1.下列結論中正確的是( )
①在空間中,若兩條直線不相交,則它們一定平行 ②與同一直線都相交的三條平行線在同一平面內 ③一條直線與兩條平行直線中的一條相交,那么它也與另一條相交 ④空間四條直線a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c
A.①②③B.②④C.③④D.②③
2.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是( )
3.在空間中,已知a,b是直線,α,β是平面,且a?α,b?β,α∥β,則a,b的位置關系是( )
A.平行B.相交
C.異面D.平行或異面
4.(2023浙江精誠聯(lián)盟)設α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,則下列說法中正確的是( )
A.若α⊥β,l?α,m?β,則l⊥m
B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β
C.若m⊥β,α⊥β,則m∥α
D.若α∥β,且l與α所成的角和m與β所成的角相等,則l∥m
5.(2023浙江余姚)下列命題正確的是( )
①平行于同一條直線的兩條直線平行;
②平行于同一條直線的兩個平面平行;
③平行于同一個平面的兩條直線平行;
④平行于同一個平面的兩個平面平行
A.①②B.③④C.①④D.②③
6.在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結論中錯誤的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
7.(2023浙江溫州A卷)直線a,b互相平行的一個充分條件是( )
A.直線a,b都平行于同一個平面
B.直線a,b與同一個平面所成角相等
C.直線a,b都垂直于同一個平面
D.直線a平行于直線b所在平面
8.(2021浙江高考)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點,則( )
A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCD
B.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1
C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCD
D.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1
9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,下列直線與AA1成異面直線的是( )
A.BB1B.CC1
C.B1C1D.AB
10.(多選)(2023浙江溫州知臨中學)設α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,則下列說法正確的是( )
A.若m⊥α,n⊥α,則m∥n
B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β
C.若α∥β,m?α,n⊥β,則m⊥n
D.若α⊥β,m⊥β,m?α,則m∥α
11.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別是BC1和CD1的中點,則下列判斷正確的是( )
A.PQ⊥CC1
B.PQ⊥平面A1ACC1
C.PQ∥BD
D.PQ∥平面ABD1
12.(多選)(2023浙江四校)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為AB,BC的中點,則( )
A.AC⊥B1D1B.A1F⊥AB1
C.BD1⊥平面B1EFD.D1F∥平面A1DE
13.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AA1的中點,P為正方形BCC1B1內一個動點,且DP∥平面B1D1E,則點P的軌跡的長度為 .
14.G,N,M,H分別是下圖中正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形是 .(填序號)
15.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,有下列四個命題:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n.
其中真命題為 .(填序號)
16. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD,E為PC的中點,求證:BE∥平面PAD.
17. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,AD的中點.證明:
(1)BF∥平面AD1E;
(2)AD1⊥B1D.
能力提升
18. (2023浙江溫州知臨中學)如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點E,H分別是邊AB,AD的中點,點F,G分別是邊BC,CD上的點,且CFCB=CGCD=23,則下列說法正確的是( )
A.EF與GH平行
B.EF與GH異面
C.EF與GH的交點M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上
D.EF與GH的交點M一定在直線AC上
19.(2023浙江四校)已知長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB=4,BC=3,AA1=5,點P,Q分別是線段BB1,AC1上的動點(不包含端點),則下列說法正確的是( )
A.對于任意一點Q,直線D1Q與直線BB1是異面直線
B.對于任意一點Q,存在一點P,使得CP⊥D1Q
C.對于任意一點P,存在一點Q,使得CP⊥D1Q
D.以上說法都不正確
20.(多選)(2023浙江臺州)已知m,n,l是空間中三條不同直線,α,β,γ是空間中三個不同的平面,則下列說法中正確的是( )
A.若m?α,m∥β,n?β,n∥α,則α∥β
B.若α∩β=m,α∩γ=n,β∩γ=l,m∥n,則m∥l
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,則m⊥α
D.若α∩β=m,α⊥β,n⊥m,則n⊥β
21.(2022全國乙文)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
22.(2023浙江臺金六校) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AB=4,∠DAB=60°,PA=PD=6,PB=14,M,N分別為PB,DC的中點.
求證:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PAD⊥平面ABCD.
23. 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且AD⊥DE,F為B1C1的中點.
求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線A1F∥平面ADE.
