1．（2分）20等于（ ）
A．2B．C．0D．1
2．（2分）下列計(jì)算正確的（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)7﹣a5＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．a(chǎn)6÷a3＝a2
3．（2分）下列命題是真命題的是（ ）
A．兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角相等
B．三角形的外角大于任一內(nèi)角
C．相等的角為對(duì)頂角
D．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
4．（2分）用直角三角板度量圖中△ABC邊BC上的高（單位：cm）大約為（ ）
A．2.8cmB．1.8cmC．3.3cmD．2.0cm
5．（2分）如圖，△ABC是正三角形（每個(gè)內(nèi)角都相等）．若l1∥l2，∠1＝75°，則∠2的大小是（ ）
A．160°B．165°C．170°D．175°
6．（2分）我國(guó)神舟飛船的降落傘面積約為1200平方米，約相當(dāng)于蘇科版數(shù)學(xué)教材封面面積的（ ）
A．250倍B．2500倍C．25000倍D．250000倍
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）某種花粉顆粒的直徑大約是0.00003米，用科學(xué)記數(shù)法表示0.00003是 ．
8．（2分）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 ．
9．（2分）“偶數(shù)能被4整除”的逆命題是 ．
10．（2分）若ax＝3，ay＝4，則ax﹣y的值為 ．
11．（2分）（ ）?（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
12．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，∠ABE是四邊形ABCD的一個(gè)外角，則∠ABE的度數(shù)是 °．
13．（2分）甲、乙均從A處去往E處．甲選擇圖中的路線(xiàn)①，即依次途徑B，C，D，最終到達(dá)E；乙選擇圖中的路線(xiàn)②，即途徑P，最終到達(dá)E．圖中的A，B，C，D，P，E均在格點(diǎn)上，且從一處到下一處均按直線(xiàn)行走．則兩條路線(xiàn)中較長(zhǎng)的是 .（填“①”，“②”或“一樣長(zhǎng)”）
14．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中線(xiàn)．若△ABD的周長(zhǎng)為19，則△ACD的周長(zhǎng)為 ．
15．（2分）如圖，長(zhǎng)方形紙片AD＝6x，AB＝3，沿MN折疊紙片，使得D，C分別落到D′，C′處，已知AM＝2x，MD′⊥BN．連接BD′，則六邊形ABD′C′N(xiāo)M的面積是 .（結(jié)果用含有x的代數(shù)式表示）
16．（2分）現(xiàn)有長(zhǎng)分別為4，5，7，9，22（單位：cm）的五根直木條，從中選出四根圍一個(gè)四邊形木框，則該木框的對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)可以取到的整數(shù)是 ．
三、解答題（本大題共10小題，共68分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（6分）計(jì)算：
（1）；
（2）（a2）3?（﹣2a3）2．
18．（9分）計(jì)算：
（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）（﹣3x+2）2；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）．
19．（5分）填空：
已知：如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O．
求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．
證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ ）．
在△COD中，同理可得
（ ）．
∵∠AOB＝∠COD（ ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ ）．
20．（6分）化簡(jiǎn)：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
21．（6分）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，則a+b＝ ．
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n．
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr．
22．（6分）證明：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．
已知：如圖， ．
求證： ．
證明：
23．（6分）如圖．
（1）已知AB∥CD，∠A＝∠D，求證∠BED＝∠AFC．
（2）已知∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，求證AB∥CD．
24．（7分）用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖的直角梯形．
（1）用兩種方法計(jì)算該梯形的面積，說(shuō)明a2+b2＝c2．
（2）是否存在一個(gè)直角三角形，在直角邊a長(zhǎng)度不變的基礎(chǔ)上，它的斜邊c與另一條直角邊b都增加相同的長(zhǎng)度，所得三角形仍是一個(gè)直角三角形？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．
25．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，D，E是射線(xiàn)BA，BC上的點(diǎn)，連接DE．分別過(guò)D，C作△BDE，△ABC外角的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，點(diǎn)D，E在線(xiàn)段BA，BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，若DE∥AC，求∠P．
（2）如圖2，點(diǎn)D在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，DE與AC相交于點(diǎn)F．若∠AFD＝20°，求∠P．
