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用特殊角的三角函數(shù)解答．
【詳解】解：解：由題意可得，，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、七巧板圖案，根據(jù)不共線三點確定一個圓，根據(jù)對稱性確定圓心的位置，進而根據(jù)垂徑定理和勾股定理進行計算即可得出答案．
【詳解】解：如圖，
，正方形的邊長為，
圖1中的，
由圖可得：，，
過左側(cè)的三個端點、、作圓，
，
，
點在上，連接，則為半徑，
設(shè)半徑為，則，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
圓的半徑為，
故答案為：．
17．
【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握，，進行計算，即可．
【詳解】，
，
．
18．，
【分析】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算的運算順序是解本題的關(guān)鍵，先計算括號內(nèi)分式的減法，再計算分式的除法運算，最后結(jié)合分式有意義的條件把代入計算即可．
【詳解】解：原式，
要使分式有意義，且且，
所以a不能為0，1，，
取，
當時，原式．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查了解分式方程、解一元一次不等式組，熟練掌握解題步驟是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗即可得出答案；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）解：整理得：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
檢驗，當時，，
是原分式方程的解；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式組的解集為．
20．(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是通過列表或畫樹狀圖不重復(fù)、不遺漏地列舉出所有等可能的情況．
（1）利用簡單概率公式計算即可；
（2）通過畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數(shù)，利用概率公式計算即可．
【詳解】（1）解：一共有4張卡片，隨機抽取1張卡片，恰為“停車等待動物穿過”的概率是，
故答案為； ；
（2）解：記“停車等待動物穿過”的卡片為A，“鳴喇叭驅(qū)趕動物”的卡片為B，“下車驅(qū)趕動物”的卡片為C，“與動物保持較遠距離”的卡片為D，則畫樹狀圖如解圖，
由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，
其中恰為“停車等待動物穿過”A和“與動物保持較遠距離”D卡片的結(jié)果有2種，
∴P（恰為“停車等待動物穿過”和“與動物保持較遠距離”）
21．(1)圖見解析
(2)20
【分析】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)相關(guān)知識正確作圖是解題關(guān)鍵．
（1）作對角線的垂直平分線， 證明，即可證四邊形是菱形；
（2）設(shè)菱形邊長為x，則，根據(jù)勾股定理列方程，求出，即可得到菱形的周長．
【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求作；
垂直平分，
，，
矩形，
，
，
又，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（2）解：設(shè)菱形邊長為x，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，
解得，
菱形周長．
22．(1)見解析
(2)①與相切，理由見解析；②6
【分析】（1）使用尺規(guī)作圖作線段垂線，分別以點、點為圓心，作半徑相同的圓弧，交于一點，連接點A與該點并延長交的延長線于點．
（2）①根據(jù)垂直平分線性質(zhì)求得，則與相切；
②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．
【詳解】（1）
如圖，為所作垂線；

（2）①與相切，理由如下∶
在中，是的垂線，
，且是的垂直平分線，
，
，
與相切于點，
，即，
與相切；
②在中，
根據(jù)勾股定理，得：
在中，
【點睛】本題考查圓的切線的判定定理、垂直平分線性質(zhì)和勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
23．(1)
(2)
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；
（1）設(shè)樹苗基地每捆種樹苗的價格為元/捆，根據(jù)題意列出分式方程，解方程并檢驗，即可求解；
（2）設(shè)購買捆種樹苗，則購買捆種樹苗，共花費元，先求得，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）（1）設(shè)樹苗基地每捆種樹苗的價格為元/捆，依題意，得
解得：
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：樹苗基地每捆種樹苗的價格為元/捆；
（2）解：設(shè)購買捆種樹苗，則購買捆種樹苗，共花費元，
∵
解得：
∵，隨的增大而減小，
∴當時，取得最小值，最小值為
24．(1)，；或；
(2)．
【分析】（）采用待定系數(shù)法即可求出；
采用數(shù)形結(jié)合的方法，求出兩個解析式的交點，結(jié)合圖像即可求出；
（）結(jié)合題意，表示出點的坐標，然后將，兩點代入到中即可求出；
本題主要考查了待定系數(shù)法，坐標的平移，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，巧妙的運用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：把點代入到中，得：，解得：，
把代入到中，得：，解得：，
∴，
綜上：，；
如圖所示：
∵，，結(jié)合圖象，
∴當時，的取值范圍是：或；
（2）解：根據(jù)題意，，
∴，
把點，代入到中，得：
，解得：，
綜上：．
25．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；設(shè)A點坐標為，C點坐標為，根據(jù)線段中點坐標公式可得B點坐標為，利用點在反比例函數(shù)圖象可得，再根據(jù)三角形面積公式即可求出k；
【詳解】解：設(shè)A點坐標為，C點坐標為，
B恰為線段的中點，
點坐標為，
B在反比例函數(shù)圖象上，
，
，
，
，
，
；
26．(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊三角形，，從而得出點和點對應(yīng)點，，進而作出圖形；
（2）根據(jù)和位似，與位似得出，，，進而推出，從而，進而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；
（3）要使是正方形，應(yīng)使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．
【詳解】（1）解：如圖1，
1．以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點，分別以，為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點，
2．延長至，使，延長至，使，連接，
則就是求作的三角形；
（2）證明：和位似，與位似，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖2，
1．以為邊在上方作等邊三角形，
2．作等邊三角形的外接圓，作直徑，連接，
3．作，，延長，交于，連接，，
則四邊形是正方形，
證明：由上知：，，
，，，，
，
要使是正方形，應(yīng)使，，
，，
，
，
，
作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；
，，，
．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識，解決問題的關(guān)鍵是較強的分析能力．
27．(1)
(2)點的坐標為或
(3)點在一條定直線上
【分析】（1）由待定系數(shù)法求解即可；
（2）分兩種情況：若時，則；若時，過作軸于；分別求解即可；
（3）求出直線的解析式為：，直線的解析式為，聯(lián)立求出，從而即可得解．
【詳解】（1）解：將，代入拋物線解析式得，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）解：在中，令，則，
解得：，，
，
點在拋物線段上，
設(shè)點的坐標為，
如圖，若時，則，
，，
，
，
解得：（舍去）或；
如圖，若時，過作軸于，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
整理得：，
解得：（舍去）或；
綜上所述，符合題意的的值為或，則點的坐標為或；
（3）解：點在一條定直線上，
由題意得知拋物線：，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
，
為的中點，
，
設(shè)，，
設(shè)直線的解析式為：，
將，代入解析式得：，
解得：，
直線的解析式為：，
直線經(jīng)過點，
，
同理可得：直線的解析式為：，直線的解析式為，
，
聯(lián)立得：，
直線與直線交于點，
，則，
，
，
，
設(shè)點在直線上，則，
整理得：，
比較系數(shù)可得：，，
解得：，，
當，時，無論，為何值時，等式恒成立，
點在一條定直線上．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與坐標軸的交點，相似三角形的判定和性質(zhì)，次函數(shù)圖象上點的坐標特征等，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，運用分類討論思想思考解決問題．