優(yōu)化集訓20 空間點、直線、平面之間的位置關系
基礎鞏固
1.B 解析 ①錯誤,兩條直線不相交,則它們可能平行,也可能異面;②正確;③錯誤,若一條直線和兩條平行直線中的一條相交,則它和另一條直線可能相交,也可能異面;④正確.故選B.
2.D 解析 由A,B中PS∥QR,C中PQ∥SR,所以A,B,C圖中四點一定共面,D中PQ與RS是異面直線,所以四點不共面.
3.D 解析 因為α∥β,所以平面α,β沒有交點,所以a,b可能平行或異面.故選D.
4.B
5.C 解析 由平行線間的傳遞性可知,平行于同一條直線的兩條直線平行,故①正確;
平行于同一條直線的兩個平面平行或相交,故②錯誤;
平行于同一個平面的兩條直線平行、相交或異面,故③錯誤;
根據(jù)平面平行的性質,平行于同一個平面的兩個平面平行,故④正確.故選C.
6.C 解析 由面面垂直的判定定理知:平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正確.故選C.
7.C
8. A 解析 連接AD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中點,
∴M為AD1的中點,又N是D1B的中點,
∴MN∥AB,
∵MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
∵AB不垂直于BD,
∴MN不垂直于BD.
則MN不垂直于平面BDD1B1,∴選項B,D不正確;
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D,AB⊥平面AA1D1D,
∴AB⊥A1D,
∵AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∵D1B?平面ABD1,
∴A1D⊥D1B,且直線A1D,D1B是異面直線,
∴選項C錯誤,選項A正確.故選A.
9.C 解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥AA1,CC1∥AA1,B1C1與AA1異面,AA1∩AB=A.故選C.
10.ACD 解析 垂直于同一平面的兩條直線平行,故A正確.
當m∥n時,平面α與平面β不一定平行,故B錯誤.
α∥β,n⊥β,故n⊥α.
又m?α,故m⊥n,故C正確.
α⊥β,m⊥β,則m∥α或m?α.
又m?α,則m∥α,故D正確.故選ACD.
11.ABC 解析 連接C1D,BD(圖略),則易得PQ∥BD,因為CC1⊥BD,則PQ⊥CC1.
又BD⊥A1C1,A1C1,CC1?平面A1ACC1,A1C1∩CC1=C1,則BD⊥平面A1ACC1,故PQ⊥平面A1ACC1.
因為PQ∥BD,BD與平面ABD1相交,故PQ與平面ABD1不平行,所以A,B,C正確,D錯誤.
12. AB 解析 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,而AC⊥BD,所以AC⊥B1D1,故A正確;
因為FB⊥平面A1ABB1,AB1?平面A1ABB1,則FB⊥AB1.
又A1B⊥AB1,A1B∩BF=B,A1B,BF?平面A1BF,所以AB1⊥平面A1BF.
因為A1F?平面A1BF,所以A1F⊥AB1,故B正確;
因為D1A1⊥平面A1ABB1,AB1?平面A1ABB1,可得D1A1⊥AB1.
又A1B⊥AB1,D1A1∩A1B=A1,D1A1,A1B?平面D1A1B,所以AB1⊥平面D1A1B.
又BD1?平面D1A1B,則AB1⊥BD1.
假設BD1⊥平面B1EF,由B1E?平面B1EF,可得BD1⊥B1E.
由AB1∩B1E=B1,AB1,B1E?平面A1ABB1,可得BD1⊥平面A1ABB1.
又D1A1⊥平面A1ABB1,所以BD1∥D1A1,顯然矛盾,所以BD1不垂直于平面B1EF,故C錯誤;
延長CB,使FK=CB,連接KA1.
因為A1D1∥BC,A1D1=BC,所以A1D1∥FK,A1D1=FK,所以四邊形A1D1FK為平行四邊形,故D1F∥A1K.
而A1K∩平面A1DE=A1,故直線D1F與平面A1DE不平行,故D錯誤.
故選AB.
13. 52 解析 過點D作與平面B1D1E平行的平面,點P的軌跡為此平面與正方體的側面BCC1B1的交線.連接BD,易知BD∥B1D1,
∴BD∥平面B1D1E,取CC1的中點M,連接MB,MD,易知BM∥ED1,
∴BM∥平面B1D1E,由面面平行的判定可知,平面BDM∥平面B1D1E,
∴點P∈BM時,DP∥平面B1D1E,點P的軌跡長即為BM=52.
14.②④ 解析 圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN是異面直線;圖③中,連接MG,GM∥HN,因此直線GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此直線GH與MN是異面直線.所以在圖②④中,GH與MN異面.