（3）如圖3，點(diǎn)D在線(xiàn)段BA上運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合），點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P的取值范圍．
26．（9分）如圖1，定點(diǎn)P在△ABC（∠B＜∠C）紙片內(nèi)的位置如圖所示．
平行可折
按如圖所示方法折疊，可以得到折痕a與三角形底邊BC平行．
①過(guò)點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)B落在BC上的B′處，展平紙片，得到折痕MN．
②過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使得點(diǎn)N落在射線(xiàn)PM上．
③展平紙片，得到折痕a．
（1）說(shuō)明a∥BC．
平行可作
（2）在圖2中用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l，使l∥BC（保留作圖的痕跡，不寫(xiě)作法）．
等角可折
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P折出折痕l，使得l與AB、AC分別相交于點(diǎn)D，E，且∠ADE＝∠C，請(qǐng)仿照上面“平行可折”的示例，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要描述折疊過(guò)程，不需證明．
2023-2024學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)七年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（2分）20等于（ ）
A．2B．C．0D．1
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算解可靠．
【解答】解：20＝1，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是零指數(shù)冪的運(yùn)算，掌握a0＝0（a≠0）是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）下列計(jì)算正確的（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)7﹣a5＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．a(chǎn)6÷a3＝a2
【分析】根據(jù)相應(yīng)的運(yùn)算法則逐一運(yùn)算判斷即可．
【解答】解：A、a2?a3＝a2+3＝a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、a7和a5不是同類(lèi)項(xiàng)，不能進(jìn)行加減運(yùn)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本選項(xiàng)正確；
D、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方，熟悉掌握其運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）下列命題是真命題的是（ ）
A．兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角相等
B．三角形的外角大于任一內(nèi)角
C．相等的角為對(duì)頂角
D．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
【分析】根據(jù)對(duì)頂角，平行線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A、兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題；
B、三角形的外角大于任一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，原命題是假命題；
C、相等的角不一定為對(duì)頂角，原命題是假命題；
D、有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，是真命題；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理，熟練掌握對(duì)頂角，平行線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）用直角三角板度量圖中△ABC邊BC上的高（單位：cm）大約為（ ）
A．2.8cmB．1.8cmC．3.3cmD．2.0cm
【分析】據(jù)三角形的高的定義畫(huà)出圖形即可．
【解答】解：作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，
AD＝2.8cm，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的高，解題的關(guān)鍵是掌握三角形高的知識(shí)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．
5．（2分）如圖，△ABC是正三角形（每個(gè)內(nèi)角都相等）．若l1∥l2，∠1＝75°，則∠2的大小是（ ）
A．160°B．165°C．170°D．175°
【分析】設(shè)BC與l2交于點(diǎn)E，AC與l2交于點(diǎn)F，根據(jù)正三角形性質(zhì)得∠C＝60°，再根據(jù)l1∥l2得∠AFE＝∠1＝75°，再由三角形外角定理得∠AFE＝∠C+∠CEF＝60°+∠CEF＝75°，則∠CEF＝15°，由此可得∠2的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)BC與l2交于點(diǎn)E，AC與l2交于點(diǎn)F，如下圖所示：
∵△ABC是正三角形，
∴∠C＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝75°，
∴∠AFE＝∠1＝75°，
又∵∠AFE＝∠C+∠CEF＝60°+∠CEF，
∴60°+∠CEF＝75°，
∴∠CEF＝15°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF＝165°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角定理，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握正三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．（2分）我國(guó)神舟飛船的降落傘面積約為1200平方米，約相當(dāng)于蘇科版數(shù)學(xué)教材封面面積的（ ）
