【二輪復(fù)習(xí)】中考數(shù)學(xué) 題型5 圓的相關(guān)證明與計算類型1 圓的基本性質(zhì)證明與計算（專題訓(xùn)練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計算即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．
2.如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長為（）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【分析】
過點作，交于點，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．
【詳解】
解：過點作，交于點，
是的外接圓，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故選：．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點在上，為的中點．若，則等于（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個角之間的關(guān)系即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：

點在上，為的中點，
，
，
，
根據(jù)圓周角定理可知，
，
故選：A．
【點睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
4.如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
過點作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)弧長公式計算求解．
【詳解】
解：過點作于，
則，
由圓周角定理得：，
，
，
，
故選：．
【點睛】
本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先計算正五邊形的內(nèi)角，再計算正五邊形的中心角，作差即可．
【詳解】∵，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵．
5.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）
A．有最大值πB．有最小值πC．有最大值πD．有最小值π
【答案】C
【分析】
由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：∵2r+l＝6，
∴l(xiāng)＝6﹣2r，
∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，
∴當(dāng)r＝時，S側(cè)有最大值．
故選：C．
【點睛】
本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點．若，則（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
7.如圖，AB為的直徑，C，D為上的兩點，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計算出，從而得到的度數(shù)．
【詳解】
解：連接AD，如圖，
AB為的直徑，
，
，
．
故選B．
【點睛】
本題主要考查了同弦所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
8．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點，連接．若，，，則的長度是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，為切點，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴在，，
故選：．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cs∠ABC的值．
【詳解】
解：連接AD，如右圖所示，
∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cs∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值為，
故選：A．
【點睛】
本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cs∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是( )

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
故選：B.
【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
11.如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可.
【詳解】
解：如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中點，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圓心O到弦AB的距離為，
故選C.
【點睛】
本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
12．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦相交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．
13.如圖，∠BAC＝36°，點O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點D，交邊AB于點E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【答案】A
【分析】
連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：連接OD，
∵⊙O與邊AC相切于點D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故選：A．
【點睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為對角線，經(jīng)過圓心．若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵為圓的直徑，
∴，
∴；
故選：B．
【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．
15.如圖，點C是以點O為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
如圖，過點C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，過點C作CH⊥AB于H．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝?AB?CH＝?AC?BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故選：B．
【點睛】
本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出CH的長，屬于中考常考題型．
16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，
，
所對的圓心角為，
所對的圓周角，
又，
，
故選：D．
【點睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．
17.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】
直接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：∵AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，
∴∠C=90°
故選：B
【點睛】
此題主要考查了：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，靈活掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．
18．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點C，D在上，連接，若，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
19.如圖，是⊙O的直徑，點、在⊙O上，，則的大小為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【詳解】
∵,
∴∠BOC=2∠BDC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故選：B.
【點睛】
此題考查了圓周角定理：同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，鄰補角的定義.
20．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，則（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故選：B．
【點睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．
21.如圖，內(nèi)接于圓，，過點的切線交的延長線于點．則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.
【詳解】
解：連接OC，
∵CP與圓O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB為直徑，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故選B.
【點睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.
22．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故選：A．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
23.如圖，已知是的直徑，是弦，若則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由圓周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根據(jù)是的直徑確定∠ADB=90°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答．
【詳解】
解：∵是弦，若
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵是的直徑
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故選：A．
【點睛】
本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．
24.如圖，是圓上一點，是直徑，，，點在圓上且平分弧，則的長為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又在圓上且平分弧，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長，從而可求DC的長.
【詳解】
解：∵是圓O的直徑，
∴∠A=∠D=90°.
又在圓上且平分弧，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，，，根據(jù)勾股定理，得BC==2.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD==.
故選:D.
【點睛】
此題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
25.如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運算即可求解．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】
本題考查同弧所對的圓周角相等、三角形的內(nèi)角和、等邊對等角，熟練應(yīng)用幾何知識是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長為8，點C在延長線上，且．

(1)求的半徑；
(2)求的正切值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）延長，交于點，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；
（2）過點作于點，先解直角三角形可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正切的定義即可得．
【詳解】（1）解：如圖，延長，交于點，連接，

由圓周角定理得：，
弦的長為8，且，
，
解得，
的半徑為．
（2）解：如圖，過點作于點，

的半徑為5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
則的正切值為．
【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、勾股定理等知識點，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
27.如圖，在中，以為直徑的交于點弦交于點且．
（1）求證：是的切線；
（2）求的直徑的長度．
【答案】（1）見解析；（2）的直徑的長度為
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理的逆定理證明△AEM為直角三角形，且∠AEM=90°，再根據(jù)MN∥BC即可證明∠ABC=90°進(jìn)而求解；
(2)連接BM，由AB是直徑得到∠AMB=90°，再分別在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．
【詳解】
解：(1)，
，
為的直徑，
是的切線．
(2)如圖，連接
為的直徑，
又
，
即，
，
∴的直徑的長度為．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了圓中切線的證明，圓周角定理，直角三角形中銳角的三角函數(shù)的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定及銳角三角函數(shù)的定義是解決此類題的關(guān)鍵．
28．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（2）過點作半徑于點，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：過點作半徑于點，則，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半徑是．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握圓周角定理．
29.如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長線相交于點，且．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求圓的半徑．
【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．
【解析】
【分析】
（1）如圖（見解析），設(shè)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；
（2）如圖（見解析），設(shè)圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】
（1）如圖，連接OA
設(shè)
，
AE是圓O的切線
，即
在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：
即
解得
則由圓周角定理得：
故的度數(shù)為；
（2）如圖，連接AD
設(shè)圓O的半徑為，則
BD是圓O的直徑
由（1）可知，
則在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符題意，舍去）
則圓O的半徑為2．
【點睛】
本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．

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