考試時長：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知，則（ ）
A．－1B．1C．2D．4
2．已知數(shù)列滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓和點，若過點的5條弦的長度構成一個等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行恩施高中2022級數(shù)學競賽決賽，決出第1名到第5名的名次，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺域，你沒有獲得冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（ ）種不同的情況．
A．54B．72C．78D．84
5．如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構成一個數(shù)列：，則該數(shù)列前10項的和為（ ）
A．66B．120C．165D．220
6．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則“為遞增數(shù)列”是“”的（ ）條件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知數(shù)列，其前項和記為，則下列說法不正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，且，則
B．若是等差數(shù)列，且，則
C．若是等比數(shù)列，且為常數(shù)，則
D．若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列
10．關于多項式的展開式，下列結論正確的是（ ）
A．各項系數(shù)之和為1B．存在無理項
C．常數(shù)項為400D．的系數(shù)為－80
11．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的極值點為
B．曲線與有且僅有兩條公切線，并且斜率之積等于1
C．若時，則
D．若時，恒成立，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．今天是星期四，那么天后是星期______．
13．一個兵乓球從高的桌面上落下，每次反彈的高度都是原來高度的，則乒乓球至少在第______次著地時，它所經(jīng)過的總路程會超過．
14．曲線在點處的切線方程為______；若當時，恒成立，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
編號為的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個白球；3個黃球，3個白球；4個黑球，5個白球．（所有球除顏色外完全相同）
（1）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率是多少？
（2）現(xiàn)隨機從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？
16．（本小題滿分15分）
已知等差數(shù)列的前項和為，且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前項和為．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若過原點可以作兩條直線與函數(shù)的圖象相切，求的取值范圍．
18．（本小題滿分17分）
已知數(shù)列的前項和為，且滿足．數(shù)列的前項和為，且滿足，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，設數(shù)列的前項和為，且對任意的恒成立，求的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學家泰勒（Brk Taylr）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱夌克勞林公式）有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．其中，表示的二階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)．
（1）根據(jù)公式估計的值；（結果保留兩位有效數(shù)字）
（2）由公式可得：，當時，請比較與的大小，并給出證明；
（3）已知，證明：．
2024年云學名校聯(lián)盟高二年級4月期中聯(lián)考
數(shù)學評分細則
1．B【解析】，故選B．
2．D【解析】，故選D．
3．C【解析】半徑為，所以過點的最短弦長為6，最長弦長為10，從而公差，故選C．
4．C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同學排名次，甲不是第一名，乙不是最后一名，總共的情況有，故選C．
5．D【解析】前10項的和等于，故選D．
6．C【解析】可以理解成動點與動點的距離，結合與的圖象，容易得到最短距離為，故選C．
7．B【解析】由“為遞增數(shù)列”可以得到，解得，所以“為遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件，故選B．
8．A【解析】，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得且；再構造函數(shù)，求導可得，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以
，也即，綜上：，故選A．
9．ACD【解析】A選項中，當?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時，由不能得到，所以A錯；B正確；C選項中常數(shù)應該等于－2，所以C選項錯；D選項中，當時，不是等比數(shù)列，所以D選項錯，故選ACD．
10．AD【解析】：展開式的通項可以表示為
A．令，則即為各項系數(shù)之和，A正確；
B．展開式的通項公式中，所以不存在無理項，B錯誤；
C．常數(shù)項中的次數(shù)為0，則或或，則，C錯誤；
D．的系數(shù)即的系數(shù)之和，表示為，D正確，故選AD．
11．BCD【解析】：A．，顯然在單調(diào)遞增，而，所以在遞減，在遞增，所以該函數(shù)有極小值點1，極小值；所以A錯誤；B．的圖象關于直線對稱，則兩條公切線關于直線對稱，斜率之積為B正確；
C．令，則，令在單調(diào)遞增，而使得即且在遞減，在遞增，，故C正確；
D．恒成立，則恒成立，構造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，則恒成立，即恒成立，可得，故D正確；所以選BCD．
12．三【解析】，所以除以7余6，故答案為：三．
13．7【解析】由題意得第次著地時經(jīng)過的總路程為
，
，所以在第7次著地時它所經(jīng)過的總路程會超過．所以答案為：7
14．【解析】，所以切線的斜率為2，切線方程為：．原不等式可化簡為，令，由第一問可知恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
恒成立．解得：．答案為：．（第一空2分，第二空3分）
【評分細則】
填空題按原評分細則閱卷
15．A．解析：（1）設“選到2號盒子”，“摸到的兩個球都是白球”
則
（2）設“先選到第號盒子”“摸出白球”，
則．，，．
即這個球來自2號盒子的概率為．
【評分細則】
15．A．解析：（1）設“選到2號盒子”，“摸到的兩個球都是白球”
或者寫了在選到2號盒子的條件下摸出的兩個球都是白球的概率，只有，
（3）設“先選到第號盒子”“摸出白球”，
．，，．
即這個球來自2號盒子的概率為
15B．解析：（1）利用隔板法，共有；
（2）以甲同學共班情況分類：
當甲和另一名男生在同一個班時，共有種，
當甲和另一名女生在同一個班時，共有種；
所以分法總數(shù)為種．
16．解：（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為．
因為，所以，
化簡得，所以
所以數(shù)列的通項公式為
（2）
整理得
所以
整理得
【評分細則】
本題也可以分奇偶討論，10分及之前部分評分標準相同，結果是：
17．解析：（1）
當時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當時，或．
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
當時，或．
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
綜上所述：
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
當時，在上單調(diào)遞增．
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）設切點為，
則切線方程為
代入原點可得，
整理可得，
由題意可知方程有兩個根，并且不是方程的根，
當時，方程化簡為：，
令，
或且．
所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
由圖象可知或，解得：或．
【評分細則】
17題按照原評分細則閱卷．
18．解析：（1）對于數(shù)列，當時，，解得；
當時，，
與原式作差可得，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以
對于數(shù)列，當時，，解得
時，；
與原式作差可得．．
因為，所以
所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以
（2）由（1）可知，所以
所以
兩式作差可得，所以
所以恒成立．化簡得．
當時，恒成立，
當時，恒成立，．
綜上可得：．
【評分細則】
18題按照原評分細則閱卷．
19．解析：（1）記，則
顯然，當時，關于的函數(shù)單調(diào)遞減，
．
（2）令，則，恒成立，在遞增，在遞增在遞增，即
（4）由題，，則，則
令，
易得在上遞增，在上遞減，從而
即當且僅當時取等號）
即
得證．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
C
D
C
B
A
ACD
AD
BCD

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