A．250倍B．2500倍C．25000倍D．250000倍
【分析】先估算蘇科版數(shù)學(xué)教材封面面積約為480平方厘米，再換算單位，最后用除法計(jì)算即可．
【解答】解：蘇科版數(shù)學(xué)教材封面面積約為480平方厘米，
我國(guó)神舟飛船的降落傘面積約為1200平方米＝12000000平方厘米，
12000000÷480＝25000．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是估算蘇科版數(shù)學(xué)教材封面面積．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）某種花粉顆粒的直徑大約是0.00003米，用科學(xué)記數(shù)法表示0.00003是 3×10﹣5 ．
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5；
故答案為：3×10﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
8．（2分）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 5 ．
【分析】一個(gè)多邊形的外角和為360°，而每個(gè)外角為72°，進(jìn)而求出外角的個(gè)數(shù)，即為多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和是360°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2分）“偶數(shù)能被4整除”的逆命題是 如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù) ．
【分析】根據(jù)給出的命題將其結(jié)論與條件互換即得到其逆命題即可．
【解答】解：“偶數(shù)能被4整除”的逆命題是如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，
故答案為：如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題．
10．（2分）若ax＝3，ay＝4，則ax﹣y的值為 ．
【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
【解答】解：∵ax＝3，ay＝4，
∴ax﹣y
＝ax÷ay
＝3÷4
＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是熟記同底數(shù)冪的除法的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．
11．（2分）（ 4xy ）?（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：4xy?（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
故答案為：4xy．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，∠ABE是四邊形ABCD的一個(gè)外角，則∠ABE的度數(shù)是 120 °．
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°求出∠ABC，再根據(jù)平角的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC+∠D＝360°，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
∴∠ABE＝180°﹣60°＝120°，
故答案為：120．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，掌握四邊形的內(nèi)角和是360°以及平角的定義是正確解答的關(guān)鍵．
13．（2分）甲、乙均從A處去往E處．甲選擇圖中的路線(xiàn)①，即依次途徑B，C，D，最終到達(dá)E；乙選擇圖中的路線(xiàn)②，即途徑P，最終到達(dá)E．圖中的A，B，C，D，P，E均在格點(diǎn)上，且從一處到下一處均按直線(xiàn)行走．則兩條路線(xiàn)中較長(zhǎng)的是 ① .（填“①”，“②”或“一樣長(zhǎng)”）
【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB、BC、DE、AP、EP的長(zhǎng)度，再求出兩條路線(xiàn)的長(zhǎng)度，最后進(jìn)行比較即可．
【解答】解：AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝1，
DE＝＝，
則①的線(xiàn)路長(zhǎng)為：AB+BC+CD+DE＝++1+，
AP＝＝2，
EP＝＝，
則②的線(xiàn)路長(zhǎng)為：AP+PE＝2+，
（AB+BC+CD+DE）﹣（AP+PE）＝++1+﹣2﹣＝+1﹣，
∵1.414，≈2.236，
∴+1﹣≈0.178＞0，
∴①線(xiàn)路較長(zhǎng)．
故答案為：①．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理公式是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中線(xiàn)．若△ABD的周長(zhǎng)為19，則△ACD的周長(zhǎng)為 17 ．
【分析】根據(jù)三角形的中線(xiàn)的定義可得BD＝CD，然后求出△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD為中線(xiàn)，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周長(zhǎng)為：AB+AD+BD；
△ACD的周長(zhǎng)為：AC+AD+CD，
∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)為：AB﹣AC＝9﹣7＝2，
∵△ABD的周長(zhǎng)為19．
∴△ACD的周長(zhǎng)為17．
故答案為：17．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高，掌握中線(xiàn)的定義及三角形的周長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，長(zhǎng)方形紙片AD＝6x，AB＝3，沿MN折疊紙片，使得D，C分別落到D′，C′處，已知AM＝2x，MD′⊥BN．連接BD′，則六邊形ABD′C′N(xiāo)M的面積是 4x2+15x﹣ .（結(jié)果用含有x的代數(shù)式表示）
