一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（本題5分）（23-24高一下·湖南長沙·期中）已知向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．（本題5分）（23-24高三上·天津·期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（本題5分）（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)（ ）．
A．橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變
B．橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變
C．縱坐標(biāo)伸長為原來的倍，橫坐標(biāo)不變
D．縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變
4．（本題5分）（22-23高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個(gè)圓環(huán)，解開九連環(huán)最少需要移動(dòng)256次，且九連環(huán)的解下和套上是一對(duì)逆過程．九連環(huán)把玩時(shí)按照一定的程序反復(fù)操作，可以將九個(gè)環(huán)全部從框架上解下或者全部套上．若將第n個(gè)圓環(huán)解下最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為，已知，按規(guī)則有，則解下第6個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為（ ）
A．63B．64C．31D．32
5．（本題5分）（22-23高二下·重慶渝中·階段練習(xí)）央視評(píng)價(jià)重慶是“最寵游客的城市.”現(xiàn)有甲?乙兩位游客慕名來到重慶旅游，準(zhǔn)備從洪崖洞?磁器口?長江三峽?大足石刻和天生三橋五個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A為“甲和乙至少一人選擇洪崖洞”，事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則（ ）
A．B．C．D．
6．（本題5分）（22-23高一下·山東棗莊·期末）一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1，4，母線長為5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（本題5分）（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若上存在不同兩點(diǎn)，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．（本題5分）（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（本題9．（本9．（本題6分）（22-23高一下·福建福州·期中）若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．
C．D．的共軛復(fù)數(shù)
10．（本題6分）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：，則（ ）
A．B．
C．D．
11．（本題6分）（2024·吉林延邊·一模）如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，平面，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是
D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的余弦值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（本題5分）（2024·江蘇南京·二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為 ．
13．（本題5分）（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，為線段延長線上一點(diǎn)，平分，且直線與直線相交于點(diǎn)，則 ．
14．（本題5分）（22-23高二上·河北保定·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，如圖所示，若光線QR經(jīng)過的重心G，則AP= ．直線PQ的斜率為
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本題13分）（22-23高二下·福建泉州·期末）學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講，還有一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是課后自主學(xué)習(xí)，人們普遍認(rèn)為課后自主學(xué)習(xí)時(shí)間越多學(xué)習(xí)效果越好.某權(quán)威研究機(jī)構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生，對(duì)學(xué)生每天花在數(shù)學(xué)上的課后自主學(xué)習(xí)時(shí)間（分鐘）和他們的數(shù)學(xué)成績（分）做出了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)信息并證實(shí)了與正相關(guān).“學(xué)霸”小李為了鼓勵(lì)好朋友小王和小張努力學(xué)習(xí)，拿到了該機(jī)構(gòu)的一份數(shù)據(jù)表格如下（其中部分?jǐn)?shù)據(jù)被污染看不清），小李據(jù)此做出了散點(diǎn)圖如下，并計(jì)算得到，，的方差為350，的相關(guān)系數(shù)（）.


(1)請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績；
(2)受到小李的鼓勵(lì)，小王和小張決定在課后花更多的時(shí)間在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，小張把課后自主學(xué)習(xí)時(shí)間從20分鐘增加到60分鐘，而小王把課后自主學(xué)習(xí)時(shí)間從60分鐘增加到100分鐘.經(jīng)過幾個(gè)月的堅(jiān)持，小張的數(shù)學(xué)成績從50分提升到90分，但小王的數(shù)學(xué)成績卻只是從原來的100分提升到了115分.小王覺得很迷惑，課后學(xué)習(xí)時(shí)間每天同樣增加了40分鐘，為什么自己的成績僅僅提升了十幾分呢，為什么實(shí)際成績跟預(yù)測(cè)的成績差別那么大呢？
①請(qǐng)根據(jù)你對(duì)課后自主學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績的關(guān)系的看法及對(duì)一元回歸模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李為了解答小王的疑惑，想辦法拿到了上表中被污染的數(shù)據(jù)如下.據(jù)此，請(qǐng)?jiān)谏蠄D中補(bǔ)齊散點(diǎn)圖，并給出一個(gè)合適的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（不必求出具體方程，不必說明理由）.
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.
16．（本題15分）（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
17．（本題15分）（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，為底面的重心，點(diǎn)分別在棱上，且