15.①④
16.證明 (方法1)取PD中點F,連接EF,AF.
∵E為PC的中點,
∴EF∥CD,且EF=12CD.
∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD.
∴EF∥AB,且EF=AB,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∴BE∥AF.
∵BE?平面PAD,且AF?平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(方法2)延長CB,DA交于點Q,連接PQ.
∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD.
∴B為QC的中點,
∵E為PC的中點,
∴BE∥PQ.
∵BE?平面PDQ,且PQ?平面PDQ,
∴BE∥平面PDQ,即BE∥平面PAD.
(方法3)取CD的中點M,連接ME,MB.
∵E為PC的中點,
∴EM∥PD,
∵EM?平面PAD,且PD?平面PAD,
∴EM∥平面PAD.
∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD,
∴AB=DM,AB∥DM,
∴四邊形ABMD是平行四邊形,
∴BM∥AD,同理可證BM∥平面PAD,
∵EM?平面BEM,BM?平面BEM,且EM∩BM=M,
∴平面BEM∥平面PAD,
∵BE?平面BEM,
∴BE∥平面PAD.
17.證明 (1)取AD1的中點M,連接FM,EM,因為E,F分別是棱BB1,AD的中點,
所以FM∥BE,且FM=BE,
所以四邊形MFBE為平行四邊形,所以EM∥BF.
因為EM?平面AD1E,BF?平面AD1E,所以BF∥平面AD1E.
(2)連接A1D,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以A1B1⊥AD1.
又AD1⊥A1D,A1B1∩A1D=A1,
所以AD1⊥平面A1DB1.
因為B1D?平面A1DB1,所以AD1⊥B1D.
能力提升
18.D 解析 如圖所示,連接EH,FG.
因為CFCB=CGCD=23,
所以GF∥BD,且GF=23BD.
因為點E,H分別是邊AB,AD的中點,所以EH∥BD,且EH=12BD,所以EH∥GF,且EH≠GF,所以EF與GH相交,設其交點為M,則M∈平面ABC,
同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,所以M在直線AC上.
故選D.
19.B 解析 對于A,當點Q為AC1的中點時,直線D1Q即直線D1B,與直線BB1共面,故A錯誤;
對于B,當BP=95時,△CBP∽△C1CB,CP⊥BC1,所以CP⊥AD1.
因為CP?平面BCC1B1,C1D1⊥平面BCC1B1,所以CP⊥C1D1.
因為C1D1∩AD1=D1,C1D1?平面AC1D1,AD1?平面AC1D1,所以CP⊥平面AC1D1,D1Q?平面AC1D1,所以CP⊥D1Q,故B正確;
對于C,在長方體中,C1D1⊥平面BCC1B1,CP?平面BCC1B1,所以對任意點P,CP⊥C1D1,而D1Q與C1D1不平行,所以對任意點P,不存在點Q,使得CP⊥D1Q,故C錯誤.故選B.
20.BC
21.A 解析 如圖,對于A,∵E,F分別為AB,BC的中點,
∴EF∥AC.在正方體ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,
又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.
對于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯誤.
對于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯誤.
對于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯誤.
22.證明 (1)取PA中點E,連接DE,ME.
因為ME是△PAB的中位線,
所以ME∥AB,且ME=12AB.
又四邊形ABCD是菱形,則DN∥AB且DN=12AB,
所以ME=DN,ME∥DN,即四邊形MNDE是平行四邊形.
所以MN∥DE.
因為DE?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)取AD的中點O,連接OP,OB.
因為AD=AB=4,∠DAB=60°,
所以△ADB是等邊三角形,則OB⊥AD,且BO=23.
因為△PAD是等腰三角形,所以PO⊥AD,又PA=6,AO=2,所以PO=2.
因為PB=14,則PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB.
因為AD∩OB=O,BO,AD?平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD,又PO?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
23.證明 (1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.
因為AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)(方法1)因為A1B1=A1C1,F為B1C1的中點,所以A1F⊥B1C1.
因為CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.
又CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.
(方法2)由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC.
又AB=AC,故D為BC的中點.
在矩形BCC1B1中,F,D分別為B1C1和BC的中點,故FD∥BB1,FD=BB1,又BB1∥AA1,BB1=AA1,所以FD∥AA1,FD=AA1.
所以四邊形AA1FD為平行四邊形,所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.

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