01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法（五大命題方向+四道高考預(yù)測試題，高考必考5-15分）
命題點1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析
命題點2 古典概型及應(yīng)用
命題點3 獨立性檢驗及相關(guān)系數(shù)應(yīng)用
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（ 精選10道最新名校模擬試題+10道綜合提升）

（1）回歸直線方程，其中.
相關(guān)系數(shù) .
注：|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.
（2）頻率直方圖的頻率 = 小矩形 ，
頻率直方圖的頻率之和：f1 +f2 +??? +fn = 1；同時 S1 + S2 +??? +Sn = 1；
頻率直方圖的眾數(shù)：最高小矩形底邊的中點.
頻率直方圖的平均數(shù)：；.
頻率直方圖的中位數(shù)：從左到右或者從右到左累加，面積等于 0.5 時 x 的值.
頻率直方圖的方差：.
（3）古典概型概率公式：P(A) = ..

統(tǒng)計案例分析是高考中必考點，隨著新高考結(jié)構(gòu)改革，統(tǒng)計部分作為解答題的可能性逐步減少，概率及隨機變量分布列作為解答題幾乎是必然趨勢，但是綜合幾年的高考試卷來說，統(tǒng)計部分對于小題的考查也是高考中的必考部分.
命題點1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析
典例01 （2022·全國·統(tǒng)考高考甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【解析】1．B
【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.
【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；
講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；
講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；
講座后問卷答題的正確率的極差為，
講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.
故選:B.
二、多選題
典例02 （2023·全國·Ⅰ卷）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
【解析】．BD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
則，
因為沒有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A錯誤；
對于選項B：不妨設(shè)，
可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；
對于選項C：因為是最小值，是最大值，
則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，
例如：，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
顯然，即；故C錯誤；
對于選項D：不妨設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：BD.
三、解答題
典例03 （2021·全國·乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提
【解析】．（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
【詳解】（1），
，
，
.
（2）依題意，，，
，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
命題點2 古典概型及應(yīng)用
典例01（2023·全國·乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.
【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結(jié)果如下表：
共有36個不同結(jié)果，它們等可能，
其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個，
因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個，概率.
故選：A
典例02（2022·全國·Ⅰ卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
典例03（2021·全國·甲卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
所以2個0不相鄰的概率為.
故選：C.
命題點3 獨立性檢驗及相關(guān)系數(shù)應(yīng)用
典例01（2023·全國甲卷）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)實驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
典例02（2022·全國·乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)．
【答案】(1)；(2)(3)
【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）
則
（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為
預(yù)計2024年新高考中試卷結(jié)將是小題的形式考查關(guān)于統(tǒng)計分析相關(guān)的問題
一、單選題
1．天文專家表示，“十五的月亮十四圓”這種現(xiàn)象比較罕見.21世紀(jì)這100年中，這種情況僅會出現(xiàn)6次，其中一次是2020年的8月3日（農(nóng)歷六月十四），下一次則要等到2037年．若某同學(xué)計劃從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，研究其發(fā)生的時間，則其中至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，基本事件的總數(shù)為種，
其中不包含2020年與2037年這兩次所包含的基本事件有種，
所以至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為.故選：D.
2．現(xiàn)有甲?乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時，若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說法錯誤的是（ ）
A．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為3
B．若乙組數(shù)據(jù)的方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
C．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
D．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5
【答案】B
【詳解】設(shè)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
混合后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
則，，
對于A，新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，A正確；
對于B，由于不能確定乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故由公式可知無法確定新的一組數(shù)據(jù)方差，B錯誤；
對于C，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，即，，
所以，
所以，C正確；
對于D，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，即，，
所以，
所以，D正確；
故選：B.
3．5G技術(shù)在我國已經(jīng)進入高速發(fā)展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升，某手機商城統(tǒng)計了最近5個月手機的實際銷量，如下表所示：
若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)
B．線性回歸方程中
C．可以預(yù)測時該商場5G手機銷量約為1.72（千只）
D．時，殘差為
【答案】D
【分析】對于，利用表中的數(shù)據(jù)分析即可求解；對于，利用平均數(shù)的定義及樣本中心，結(jié)合樣本中心在回歸直線上即可求解；對于，利用預(yù)測值和殘差的定義即可求解；對于，利用回歸方程即可求出預(yù)測值．
【詳解】對于，從數(shù)據(jù)看隨的增加而增加，所以變量y與x正相關(guān)，故正確；
對于，由表中數(shù)據(jù)知，
所以樣本中心點為，將樣本中心點代入中得，故正確；
對于，當(dāng)時該商場5G手機銷量約為（千只），故正確．
對于，線性回歸方程為，所以，，故錯誤；
故選：．
（★精選8道最新名校模擬考試題+7道能力高頻考點提升題）
A·新題速遞
一、單選題
1．（2024下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）為了積極推進國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該村兩年的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說法錯誤的是（ ）
A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多
B．2023 年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多
C．2023年“外出務(wù)工收入”是2022年“外出務(wù)工收入”的
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多
【答案】C
【分析】設(shè)2022年總收入為m，則2023年總收入為，A選項，分別計算出2022年和2023年種植收入，得到A正確；B選項，計算出，B正確；C選項，分別計算出2022年和2023年外出務(wù)工收入，得到C錯誤；D選項，分別計算出2022年和2023年其他收入，得到D正確.
【詳解】設(shè)2022年總收入為m，則2023年總收入為，
對于A，2022年種植收入為，2023年種植收入為，A正確；
對于B，2023年養(yǎng)殖收入和第三產(chǎn)業(yè)收入之和為，B正確；
對于C，2022年外出務(wù)工收入為，2023年外出務(wù)工收入為，
是2022年外出務(wù)工收入的，C不正確；
對于D，2022年其他收入為，2023年其他收入為，
由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍還多，D正確．
故選：C．
2．（2024下·湖南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組樣本數(shù)據(jù)由5個連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（ ）
A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)
B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)
C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差
D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的概念逐項分析判斷.
【詳解】設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
，
所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A，B錯誤；
由題意新數(shù)據(jù)的波動增大，所以方差越大，故C錯誤，D正確．
故選：D.
3．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年至2022年我國居民消費水平情況如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
（居民消費水平：）

