福建省三明市2024屆普通高中高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

（本試卷總分150分，考試時間120分鐘.）
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線與圓相交于兩點，則（）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的相關知識即可求得弦長.
【詳解】由已知圓，圓心為，半徑
所以圓心到直線距離
所以
故選：B
2. 已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理求出角即可得解.
【詳解】在中，由余弦定理得，
而，則，所以.
故選：C
3. 隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則μ的值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)沒有零點，求得，結(jié)合題意可得出，繼而由正態(tài)分布的對稱性，可得答案.
【詳解】由函數(shù)沒有零點，得，
函數(shù)沒有零點的概率是，即,
結(jié)合，可知，
故選：D
4. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷的大小，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，即可得答案.
【詳解】由題意得，
由于在上單調(diào)遞增，故；
而在上單調(diào)遞減，故，
故，
故選：A
5. 各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數(shù)學運算一般使用的是十進制，任何進制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，如八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的算法為．若將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】換算后由等比數(shù)列求和得，改寫成，利用二項式定理展開即可求解．
【詳解】
因為是的倍數(shù)，
所以換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末位數(shù)字，
由，末位數(shù)字為3，
故選：A．
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中兩點為圖象與x軸的交點，為圖象的最高點，且是等腰直角三角形，若，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，過點作于點，由是等腰直角三角形，表示出的坐標，由最大值為1，即可求出，根據(jù)投影向量計算公式計算即可．
【詳解】，則，過點作于點，
因為是等腰直角三角形，所以，

因為，所以，
因為最大值為1，所以，解得，
所以，則，
則在上的投影向量的坐標為：，
故選：B．
7. 已知拋物線的焦點為F，第一象限的兩點A，B在拋物線上，且滿足.若線段中點的橫坐標為3，則p的值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】設，由可得，結(jié)合弦長以及已知求出，利用，即可求得答案.
【詳解】設，由得，
即得；
又，解得，
由于A，B在第一象限內(nèi)，故，
則，
而線段中點的橫坐標為3，則，
故，
故選：B
8. 已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先證明，進而可得，設，則直線與橢圓有交點，聯(lián)立方程，則，即可得解.
【詳解】，
，
則，
又因為，
所以，即，
設，
則直線與橢圓有交點，
聯(lián)立，得，
則，解得，
所以的最大值為.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：證明，可得，是解決本題的關鍵.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）
A.
B. 若，則
C. 若，則的最小值為1
D. 若是關于的方程的根，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方即可判斷A；根據(jù)復數(shù)的乘法運算及共軛復數(shù)的定義即可判斷B；設，再根據(jù)，求出的關系，再結(jié)合復數(shù)的模的公式即可判斷C；根據(jù)方程的復數(shù)根互為共軛復數(shù)即可判斷D.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，若，
則，故B正確；
對于C，設，
由，得，即，所以，
則，
所以的最小值為1，故C正確；
對于D，若是關于的方程的根，
則也是關于的方程的根，
所以，故D錯誤.
故選：BC.
10. 假設甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（）
A. 從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為
B. 從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為
C. 從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為
D. 已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合古典概率公式、條件概率公式及全概率公式逐項計算判斷得解.
【詳解】從甲袋中取出個球有個紅球的事件為，從乙袋中取出個球紅球的事件為，
，，，
，，，
對于A，從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為，A正確；
對于B，從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為，B錯誤；
對于C，從乙袋中取出的2個球是紅球的概率，C正確；
對于D，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率
，D正確.
故選：ACD
11. 在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為的中點，則下列說法正確的是（）
A. 若點P在正方體的表面上，且，則點P的軌跡長度為
B. 若三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為
C. 過點的平面截正方體所得截面多邊形的周長為
D. 若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需紙的面積的最小值為32
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得到點一定在球面上，又因為點在正方體的表面上，可以得到的軌跡為6個半徑為1的圓，進而得到軌跡長度；
求有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球表面積，即求半徑，根據(jù)外接圓半徑結(jié)合勾股定理即可求得；
利用平行找到過三點的截面，進而求的截面周長；
利用正方形的對角線長度求得正方形面積.