(1)求證：平面；
(2)若底面，且三棱柱的各棱長均相等，求平面與平面DOG的夾角的余弦值．
18．（本題17分）（23-24高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，過點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求證：直線過定點(diǎn)．
19．（本題17分）（2024·湖南·一模）已知為非零常數(shù)，，若對(duì)，則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)證明：數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，若為數(shù)列，證明：；
(3)若為數(shù)列，證明：，使得．
編號(hào)
14
15
16
17
18
x
85
90
100
110
120
y
113
114
117
119
119
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示求出t，進(jìn)而求出，可求解其模長.
【詳解】由，得，解得，
所以，則，
故．
故選：D
2．B
【分析】解不等式，根據(jù)解集間的關(guān)系及充分條件與必要條件的概念判斷可得出結(jié)論．
【詳解】不等式，即或，解得或，
不等式，即，解得或，
因?yàn)榛?或
因此，“”是“”的必要而不充分條件，
故選：B．
3．D
【分析】由對(duì)圖象的影響可得.
【詳解】先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，
橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的，
橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
即將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的，
橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
故選：D.
4．C
【分析】根據(jù)依次計(jì)算得到，，得到答案.
【詳解】由題意:，
；；
；；
；；
，所以，
則解下第6個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為．
故選：C．
5．C
【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案.
【詳解】由題意知事件A：“甲和乙至少一人選擇洪崖洞”包含種情況，
事件：“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，且恰有一人選擇洪崖洞”包含種，
所以，
故選：C
6．B
【分析】利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑為，母線長為，
所以，
.
故選：B．
7．D
【分析】延長交橢圓于，則有，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，再由韋達(dá)定理可知，，由，可得，從而得，，即可得答案.
【詳解】解：延長交橢圓于，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則，，
設(shè)直線的方程，，，
聯(lián)立，整理得：，
則，，
由，則，
整理得：，
則，
即，
∴橢圓的離心率，
∴橢圓的離心率的取值范圍．
故選：D
8．B
【分析】利用同角的三角函數(shù)平方關(guān)系及輔助角公式化簡后，代入求值即可.
【詳解】由，故不妨設(shè)為銳角，則，
則
，
所以.
故選：B.
9．AD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】由，
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
的共軛復(fù)數(shù)，故D正確.
故選：AD.
10．AB
【分析】對(duì)A：令，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得結(jié)果；對(duì)B：令，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可判斷；對(duì)C：根據(jù)B中所求，即可判斷；對(duì)D：取滿足題意的特殊函數(shù)，即可判斷.
【詳解】對(duì)A：對(duì)，令，可得，
又在R上是奇函數(shù)，故，解得，故A正確；
對(duì)B：對(duì)，令，可得，
又在R上是奇函數(shù)，故，即，
由A可知，，故，故B正確；
對(duì)C：因?yàn)?，則即，
則，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由C可知，為周期為的奇函數(shù)，
不妨畫出滿足題意的一個(gè)的圖象如下所示：
顯然，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．ABD
【分析】
由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)B；由截面是的外接圓及正弦定理可判斷選項(xiàng)C;由面面垂直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)及余弦定理可判斷選項(xiàng)D；
【詳解】設(shè),連接，令中點(diǎn)為，連接，如圖所示：
由底面是正方形可得：是的中點(diǎn)，且；
由平面，平面，平面,
可得平面平面，；
由，,可得四邊形為矩形.
對(duì)于選項(xiàng)A:由，平面平面，
且平面平面,面，可得面，
又面,所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B: 因?yàn)樵诰匦沃?
所以四邊形是平行四邊形，則直線
因?yàn)槠矫?平面,則面.
故當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，直線面,故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)樵谥校?
所以,
由正弦定理得：的外接圓直徑,
則半徑為，圓面積為,
因?yàn)槿忮F的外接球的球心在過點(diǎn)且與平面垂直的直線上，且四邊形為矩形，
所以點(diǎn)在三棱錐的外接球上.
所以三棱錐的外接球被平面所截取的截面是的外接圓，
因此三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)槊?，平?
所以面平面，
所以在平面內(nèi)的射影在直線上，
即直線與平面所成角為.
在中，,
故選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
12．2
【分析】利用列舉法求解集合，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，2，4，分別為,均不能滿足，
當(dāng)時(shí)，時(shí)可滿足，
時(shí)，，時(shí)，均不滿足，
當(dāng)時(shí)，可滿足，時(shí)，，時(shí)，均不滿足，
所以，故集合的元素有2個(gè)，
故答案為：2
13．
【分析】利用余弦定理計(jì)算及，的值，在中使用兩角差的正弦公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得，
即，故，
由余弦定理得，
所以
又因?yàn)橹本€平分，所以，
所以，
所以，
化簡得.
故答案為：.
14． 2
【分析】根據(jù)已知，利用對(duì)稱性、重心的性質(zhì)，求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程進(jìn)行求解.
【詳解】
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，
所以直線的方程為，的重心G的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)，，分別是點(diǎn)關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
連接，所以，設(shè)，則有
，解得，所以，
由光的反射原理可知，四點(diǎn)共線，所以，
即，解得，此時(shí)，
所以，，，直線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與的方程有：，解得，
即，所以直線PQ的斜率為.
故答案為：，2.
15．(1)，140分
(2)①答案見解析；②答案見解析
【分析】（1）先求出平均數(shù)，利用最小二乘法求出回歸方程，代入數(shù)據(jù)即可預(yù)測(cè)；
（2）①根據(jù)回歸方程的含義及統(tǒng)計(jì)知識(shí)解答疑惑即可；②補(bǔ)齊散點(diǎn)圖，根據(jù)所學(xué)函數(shù)選擇非線性回歸方程即可.
【詳解】（1），
，又的方差為，
所以，
，故，當(dāng)時(shí)，，
故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40分；
（2）①（i）所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程依據(jù)的樣本數(shù)據(jù)時(shí)間范圍在20~80分鐘，
當(dāng)時(shí)間范圍擴(kuò)大后，之間不一定還符合該方程，所以預(yù)測(cè)與實(shí)際情況可能會(huì)有較大的差別；
（ii）事實(shí)上，樣本數(shù)據(jù)時(shí)間在70分鐘以后，對(duì)應(yīng)成績的增速已有明顯減緩的趨勢(shì)，
因此當(dāng)時(shí)間范圍擴(kuò)大后，相關(guān)系數(shù)會(huì)降低，所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型不一定適合.
（iii）小李所拿到的樣本數(shù)據(jù)的缺失可能使得回歸模型不恰當(dāng)，還應(yīng)收集更多的樣本數(shù)據(jù)分析，
（iv）如果原來成績較低，通過增加學(xué)習(xí)時(shí)間可以有效提高成績，但是當(dāng)成績提高到一定程度時(shí)（如110分以上），想要通過延長學(xué)習(xí)時(shí)間來提高學(xué)習(xí)成績就比較困難了，需要想別的辦法.
② 補(bǔ)齊散點(diǎn)圖如圖：

