一、選擇題
1．常言道：“不經(jīng)歷風雨，怎么見彩虹”.就此話而言，“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
3．三個函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則a，b，c之間的大小關系為( )
A.B.C.D.
4．如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當角取哪個值時，繩承受的拉力最小. ( )
A.B.C.D.
5．若把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個偶函數(shù)，則( )
A.B.C.D.
6．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，求得經(jīng)驗回歸方程為，且平均數(shù).現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點和誤差較大，去除后，重新求得的經(jīng)驗回歸方程為，則( )
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
7．某學校為參加辯論比賽，選出8名學生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進一步選拔，現(xiàn)將這8名學生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知點F為雙曲線C：的右焦點，點N在x軸上（非雙曲線頂點），若對于在雙曲線C上（除頂點外）任一點P，恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．設，是復數(shù)，則下列說法正確的是( )
A.若，則B.若，則
C.D.若，則
10．已知數(shù)列的通項公式為，，在中依次選取若干項（至少3項），，，…，，…，使成為一個等比數(shù)列，則下列說法正確的是( )
A.若取，，則
B.滿足題意的也必是一個等比數(shù)列
C.在的前100項中，的可能項數(shù)最多是6
D.如果把中滿足等比的項一直取下去，總是無窮數(shù)列
11．如圖，平面，，M為線段AB的中點，直線MN與平面的所成角大小為，點P為平面內(nèi)的動點，則( )
A.以N為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長為
B.若P到點M和點N的距離相等，則點P的軌跡是一條直線
C.若P到直線MN的距離為1，則的最大值為
D.滿足的點P的軌跡是橢圓
三、填空題
12．某中學1500名同學參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計，成績X近似服從正態(tài)分布，已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為__________.
13．已知數(shù)列的通項公式（），則的最小值為__________.
14．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，定義、兩點之間的“直角距離”為.已知兩定點，，則滿足的點M的軌跡所圍成的圖形面積為__________.
四、解答題
15．已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓C的方程：
（2）求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值.
16．在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，
（1）求A的大?。?br>（2）點D在BC上，
①當，且時，求AC的長；
②當，且時，求的面積.
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，為等邊三角形，，，.
（1）求證：；
（2）點N在棱上運動，求面積的最小值；
（3）點M為的中點，在棱上找一點Q，使得平面，求的值.
18．已知函數(shù)，，（）.
（1）證明：當時，；
（2）討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
19．已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為，即；前n項的最小值記為，即，令（，2，3，…），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”.
（1）若，求其生成數(shù)列的前n項和；
（2）設數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；
（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，，，，…是等差數(shù)列.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意，經(jīng)歷風雨不一定會見彩虹，但見彩虹一定是經(jīng)歷風雨，
所以“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的必要不充分條件.
故選：B.
2．答案：D
解析：因為，
二次函數(shù)，當且僅當時取等號，
所以，
所以.
故選：D.
3．答案：B
解析：因為函數(shù)，，，都是增函數(shù)，
所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，
因為，，
所以函數(shù)的零點在上，即，
因為，，
所以函數(shù)的零點在上，即，
因為，，
所以函數(shù)的零點在上，即，
綜上，.
故選：B.
4．答案：C
解析：作出示意圖，設與物體M平衡的力對應的向量為，則，
以為對角線作平行四邊形，則，是繩承受的拉力大小，
由，得，所以，
中，由正弦定理得，即，
可得，
結(jié)合，可知當時，達到最小值10.
綜上所述，當角時，繩承受的拉力最小.
故選：C.
5．答案：C
解析：把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，
，
則，
即，
即，該方程對任意恒成立，
則，解得.
故選：C.
6．答案：C
解析：因為原來的經(jīng)驗回歸方程為，且平均數(shù)，
所以，
因為去除的兩個樣本點和，并且，，
所以去除兩個樣本點后，樣本點的中心仍為，
代入重新求得的經(jīng)驗回歸方程，可得，
解得.
故選：C.
7．答案：D
解析：根據(jù)題意，從8人中選出4人，有種選法，
分2種情況討論：
①選出的4人中有2名男生和2名女生，有種選法，
②選出的4人中有1名男生和3名女生，有種選法，
則兩隊中均有男生的概率.
故選：D.
8．答案：C
解析：由題意可得，所以，
設，，
則，，
由恒是銳角，得，
又，，
不等式可化為：，
整理得：，
記，，
要使恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
當，即時，
，解得；
當或，即或時，
，解得，
綜上，.