【詳解】A選項，因為，所以P在以EG為直徑的球面上，又因為E、G分別是AB和的中點，結(jié)合棱切球與各個面的交點為各條棱的中點，得到該球是正方體的棱切球，
又由P在正方體的表面上，所以的軌跡為6個半徑為1的圓，所以P的軌跡長度為，故A錯誤；
B 選項，即求三棱錐即外接球，
中，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，其中是外接圓半徑，所以，
因為側(cè)棱面，所以外接球半徑，所以球O的表面積為，故B正確；
C選項，如圖
延長FE交DA的延長線于點P，可得到，所以，
連接交于點Q，由得，所以Q是上靠近A的三等分點，
連接，作交于點，則是靠近的三等分點，連接，則五邊形即為所求截面，
，，
，，
，
所以周長為，故C正確；
D選項，
由正方體的側(cè)面展開圖，結(jié)合上圖可以看出五個正方形及上下左右四個三角形組成一個正方形，
可知要想把正方體完全包住，正方形即為所求正方形，
對角線長為，所以面積為，故D正確；
故選：BCD.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若這組數(shù)據(jù)的極差是其第30百分位數(shù)的7倍，則a的值為_____.
【答案】6
【解析】
【分析】確定極差，求出第30百分位數(shù)的表達式，結(jié)合題意列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知這組數(shù)據(jù)的極差是，
由于，故第30百分位數(shù)為，
故，
故答案為：6
13. 已知關于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】
【分析】分當且對任意均成立時，和當且對任意均成立時，兩種情況討論，分離參數(shù)，進而可得出答案.
【詳解】當對任意均成立時，
則對任意均成立，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
當對任意均成立時，
則對任意均成立時，
因為，當且僅當，即時取等號，
所以，
所以，所以，
所以，當且對任意均成立時，
且，即；
當且對任意均成立時，
即且對任意均成立時，
因為在上無最大值，
所以此時沒有滿足，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14. 記表示k個元素的有限集，表示非空數(shù)集E中所有元素的和，若集合，則_____，若，則m的最小值為_____.
【答案】 ①. ②. 21
【解析】
【分析】第一空，根據(jù)集合新定義可寫出的所有可能情況，即可求得答案；第二空，由題意求出，利用等差數(shù)列的求和公式列不等式，結(jié)合解一元二次不等式求出m的范圍，即可求得答案.
【詳解】當時，表示3個元素的有限集，
由可知或或或，
故；
由題意知，
故由可得，即，
解得或（舍去），
結(jié)合，故m的最小值為21，
故答案為：；21
【點睛】關鍵點睛：本題考查了集合新定義問題，解答本題的關鍵在于理解題中所給新定義的含義，明確其內(nèi)容，進而結(jié)合解不等式，即可求解.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 如圖，多面體中，和均為等邊三角形，平面平面
（1）求證：;
（2）求平面ABD與平面PBC夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點M，連接，證明平面，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面ABD與平面PBC的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：取的中點M，連接，
因為和均為等邊三角形，故，
而平面，
故平面，平面，
故；
小問2詳解】
以M為坐標原點，以所在直線為軸，過點M作平面的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
平面平面，平面平面，平面，
，故平面，
和均為等邊三角形，，
，
，
設平面的法向量為，
，即，令，則，
平面的法向量可取為，
設平面ABD與平面PBC夾角為，
，
故平面ABD與平面PBC夾角的余弦值為.
16. 已知函數(shù)（其中）其中圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為.
（1）若在上有最大值無最小值，求實數(shù)的取值范圍；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度；再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，設，求在的極大值點.
【答案】（1）
（2）和
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)，利用周期求出解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解即可.
（2）先根據(jù)圖象的平移伸縮變換得到的解析式，再求導求其極大值點即可.
【小問1詳解】
因為圖象相鄰對稱軸間的距離為，
所以周期，即，
因此，
當時，
若在有最大值無最小值，由正弦函數(shù)圖象得
只需，解得，
即的取值范圍為.
