高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若，則（ ）
A. B. C. D.
4.已知正方體的棱長為，則點(diǎn)到面的距離為（ ）
A.1 B. C.2 D.
5.已知函數(shù).若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6.數(shù)列的前項(xiàng)的和滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A.數(shù)列是常數(shù)列
B.若，則的最小項(xiàng)的值為-1
C.若，則
D.若，則是遞增數(shù)列
7.直線，直線與平行，且直線與垂直，則（ ）
A.4 B.2 C.3 D.1
8.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，焦距為8，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)的0分.
9.如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B.
C. D.不是平面的一個(gè)法向量
10.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)，則（ ）
A.有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.直線是曲線的切線
C.有三個(gè)零點(diǎn)
D.存在等差數(shù)列，滿足
非選擇題部分
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且，則__________.
13.一個(gè)盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.
14.已知圓系，圓過軸上的定點(diǎn)，線段是圓在軸上截得的弦，設(shè).對于下列命題：
①不論取何實(shí)數(shù)，圓心始終落在曲線上；
②不論取何實(shí)數(shù)，弦的長為定值1；
③式子的取值范圍是.
④不論取何實(shí)數(shù)，圓系的所有圓都與直線相切；
其中真命題的序號(hào)是__________.（把所有真命題的序號(hào)都填上）
四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
在中，角所對的邊分別是，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問題，三個(gè)條件為：
①；②；③.
（1）求角的大??；
（2）若，求的值.
16.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.
（1）證明：平面.
（2）若，求三棱錐的體積.
17.（本小題滿分15分）設(shè)數(shù)列滿足，且.
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明.
18.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為左右焦點(diǎn).
（1）求橢圓方程；
（2）P是橢圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）過橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.
19.（本小題滿分17分）（1）已知，求的最大值與最小值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（3）若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1.C
【分析】
根據(jù)交集定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
2.D
【分析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到的形式，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，從而判斷出所在象限.
【詳解】由題得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選：D
3.C
【分析】
利用正余弦的齊次式法即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以
.
故選：C
4.A
【分析】
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，則到平面的距離，即可得出答案.
【詳解】
解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，
，
設(shè)面的法向量為，
，
所以，
令，則，
所以，
，
所以到平面的距離，
故選：A
5.B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以是上的增函數(shù)，所以若
則，解得.
故選：B
6.B
【分析】
由遞推關(guān)系求出時(shí)，代入得到結(jié)果與直接代入得到結(jié)果作比較可得錯(cuò)誤；由遞推關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，可判斷錯(cuò)誤；由遞推關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為3，奇數(shù)項(xiàng)為-2，再用分組求和可得錯(cuò)誤；由遞推關(guān)系得到時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為-1，奇數(shù)項(xiàng)為2，可得正確.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，；①
當(dāng)時(shí)，，
作差可得，代入可得，與①可能矛盾，
故數(shù)列不一定是常數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
B：若，則，故時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為-1，奇數(shù)項(xiàng)為2，
則的最小項(xiàng)的值為-1，故B正確；
C：若，則由以上選項(xiàng)可知，
所以當(dāng)時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為3，奇數(shù)項(xiàng)為-2，
而，故C錯(cuò)誤；
：由可得且，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）已知求時(shí)可仿寫作差；
（2）求數(shù)列中較大的前某項(xiàng)和時(shí)，可根據(jù)數(shù)列的周期性用分組求和.
7.C
【分析】
根據(jù)求出的值，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)橹本€與平行，
并且直線，所以.
又因?yàn)橹本€與垂直，所以.
所以.
故選：C.
8.A
【分析】
利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉(zhuǎn)化為的形式，通過點(diǎn)共線判斷并計(jì)算的最小值即可.
【詳解】
如圖所示
由題意知，解得.
記的右焦點(diǎn)為，即，
由雙曲線的定義，得，即
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：A.
9.BD
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則?.
對于選項(xiàng)，，則，故錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，，則，故B正確；
對于選項(xiàng)，，故，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)，，故不是平面的一個(gè)法向量，故正確.
故選：BD.