又點N與雙曲線頂點不重合，所以，
所以的取值范圍為.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：對于A，，則，解得，即，故A正確；
對于B，，，滿足，但，故B錯誤；
對于C，，
，故C正確；
對于D，，則，即，即，故D正確.
故選：ACD.
10．答案：AB
解析：因為數(shù)列的通項公式為，
對于A，取，，則，，
由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；
對于B，數(shù)列的通項公式為，則，
若為等比數(shù)列，即，，，…，，…是等比數(shù)列，
則，，，…，，…，是等比數(shù)列，
故滿足題意的也必是一個等比數(shù)列，故B正確；
對于C，在的前100項中，可以取，，，，，，，
可以使成為一個等比數(shù)列，此時為7項，故C錯誤；
對于D，取，，則，，則，，
不是數(shù)列的項，
所以把中滿足等比的項一直取下去，不總是無窮數(shù)列，故D錯誤.
故選：AB.
11．答案：BC
解析：對于A，由于MN與平面的所成角大小為30°，所以點N到平面的距離，
故半徑為的球面在平面上截面圓的半徑為，故截痕長為，A錯誤，
對于B，由于平面，所以以為y，在平面內(nèi)過M作，平面內(nèi)作，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設，則，
化簡得，故P到點M和點N的距離相等，則點P的軌跡是一條直線，B正確，
，，所以P到直線MN的距離為，化簡可得，
所以點P的軌跡是平面內(nèi)的橢圓上一點，如圖，
當P在短軸的端點時，此時最大，由于，故，因此，C正確，
對于D，，，，
若，則，
化簡得且，故滿足的點P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯誤，
故選：BC.
12．答案：450
解析：由題意可知，，
又因為，
所以
所以跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為.
故答案為：450.
13．答案：/
解析：由于當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，
要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可，
又，
且當時，，因此時，，
當，，
當，，
綜上，最小值為.
故答案為：.
14．答案：6
解析：設，由題意，
可知，
故當，時，，
當時，，
當，，
當，時，，
當，時，，
軌跡方程的圖形如圖，
圖形的面積為：.
故答案為：6.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由橢圓的離心率為，可得，
可得，設橢圓的方程為：，，
又因為橢圓經(jīng)過點，所以，
解得，
所以橢圓的方程為：.
（2）設與直線平行的直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得：，
，可得，則，
所以直線到直線的距離.
所以橢圓C上的點到直線的距離的最大值為.
16．答案：（1）
（2）；
解析：（1）因為，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因為B為三角形內(nèi)角，，
所以，可得，
因為，所以.
（2）①此時，，
所以，所以，，，
在中，由正弦定理可得；
②設，由，
可得，化簡可得，
有，，
由于，所以，
所以，，
則.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）4
解析：（1）取的中點H，連接，，則且，又，
所以四邊形為矩形，
所以，又為等邊三角形，
所以，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以.
（2）連接，由平面，
又平面，
所以，所以，
要使的面積最小，即要使最小，
當且僅當時取最小值，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，，所以，
當時，
所以面積的最小值為.
（3）連接交于點G，連接交于點F，連接，
因為且，所以，
所以，
因為平面，又平面，
平面平面，
所以，
所以，
在中，過點M作，
則有，所以，所以，即，
18．答案：（1）證明見解析
（2）當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點.
解析：（1）證明，令，
則，
記，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增，
從而在上，，
所以在上單調(diào)遞增，
因此在上，，即；
（2），，
，在上，，
所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點；
，記，
則，在上遞增，
而，，
故存在，使，
當時，遞減，時，遞增，，
而，，
在上無零點，在上有唯一零點，
綜上，當時，在上沒有零點：
當時，在上有且僅有1個零點.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
（3）證明見解析
解析：（1）因為關于n單調(diào)遞增，
所以，
，
于是，
的前n項和.
（2）由題意可知，，
所以，
因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，
由“生成數(shù)列”的定義可得.
（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，，，，…是等差數(shù)列.
當是一個常數(shù)列，則其公差d必等于0，，
則，因此是常數(shù)列，也即為等差數(shù)列；
當是一個非常數(shù)的等差數(shù)列，則其公差d必大于0，，
所以要么，要么，
又因為是由正整數(shù)組成的數(shù)列，所以不可能一直遞減，
記，則當時，有，
于是當時，，
故當時，，…，
因此存在正整數(shù)，當時，，，，…是等差數(shù)列.
綜上，命題得證.

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