注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，若中有2個(gè)元素，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．某學(xué)生通過(guò)計(jì)步儀器，記錄了自己最近30天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排序如下：
5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901
13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172
14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972
估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（ ）
A．14292B．14359C．14426D．14468
4．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（ ）
A．3B．2C．D．
5．有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開(kāi)，則恰好拆開(kāi)2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．2B．C．D．
8．如圖，圓和圓外切于點(diǎn)分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)，都是唯一確定的，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù)．下面給出這些函數(shù)的定義：
①把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫作的正弦函數(shù)，記作，即；
②把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫作的余弦函數(shù)，記作，即；
③把點(diǎn)的縱坐標(biāo)的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；
④把點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)叫作的正割，記作，即．
下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的定義域?yàn)?br>D．
10．如圖1，在等腰梯形中，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，如圖2，則（ ）
圖1 圖2
A．
B．平面平面
C．多面體為三棱臺(tái)
D．直線與平面所成的角為
11．已知函數(shù)，函數(shù)，且，定義運(yùn)算設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小值為
B．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為
C．若有4個(gè)不同的解，則的取值范圍為
D．若有3個(gè)不同的解，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則_________．
13．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為_(kāi)________．
14．已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為，高為100，現(xiàn)有若干個(gè)半徑為的實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入_________個(gè)這種實(shí)心球．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
15．（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和．
16．（15分）
如圖，在四棱錐中，平面內(nèi)存在一條直線與平行，平面，直線與平面所成的角的正切值為．
（1）證明：四邊形是直角梯形．
（2）若點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．
17．（15分）某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級(jí)學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)和建立個(gè)性化錯(cuò)題本的情況，用來(lái)研究這兩者是否有關(guān)．若從該班級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成纜不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個(gè)性化錯(cuò)題本”，且．
（1）求和．
（2）若該班級(jí)共有36名學(xué)生，請(qǐng)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)與建立個(gè)性化錯(cuò)題本是否有關(guān)．
（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證（2）中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級(jí)中抽取一個(gè)容量為的樣本（假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為（2）中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的倍，且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)）．若要使得依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定（2）中的判斷，試確定的最小值．
參考公式及數(shù)據(jù)：．
18．（17分）
平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高所在直線的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍．已知的垂心為，外心為和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，．
（1）若，點(diǎn)在第二象限，直線軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若三點(diǎn)共線，橢圓與內(nèi)切，證明：為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
19．（17分）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
高三數(shù)學(xué)考試參考答案
1．A【解析】本題考查復(fù)數(shù)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以?br>2．B【解析】本題考查集合，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)橹兄挥?個(gè)元素，則，所以．
3．C【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)，考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
由，可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項(xiàng)數(shù)據(jù)，據(jù)此估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426．
4．A【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．
設(shè)，則，即，所以．因?yàn)?，所以?br>5．B【解析】本題考查概率，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．
所求概率．
6．C【解析】本題考查雙曲線，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
解法一：不妨設(shè)，且，則，所以，解得，故雙曲線的漸近線方程為．
解法二：，所以，解得，故雙曲線的漸近線方程為．
7．D【解析】本題考查直線和圓的方程，考查直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
如圖，在中，，，，，所以．
8．D【解析】本題考查平面向量，考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
，所以，所以，即，解得．
．
9．ABD【解析】本題考查三角函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
，A正確．，B正確．
函數(shù)的定義域?yàn)椋珻錯(cuò)誤．
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D正確．
10．ABD 【解析】本題考查立體幾何初步，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，A正確．
因?yàn)?，所以平面平面，B正確．因?yàn)?，所以多面體不是三棱臺(tái)，C錯(cuò)誤．
延長(zhǎng)相交于點(diǎn)（圖略），為直線與平面所成的角．因?yàn)?，所以，解得，則，D正確．
11．AC 【解析】本題考查基本初等函數(shù)，考查邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng)．
令，解得．
當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，如圖1所示．
圖1 圖2
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖2所示．
，所以的最小值為，A正確．
令，解得．若在上單調(diào)遞增，則，解得．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，B錯(cuò)誤．
若有3個(gè)不同的解，則結(jié)合圖象可得或，D錯(cuò)誤．
若有4個(gè)不同的解，則，C正確．
12．2【解析】本題考查拋物線，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．
由題意可得，解得，則，直線與軸垂直，．
13．【解析】本題考查正弦定理和余弦定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，故?br>14．49【解析】本題考查立體幾何初步，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．
如圖，將第1個(gè)實(shí)心球靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為．將第2個(gè)實(shí)心球也靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，過(guò)點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器的母線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于該圓柱形容器下底面，垂足為，設(shè)，
球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為．
同理可得球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為．
由此規(guī)律可得，每多放一個(gè)球，最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離加2．
因?yàn)椋?br>所以該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入49個(gè)這種實(shí)心球．
15．解：（1）當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也符合．
綜上，．
（2）
則
．
16．（1）證明：因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?br>連接，因?yàn)槠矫?，所以是與平面的夾角，
則，解得．
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋运倪呅问侵苯翘菪危?br>（2）解：取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，．
由，得，則．
設(shè)平面的法向量為，
則可取．
同理可求得平面的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角的平面角為，
則．
故二面角的正弦值為．
17．解：（1）因?yàn)?，所以?br>，解得，所以．
，解得．
（2）
零假設(shè)為：學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)與建立個(gè)性化錯(cuò)題本無(wú)關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)與建立個(gè)性化錯(cuò)題本有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005．
（3），解得．
要使新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)，則需．
又因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故的最小值是．
18．（1）解：因?yàn)?，所以?br>設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由題意可得，即，解得．
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>則，解得．
所以．
（2）證明：因?yàn)楹完P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且三點(diǎn)共線，所以四點(diǎn)共線，即點(diǎn)都在軸上．
因?yàn)槭堑母?，所以，即軸．
因?yàn)榈耐庑臑椋?，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．
設(shè)與軸的交點(diǎn)為，
由題意可得，即，化簡(jiǎn)得．
直線的斜率為，直線的斜率為，
所以，化簡(jiǎn)得①．
直線的方程為．
橢圓與內(nèi)切，所以．
聯(lián)立
得．
，
即．
因?yàn)?，所以?br>即，即．
結(jié)合①可得．
設(shè)橢圓的焦距為，則，
所以為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
19．解：（1）當(dāng)時(shí)，．
．
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)．
又因?yàn)?，所以只需要討論在上的零點(diǎn)．
．
令函數(shù)．
①當(dāng)，即時(shí)，分段討論：
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋源嬖?，使得?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，
在上有3個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上有1個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)，即時(shí)，分段討論：
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋源嬖?，使得?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?br>所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上有1個(gè)零點(diǎn)．
④當(dāng)即時(shí)，分段討論：
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，
．
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋源嬖?，使得?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以存在，使得?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?br>所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上有1個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)． 個(gè)性化錯(cuò)題本
期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)
合計(jì)
及格
不及格
建立
未建立
合計(jì)
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
個(gè)性化錯(cuò)題本
期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)
合計(jì)
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合計(jì)
24
12
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