A．2018年至2022年我國居民消費水平逐年提高
B．2018年至2022年我國城鎮(zhèn)居民消費水平逐年提高
C．2018年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)的分位數(shù)為27504元
D．2022年我國城鎮(zhèn)人口數(shù)比農(nóng)村人口數(shù)的1.5倍還要多
【答案】D
【分析】AB選項，2019年比2020年的兩項指標(biāo)高；C選項，將數(shù)據(jù)從小到大排序，再利用百分位數(shù)的概念進行求解；D選項，設(shè)2022年我國農(nóng)村人口數(shù)為，城鎮(zhèn)人口數(shù)為，則可列出方程，得到，故D正確.
【詳解】A選項，2019年的居民消費水平為元，2020年的居民消費水平為元，
2019年比2020年的居民消費水平高，A錯誤；
B選項，2019年的城鎮(zhèn)居民消費水平為元，2020年的城鎮(zhèn)居民消費水平為元，
2019年比2020年的城鎮(zhèn)居民消費水平高，B錯誤；
C選項，2018年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)從小到大排序為，
由于，
故年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第3個和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
即元，C錯誤.
D選項，設(shè)2022年我國農(nóng)村人口數(shù)為，城鎮(zhèn)人口數(shù)為，則，
化簡得，
所以2022年我國城鎮(zhèn)人口數(shù)比農(nóng)村人口數(shù)的1.5倍還要多，D正確.
故選：D
4．（2024上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）我國古代十進制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造.算籌一般為小圓棍算籌計數(shù)法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空.縱式和橫式對應(yīng)數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“”，62記為“”.現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個數(shù)，則取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分類討論，利用古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】由題意可知，共有4根算籌，
當(dāng)十位1根，個位3根，共有2個兩位數(shù)13、17；
當(dāng)十位2根，個位2根，共有4個兩位數(shù)22，26，62，66；
當(dāng)十位3根，個位1根，共有2個兩位數(shù)31，71；
當(dāng)十位4根，個位0根，共有2個兩位數(shù)40，80；
其中質(zhì)數(shù)有13、17、31、71，
所以取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為，
故選：A
5．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出10個數(shù)中任取3個數(shù)，至多有1個陰數(shù)的總基本事件個數(shù)，再列舉出取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.
【詳解】如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為
若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)且3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，
基本事件總數(shù)為，
取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包括，
共有12個，
取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.
故選：A.
二、解答題
6．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．
若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：
(1)試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；
(2)試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．
附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，
樣本相關(guān)系數(shù)；
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】(1)0.96
(2)，219.4萬元
【分析】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗回歸方程并預(yù)測.
【詳解】（1），
，
所以.
（2）由題意，
所以，
所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，
所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.
7．（2024下·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）． 調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．
(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；
(2)經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．
①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；
②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）
參考公式：，其中．
回歸方程，其中．
相關(guān)系數(shù)． 若，則認(rèn)為與有較強的線性相關(guān)性．
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，至少有的把握；
(2)① 0.84，有價值；②
【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果.
（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，
因為，
所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．
（2）①因為回歸方程為，所以，
又因為，，
所以．
與有較強的相關(guān)性，該回歸方程有價值．
②，解得
而樣本中心點位于回歸直線上，
因此可推算.
8．（2024上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谀榱思涌鞂崿F(xiàn)我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：
表中，.
(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型?并說明理由；
(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
【答案】(1)選擇模型②更適宜，理由見解析
(2)（i）；（ii）該公司2028年的年利潤最大
【分析】（1）根據(jù)殘差圖確定；
（2）根據(jù)最小二乘法求非線性回歸方程即可求解；
【詳解】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動性很大，說明擬合關(guān)系較差；
模型②的殘差波動性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.
（2）（i）設(shè)，所以，
所以，，
所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為
（ii）由題設(shè)可得，
當(dāng)取對稱軸即，即時，年利潤L有最大值，
故該公司2028年的年利潤最大.