【分析】求出BN＝2x+3，C'N＝4x﹣3，可得S四邊形ABNM＝6x+，S四邊形BD'C'N＝4x2+9x﹣9，即可得六邊形ABD′C′N(xiāo)M的面積是6x++4x2+9x﹣9＝4x2+15x﹣．
【解答】解：根據(jù)題意可得，BN＝2x+3，D'N＝4x，
∴C'N＝4x﹣3，
∴S四邊形ABNM＝＝6x+，
S四邊形BD'C'N＝＝4x2+9x﹣9，
∴六邊形ABD′C′N(xiāo)M的面積是6x++4x2+9x﹣9＝4x2+15x﹣；
故答案為：4x2+15x﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握梯形的面積公式．
16．（2分）現(xiàn)有長(zhǎng)分別為4，5，7，9，22（單位：cm）的五根直木條，從中選出四根圍一個(gè)四邊形木框，則該木框的對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)可以取到的整數(shù)是 15 ．
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可求解．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，∴選4，5，7，9，∵4+5+7＝16，9﹣4＝5，∴該木框的對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)可以取到的整數(shù)是15．故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
三、解答題（本大題共10小題，共68分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（6分）計(jì)算：
（1）；
（2）（a2）3?（﹣2a3）2．
【分析】（1）先計(jì)算乘方與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，再計(jì)算乘除即可；
（2）先根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝2
＝8；
（2）原式＝a6?（4a6）
＝4a12．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵．
18．（9分）計(jì)算：
（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）（﹣3x+2）2；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）．
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（2）（﹣3x+2）2＝9x2﹣12x+4；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）
＝（4x2﹣1）（4x2+1）
＝16x4﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
19．（5分）填空：
已知：如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O．
求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．
證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ 三角形的內(nèi)角和等于180° ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ 等式的性質(zhì) ）．
在△COD中，同理可得
（ ∠C+∠D＝180°﹣∠COD ）．
∵∠AOB＝∠COD（ 對(duì)頂角相等 ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ 等量代換 ）．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等解答即可．
【解答】證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（等式的性質(zhì)），
在△COD中，同理可得，
∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
∵∠AOB＝∠COD（對(duì)頂角相等），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代換），
故答案為：三角形的內(nèi)角和等于180°，等式的性質(zhì)，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，對(duì)頂角相等，等量代換．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握對(duì)頂角相等是解此題的關(guān)鍵．
20．（6分）化簡(jiǎn)：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【解答】解：原式＝（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝（b﹣3）2+（2a）2﹣（b﹣3）2﹣4a2+b2
＝b2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
21．（6分）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，則a+b＝ 14 ．
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n．
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr．
【分析】（1）根據(jù)乘方的意義，把加法運(yùn)算寫(xiě)成乘法運(yùn)算，再按照同底數(shù)冪相乘法則進(jìn)行計(jì)算，從而求出a，b，再求出a+b即可；
（2）把4和27分別寫(xiě)成底數(shù)是2和3的冪，然后根據(jù)積的乘方和冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，求出m，n即可；
（3）根據(jù)已知條件，利用冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，從而求出答案即可．
【解答】解：（1）∵25+25＝25×2＝26＝2a，37+37+37＝37×3＝38＝3b，
∴a＝6，b＝8，
∴a+b＝6+8＝14，
故答案為：14；