【小問2詳解】
將的圖象向右平移個單位得
再將圖象所有點橫坐標變?yōu)樵瓉?倍得，
所以
，
令得，
解得或或，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以的極大值點為和.
17. 某校開設勞動教育課程，為了有效推動課程實施，學校開展勞動課程知識問答競賽，現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占，園藝類占，民族工藝類占.根據(jù)以往答題經(jīng)驗，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為，選手乙答對這三類題目的概率均為
（1）求隨機任選1題，甲答對的概率；
（2）現(xiàn)進行甲、乙雙人對抗賽，規(guī)則如下：兩位選手進行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得分，若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響，求甲獲得獎品的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式，即可求得答案；
（2）求出乙答對的概率，設每一輪比賽中甲得分為X，求出X的每個值對應的概率，即可求得三輪比賽后，甲總得分為Y的每個值相應的概率，即可得答案.
【小問1詳解】
記隨機任選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件,
記隨機任選1題，甲答對為事件B，
則，
則
；
【小問2詳解】
設乙答對記為事件C，則
，
設每一輪比賽中甲得分為X，
則，
，
，
三輪比賽后，設甲總得分為Y，
則，，
，
所以甲最終獲得獎品的概率為.
18. 已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）設數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）記，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當時求出，時，用，即可求解；
（2）由得出，由得，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性及的值，即可求出得范圍；
（3）由（1）得，則，根據(jù)放縮法得即可證明．
【小問1詳解】
當時，，
當時，，時成立，
所以．
【小問2詳解】
由得，，顯然時，單調(diào)遞增，，
由得，，
又，當且僅當時，即時等號成立，
因為，，且，，，
所以當時，，解得，
當時，，解得，
所以．
【小問3詳解】
證明：由（1）得，，
因為
所以
．
19. 已知平面直角坐標系中，有真命題：函數(shù)的圖象是雙曲線，其漸近線分別為直線和y軸．例如雙曲線的漸近線分別為x軸和y軸，可將其圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）已知曲線，過上一點作切線分別交兩條漸近線于兩點，試探究面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說明理由；
（3）已知函數(shù)的圖象為Γ，直線，過的直線與Γ在第一象限交于兩點，過作的垂線，垂足分別為，直線交于點，求面積的最小值．
【答案】（1）
（2）是定值
（3）
【解析】
【分析】（1）設雙曲線的實軸長為，虛軸長為，由雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸得出，根據(jù)離心率公式計算即可；
（2）不妨設是雙曲線在第一象限的點，則，，，，得出過點的切線方程，與兩漸近線方程聯(lián)立，得出點得坐標，由即可得出；
（3）由題意將函數(shù)，，點，，，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到雙曲線，，，再得出直線與的交點為，結(jié)合韋達定理及對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求出面積的最小值．
【小問1詳解】
設雙曲線的實軸長為，虛軸長為，
因為雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸，
所以兩漸近線之間的夾角為，所以，
所以．
【小問2詳解】
不妨設是雙曲線在第一象限的點，則，，，，
則過點的切線方程為：，即，
與雙曲線漸近線聯(lián)立，即，，
解得或，
設，則,，
因為，
所以，
所以面積是定值2．
【小問3詳解】
由圖象是雙曲線，漸近線為軸與直線，
則兩漸近線的夾角為，故，兩漸近線夾角的平分線所在直線方程為，
聯(lián)立得，或，則雙曲線的，
所以，則將圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象，
直線與軸夾角為，故直線的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，
同理可得點，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且點為右支上的點，
設，則，
由題知，過的直線斜率不為0，設該直線方程，
因為點為右支上的點，所以且，
所以，
由得，，，
，
則，即，
因為由圖象知直線的斜率存在，所以，
故直線的方程為：，
令，，
由得，，
所以直線過定點，
同理可得直線也過定點，
所以直線與的交點為，
則
，令，
則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即
所以，
故面積的最小值為．
【點睛】方法點睛：當三角形三個頂點均為動點時，求面積比較困難，此時可以將其中一個或兩個點轉(zhuǎn)化為定點（或證明為頂點），再研究三角形面積的最值．

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