10.AC
【分析】根據(jù)已知可直接得到；換元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式判斷D即可.
【詳解】對于，由題可得，即，故A正確；
對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；
對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；
對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D不正確.
故選：AC.
11.ACD
【分析】
由導(dǎo)數(shù)的意義可知斜率為時(shí)，求出切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式判斷B錯(cuò)誤；求導(dǎo)后由單調(diào)性可判斷B正確；代入極值點(diǎn)后可判斷C正確；由等差中項(xiàng)可判斷D正確.
【詳解】，
：令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)取得極大值，取得極小值；故A正確；
B：令，而，
由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；
，由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為
所以直線不是曲線的切線，故錯(cuò)誤；
C：因?yàn)?，所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
：取，則，故D正確；
故選：ACD
12.
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)同角的平方關(guān)系和正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)樵谥?，，所以?br>又，
所以，
因?yàn)椋?br>所以
故答案為：.
13.
【分析】
根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.
【詳解】兩次抽取的試驗(yàn)的樣本空間，共16個(gè)，
兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個(gè)，
所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是.則不大于6的概率為
故答案為：
14.②③
【分析】
對于①，根據(jù)圓的方程即可判斷①，對于②，根據(jù)弦長公式即可判斷②，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷③，對于④，令求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出和，在利用余弦定理求出，求出的面積即可求出，根據(jù)即可判斷④.
【詳解】對于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確.
對于②，由弦長公式得：弦的長為，故②正確.
對于③，在圓方程令，可得，
或，即
由圓方程知，
由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），
中，由余弦定理得，
的面積為，
，
，即，故③正確.
對于④，圓心到直線的距離等于，
而半徑為，二者不一定相等，故④不正確.
故答案為：②③.
15.（1）所選條件見解析，；
（2）12
【分析】
（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；
（2）利用余弦定理分析求解.
【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，則，可得，
且，所以；
若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>且，則，可得，
且，所以；
若選③：因?yàn)椋?br>則，可得
且，則，可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
即，解得
16.（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理先證出平面，再證得平面；
（2）利用間接法，求體積.
【詳解】（1）記.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫妫遥?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫妫遥?br>所以平面.
（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是6.
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為8的菱形，且，
所以，
則四棱錐的體積，
三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
故三棱錐的體積
.
17.（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】
（1）由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得；
（2）由（1）可得，利用累加法可得，驗(yàn)證即可；
（3）利用裂項(xiàng)相消法可得.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，
當(dāng)時(shí)，
代入驗(yàn)證，左右成立，所以；
（3），
所以
18.（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過點(diǎn)求得，從而求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線的方程并與橢圓方程，得到，再利用弦長公式即可得解.
【詳解】（1）
由題意得，解得，
橢圓的方程為；
（2）設(shè)在橢圓上，
（3）由（1）得，橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，
則直線的斜率存在時(shí)方程為：，設(shè)，
聯(lián)立，消去，得，顯然
則，
所以
點(diǎn)0到直線的距離
面積
不存在時(shí)，面積
所以面積的最大值為
19.（1）最大值，最小值1；
（2），當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增（3）
【分析】
（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較大小即可求解最值；
（3）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值分析求解即可；
解法二：令，求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得的范圍，結(jié)合有唯一整數(shù)解，進(jìn)一步求出的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>令，解得的變化情況如下表所示.
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，有極大值，也是的最大值.
又因?yàn)?，而?br>所以，所以為的最小值
（2），當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
（3）解法一：因?yàn)?，所以不等式可化為?br>由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因?yàn)榈淖畲笾担?br>，
所以時(shí)，最大，所以不等式，
即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以的取值范圍為
解法二：令，由題意可知有唯一整數(shù)解，
，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
而，所以，與題意矛盾；
當(dāng)時(shí)，由可得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以時(shí)，取最大值為，
由題意可知，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)即時(shí)，
由有唯一整數(shù)解知，解得，
若，由在單調(diào)遞增知，矛盾
所以，由在單調(diào)遞減可知
所以符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
由在單調(diào)遞減可知，不符合題意；
綜上所述，的取值范圍為.1
+
0
-
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
1

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