（2）∵2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321，
∴m＝14，n＝21；
（3）∵2p＝m，mq＝n，nr＝32，
∴（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32，
∴2pqr＝25，
∴pqr＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的有關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪相乘法則、積的乘方和冪的乘方法則．
22．（6分）證明：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．
已知：如圖， b∥a，c∥a ．
求證： b∥c ．
證明：
【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定證明即可．
【解答】證明：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．
已知：如圖，b∥a，c∥a，
求證：b∥c，
證明：作直線(xiàn)DF交直線(xiàn)a、b、c，交點(diǎn)分別為D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
又∵a∥c，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴b∥c．
故答案為：b∥a，c∥a；b∥c
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線(xiàn)的判定．解答此類(lèi)要判定兩直線(xiàn)平行的題，可圍繞截線(xiàn)找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角．
23．（6分）如圖．
（1）已知AB∥CD，∠A＝∠D，求證∠BED＝∠AFC．
（2）已知∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，求證AB∥CD．
【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠A＝∠AFC，∠BED＝∠D，等量代換即可得解；
（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠AFD＝∠AED，根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°求出∠A+∠AFD＝180°，根據(jù)“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行”即可得解．
【解答】證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AFC，∠BED＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠BED＝∠AFC；
（2）∵∠BED＝∠AFC，∠AFC+∠AFD＝180°，∠BED+∠AED＝180°，
∴∠AFD＝∠AED，
∵∠A＝∠D，∠A+∠D+∠AFD+∠AED＝360°，
∴∠A+∠AFD＝180°，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（7分）用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖的直角梯形．
（1）用兩種方法計(jì)算該梯形的面積，說(shuō)明a2+b2＝c2．
（2）是否存在一個(gè)直角三角形，在直角邊a長(zhǎng)度不變的基礎(chǔ)上，它的斜邊c與另一條直角邊b都增加相同的長(zhǎng)度，所得三角形仍是一個(gè)直角三角形？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)不同方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積不變列等式變形證明即可；
（2）可用反證法判斷，并推理證明即可．
【解答】解：（1）∵整個(gè)圖形的面積＝（a+b）（a+b），整個(gè)圖形的面積＝ab×2+c2，
∴（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，即（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
整理，得a2+b2＝c2；
（2）不存在．
理由如下：（反證法）假定存在，且它的斜邊c與另一條直角邊b都增加x（x≠0），
則a2+（b+x）2＝（c+x）2，
即a2+b2+2bx+x2＝c2+2cx+x2，
∵a2+b2＝c2，
∴2bx＝2cx，
∵x≠0，
∴b＝c，
這與斜邊大于直角邊矛盾，
∴假設(shè)不成立，
故不存在．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解答中涉及面積計(jì)算，反證法，完全平方公式，掌握面積法和反證法是解題的關(guān)鍵．
25．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，D，E是射線(xiàn)BA，BC上的點(diǎn)，連接DE．分別過(guò)D，C作△BDE，△ABC外角的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，點(diǎn)D，E在線(xiàn)段BA，BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，若DE∥AC，求∠P．
（2）如圖2，點(diǎn)D在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，DE與AC相交于點(diǎn)F．若∠AFD＝20°，求∠P．
（3）如圖3，點(diǎn)D在線(xiàn)段BA上運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合），點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BDE＝80°，∠BED＝30°，結(jié)合鄰補(bǔ)角的概念和角平分線(xiàn)的定義可求得∠PDE＝50°，∠PED＝75°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AFE＝160°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ADF＝60°．根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可求得∠PDF＝60°，∠PCF＝75°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求解；