C·綜合提升
一、單選題
1．（2024下·黑龍江·高三大慶實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）以正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，在所有這些三棱錐中任取一個，則該三棱錐各個面都不為直角三角形的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】找出各面都不是直角三角形的三棱錐，并求出全部三棱錐的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】如下圖所示：
三棱錐各面都是等邊三角形，這樣的三棱錐還有三棱錐，共個，
從正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，
從個頂點中任取三點不共線，若取個點，若這四點共面，則四點所在的面是正方體的側(cè)面或底面，
或者是正方體的對角面，如面，對角面的個數(shù)為個，
所以，從正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，
不同的三棱錐的個數(shù)為，
因此，在所有這些三棱錐中任取一個，則該三棱錐各個面都不為直角三角形的概率為.
故選：B.
2．（2024上·全國·高三期末）中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動課正式成為中小學(xué)一門獨立的課程，“食育”進入校園.李老師計劃在實驗小學(xué)開展一個關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)排列組合知識和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.
【詳解】講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，
其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，
節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，
故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，
故所求概率為.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了學(xué)習(xí)、宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學(xué)生開展了以“學(xué)黨史、知國情、圓夢想”為主題的黨史暨時政知識競賽活動．已知該班男生人，女生人，根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為．記該班成績的方差為，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由方差公式推出，，可得，，再用推導(dǎo)公式求班級的方差即可.
【詳解】記男生組成績和女生組成績的平均分分別為，則
，
，
同理，
，，，
，
故選：D．
4．（2024上·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)校考期末）已知總體劃分為若干層，通過分層隨機抽樣，其中某一層抽取的樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其平均數(shù)和方差分別為，．記總的樣本平均數(shù)為，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義可得，，
再由化簡計算即可.
【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其平均數(shù)和方差分別為，．
所以，
，，
所以
，
故選：D.
5．（2024上·四川瀘州·高三瀘縣五中?？计谀┘?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，
再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，
5人被分為或
當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為;
當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為；
所以共有.
由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，
當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則
共計種，
當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，
所以甲不在小區(qū)的概率為
故選：B.
二、解答題
6．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表．
(1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）
(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少?
參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，， ．
【答案】(1)，
(2)②的擬合效果好，預(yù)測銷售量是千件
【分析】（1）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的求法求得正確答案.
（2）通過計算決定系數(shù)確定擬合效果較好的方案，并由此進行預(yù)測.
【詳解】（1），
所以，
所以.
由，兩邊取以為底的對數(shù)得，即，
，
所以，所以.
（2），
對于，；對于，，
所以②的擬合效果好，當(dāng)時，預(yù)測值千件.
7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）小強發(fā)現(xiàn)汽車急剎車的停車距離與諸多因素有關(guān)，其中最為關(guān)鍵的兩個因素 是駕駛員的反應(yīng)時間和汽車的行駛速度.小強根據(jù)美國公路局公布的實驗數(shù)據(jù)，制作了汽車行駛速度x（km/h）和停車距離y（m）的表格.
(1)通過樣本相關(guān)系數(shù)的值說明x和y的相關(guān)程度；
(2)小強選擇用一元線性回歸分析這組數(shù)據(jù)，請幫他求出回歸方程（保留兩位小數(shù)）.
參考數(shù)據(jù)：，
參考公式：相關(guān)系數(shù)；（若認(rèn)為相關(guān)性很強；|r|認(rèn)為相關(guān)性一般，認(rèn)為相關(guān)性較弱）
回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為，.
【答案】(1)和有很強的線性相關(guān)關(guān)系
(2)
【分析】（1）根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的求解公式得結(jié)果，即可判斷相關(guān)性；
（2）根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程的斜率與截距，即可得回歸直線方程.
【詳解】（1），
所以可以認(rèn)為和有很強的線性相關(guān)關(guān)系．
（2）據(jù)題意，，又，
所以，
所以回歸方程為．
考點
考向
考題
統(tǒng)計案例
①統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析
②古典概型及應(yīng)用
③獨立性檢驗及相關(guān)系數(shù)應(yīng)用
2023新高考全國ⅠT9 全國乙T9 T17
2022 全國甲卷T2
2021 全國乙卷T17 ⅠT9 ⅡT9
2023 甲卷T4 乙卷T9
2022全國乙卷T4 T14 T10
新高考Ⅰ卷T5 全國ⅡT10
2021 甲卷ⅡT10
2023 甲T19
2022乙卷 T19 甲卷T17 ⅠT20
2021 甲卷T17
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
乙
甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
對照組
實驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合計
對照組
6
14
20
實驗組
14
6
20
合計
20
20
40
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
時間x
1
2
3
4
5
銷售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
數(shù)字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
縱式
橫式
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份編號
1
2
3
4
5
6
銷售金額／萬元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
汽車日流量
汽車日流量
合計
的平均濃度
的平均濃度
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽車日流量
汽車日流量
合計
的平均濃度
16
8
24
的平均濃度
6
20
26
合計
22
28
50
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
經(jīng)驗回歸方程
殘差平方和
x
40
50
60
70
80
90
100
110
y
17
26.5
35.8
46
52.7
70.8
85.4
101

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