合適的回歸模型如，，，等，
答案不唯一，只要能體現(xiàn)出增長速度逐漸變緩即可.
16．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求，分，，討論的單調(diào)性；
（2）分離參數(shù)得，求最小值即可.
【詳解】（1）由題意可知的定義域?yàn)椋?br>，
令，則，
①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減．
②當(dāng)時(shí)，， 時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
③當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，故，
所以，即，
由得，
令（），
則，
令，則，在單調(diào)遞增，
則，即在恒成立，故在單調(diào)遞增．
所以，故在恒成立．
由在單調(diào)遞增，而，，故．
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，利用平行線比例關(guān)系，構(gòu)造輔助線，即可證明；
（2）根據(jù)底面特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，根據(jù)向量公式求二面角的余弦值.
【詳解】（1）如圖，連接并延長，交于，延長線段，交于，連接．
因?yàn)闉榈酌娴闹匦?，所以?br>又，
所以，所以，
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面．

（2）取的中點(diǎn)為，連接．
因?yàn)榈酌妫胰庵母骼忾L均相等，
所以直線兩兩互相垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)三棱柱的棱長為6，則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，可取
易知平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為．
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，由此可得雙曲線方程；
（2）設(shè)，分別聯(lián)立直線，與雙曲線方程，結(jié)合關(guān)于系數(shù)關(guān)系求點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示直線的方程，再證明直線過定點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
由已知，故，即，
所以漸近線方程為．
又到雙曲線的漸近線的距離為，則，
所以．
所以雙曲線的方程為．
（2）設(shè)，
若，則，
故，
直線的方程為，
若，設(shè)直線的方程為，
直線的方程與雙曲線聯(lián)立，
．
又，則
所以，即．
同理，
則，
則直線方程為，
令，則，
即
所以直線過定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線的綜合問題時(shí)，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
19．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）得到，證明出不合題意，符合要求，從而得到，結(jié)合得到，得到為遞增數(shù)列，并得到不是常數(shù)，證明出結(jié)論；
（2）得到，利用放縮得到，結(jié)合證明出結(jié)論；
（3）得出，結(jié)合累加法得到，得到不等式，求出答案.
【詳解】（1），
故為公差為的等差數(shù)列，所以，
若，則當(dāng)時(shí)，，不合題意，
若，則，滿足要求，
，
因?yàn)?，所以，故，故?shù)列為遞增數(shù)列，
，由于為遞增數(shù)列，故不是常數(shù)，
不是常數(shù)，故數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列；
（2）因?yàn)闉閿?shù)列，所以，故，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；
（3）因?yàn)闉閿?shù)列，
所以，
所以，
令，則，解得，
所以，使得.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列不等式問題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后結(jié)合等差或等比公式進(jìn)行求解，又或者放縮后可使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，技巧性較強(qiáng).

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