（3）設(shè)∠AFD＝α，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BDE＝80°+α，結(jié)合鄰補(bǔ)角的概念和角平分線(xiàn)的定義可得∠PDE＝50°﹣α，∠PCF＝75°，求得∠PDB＝130°+α，∠PCB＝105°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠B＝70°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可出∠P的值，結(jié)合題意可得0°＜α＜30°，即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，
∴∠BDE＝∠BAC＝80°，∠BED＝∠BCA＝30°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，
∴∠PDE＝（180°﹣∠DBE）＝50°，∠PGD＝（180°﹣∠DEB）＝75°．
∴P＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝55°；
（2）∵∠AFD＝20°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AFD＝160°，
∵∠BAC＝80°，∠AFD＝20°，
∴∠ADF＝∠BAC﹣∠AFD＝80°﹣20°＝60°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∠BCA＝30°，
∴∠PDF＝（180°﹣∠ADF）＝60°，∠PCF＝（180°﹣∠BCA）＝75°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝160°，
∴∠P＝360°﹣∠PDF﹣∠PCF﹣∠CFD＝360°﹣60°﹣75°﹣160°＝65°；
（3）設(shè)∠AFD＝α，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BDE＝∠BAC+∠AFD＝80°+α，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝100°﹣α，
∵△BDE，△ABC外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∠BCA＝30°，
∴∠PDE＝∠ADE＝50°﹣α，∠PCF＝（180°﹣∠BCA）＝75°，
∴∠PDB＝∠PDE+∠BDE＝50°﹣α+80°+α＝130°+α，
∠PCB＝∠PCF+∠BCA＝75°+30°＝105°，
∵∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝70°，
∴∠P＝360°﹣∠B﹣∠PDB﹣∠PCB＝360°﹣70°﹣（130°+）﹣105°＝55°﹣，
∵0°＜α＜30°，
∴40°＜55°﹣＜55°，
即40°＜∠P＜55°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的概念等，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
26．（9分）如圖1，定點(diǎn)P在△ABC（∠B＜∠C）紙片內(nèi)的位置如圖所示．
平行可折
按如圖所示方法折疊，可以得到折痕a與三角形底邊BC平行．
①過(guò)點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)B落在BC上的B′處，展平紙片，得到折痕MN．
②過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使得點(diǎn)N落在射線(xiàn)PM上．
③展平紙片，得到折痕a．
（1）說(shuō)明a∥BC．
平行可作
（2）在圖2中用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l，使l∥BC（保留作圖的痕跡，不寫(xiě)作法）．
等角可折
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P折出折痕l，使得l與AB、AC分別相交于點(diǎn)D，E，且∠ADE＝∠C，請(qǐng)仿照上面“平行可折”的示例，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要描述折疊過(guò)程，不需證明．
【分析】（1）由折疊可知，MN是BB'的垂直平分線(xiàn)，a為NN'的垂直平分線(xiàn)，N'在直線(xiàn)MN上，故MN⊥BC，a⊥MN，從而a∥BC；
（2）過(guò)P作直線(xiàn)MN⊥BC，過(guò)P作直線(xiàn)l⊥直線(xiàn)MN，直線(xiàn)l即為所求；
（3）①沿過(guò)A的直線(xiàn)折疊△ABC，使C落在AB上的C'處，得到折痕AK，再展平紙片；②沿過(guò)C，C'的直線(xiàn)折疊△BCC'，得到△B'CC'，B'C交AB于T，交AK于K'，得到△ACT；③按照“平行可折”的方法，過(guò)P折直線(xiàn)DE，使DE∥CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G，∠ADE即為所求．
【解答】（1）證明：如圖：
由折疊可知，MN是BB'的垂直平分線(xiàn)，a為NN'的垂直平分線(xiàn)，N'在直線(xiàn)MN上，
∴MN⊥BC，a⊥MN，
∴a∥BC；
（2）解：過(guò)P作直線(xiàn)MN⊥BC，過(guò)P作直線(xiàn)l⊥直線(xiàn)MN，如圖：
直線(xiàn)l即為所求；
（3）解：①沿過(guò)A的直線(xiàn)折疊△ABC，使C落在AB上的C'處，得到折痕AK，再展平紙片；
②沿過(guò)C，C'的直線(xiàn)折疊△BCC'，得到△B'CC'，B'C交AB于T，交AK于K'，得到△ACT；
③按照“平行可折”的方法，過(guò)P折直線(xiàn)DE，使DE∥CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G；
∠ADE即為所求；
理由：由折疊可知，AK是CC'的垂直平分線(xiàn)，∠BAK＝∠CAK，∠BKK'＝∠B'K'K＝∠AK'C，
∴∠B＝∠ACK'，
∵DE∥CT，
∴∠AED＝∠ACK'
∴∠B＝∠AED，
∴180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣∠B﹣∠BAC，即∠ADE＝∠ACB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．

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