河北省石家莊市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份河北省石家莊市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共19頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為，且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)110分的考生人數(shù)約為( )
A.2000B.3000C.4000D.5000
3．已知曲線，則“”是“曲線C的焦點(diǎn)在x軸上”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則( )
A.B.C.D.
5．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為( )
A.-1B.-2C.2D.1
6．在平行四邊形中，，，則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知，且，則( )
A.B.C.D.
8．已知正方體的棱長(zhǎng)為，連接正方體各個(gè)面的中心得到一個(gè)八面體，以正方體的中心O為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球O的球面與八面體各面的交線的總長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.數(shù)列有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)B.使的項(xiàng)共有5項(xiàng)
C.滿足的n的值共有5個(gè)D.使取得最小值的n為4
10．設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有( )
A.若，則
B.對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
C.對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
D.在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為
11．已知，（參考數(shù)據(jù)），則下列說(shuō)法正確的是( )
A.是周期為的周期函數(shù)
B.在上單調(diào)遞增
C.在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)
D.設(shè)，則在上共有5個(gè)零點(diǎn)
三、填空題
12．各位數(shù)字之和為4的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.
13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.斜率為的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，交C于點(diǎn)A，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)B（A，B在x軸的兩側(cè)），若，則拋物線C的方程為_(kāi)___________.
14．若實(shí)數(shù)，且，，則的取值范圍是____________.
四、解答題
15．某校舉辦乒乓球與羽毛球比賽，要求每個(gè)學(xué)生只能報(bào)名參加其中一項(xiàng).從報(bào)名參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)選取男生、女生各75人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生選擇乒乓球還是羽毛球是否與性別有關(guān)聯(lián).
（2）從調(diào)查的女生中，按組別采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取15人.若從這15人中隨機(jī)抽2人，記X為抽到乒乓球組的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：，.
16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，，.
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若，，，求的面積.
17．已知數(shù)列滿足，
（1）寫出，，；
（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖①.
（1）當(dāng)點(diǎn)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，將平面xOy沿x軸折疊如圖②，使平面平面，求異面直線與所成角的余弦值；
（2）若過(guò)作，垂足為H.
（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（ii）求的最大值.
19．設(shè)集合M是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)任意，定義，稱為集合M的一個(gè)度量，稱集合M為一個(gè)對(duì)于度量而言的度量空間，該度量空間記為.
定義1：若是度量空間上的一個(gè)函數(shù)，且存在，使得對(duì)任意，均有：，則稱f是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.
定義2：記無(wú)窮數(shù)列，，，…為，若是度量空間上的數(shù)列，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有，則稱是度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
（1）設(shè)，證明：f是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；
（2）已知是度量空間上的一個(gè)壓縮函數(shù)，且，定義，，證明：為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
參考答案
1．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>，所以.
故選：A.
2．答案：D
解析：由題易知均值，
由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，
則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)110分的考生人數(shù)約為.
故選：D.
3．答案：A
解析：當(dāng)時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故充分性成立；
當(dāng)時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
故由曲線C的焦點(diǎn)在x軸上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲線C的焦點(diǎn)在x軸上”的充分不必要條件.
故選：A.
4．答案：C
解析：因?yàn)閳A與圓交于A，B兩點(diǎn)，
則直線的方程即為兩圓相減，可得，
且圓，半徑為，
到直線的距離，
所以.
故選：C.
5．答案：B
解析：由題意知，則，
即，所以，
即，所以函數(shù)的周期為4，
所以，
故選：B.
6．答案：A
解析：設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，
由題意，所以，
所以，即，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即.
故選：A.
7．答案：D
解析：因?yàn)?，且?br>所以，
由題意知，
所以，所以，
所以，
則.
故選：D.
8．答案：B
解析：如圖所示，M為的中點(diǎn)，O為正方體的中心，過(guò)O作的垂線交于點(diǎn)N，正八面體的棱長(zhǎng)為2，即，故，，，則，
設(shè)球與正八面體的截面圓半徑為r，如圖所示，則，
由于，，所以，則，平面與球O的交線所對(duì)應(yīng)的圓心角恰為，則該球O的球面與八面體各面的交線的總長(zhǎng)為.
故選：B.
9．答案：ABD
解析：因?yàn)?，所以?br>令，即，解得，
又，所以當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)或時(shí)，
令，解得，
所以，，
所以數(shù)列有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)，故A正確；
由，則，又，所以或或或或，
所以使的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故B正確；
要使，又，所以、、中有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，
所以或或，故滿足的n的值共有3個(gè)，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，
所以當(dāng)n為4時(shí)取得最小值，故D正確.
故選：ABD.
10．答案：BC
解析：對(duì)A：由，故，
故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：設(shè)、，
則
，
，
故，故B正確；
對(duì)C：設(shè)、，
有，則，
，故，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，則有，
集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，半徑為2的圓，
故，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．答案：BCD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?br>所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?br>，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>令，得到，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)，
所以，不是變號(hào)零點(diǎn)，即，不是的極值點(diǎn)，
由，即，
又，解得或或或，
由圖象知，每一個(gè)解都是變號(hào)零點(diǎn)，所以在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?br>所以的周期為，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，由得到，，，
列表如下，
又，，，
則在上的大致圖象如圖所示，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)無(wú)解，
由，則，又，則，
又由，，
故只需再畫出在圖象即可，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，
作出的圖象，注意到，
所以時(shí)，的圖象在圖象下方，
由圖可知與在上有5個(gè)交點(diǎn)，
所以在上共有5個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，
故選：BCD.
12．答案：10
解析：因?yàn)榛蚧蚧颍?br>所以各位數(shù)字之和為4的三位數(shù)有，，，，，，，，，共10個(gè).
故答案為：10.
13．答案：
解析：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
依題意直線l的方程為，
令可得，即，
由，消去y得，解得或，
又A，B在x軸的兩側(cè)，所以，則，所以，
所以，解得或（舍去），
所以拋物線C的方程為.
故答案為：.
14．答案：
解析：因?yàn)?，，故，?br>由得，解得，
故.
故答案為：.
15．答案：（1）與性別有關(guān)聯(lián)，理由見(jiàn)解析
（2）
解析：（1），
故可以在的情況下，得到該校學(xué)生選擇乒乓球還是羽毛球與性別有關(guān)聯(lián)；
（2）女生中，乒乓球組與羽毛球組選取人數(shù)比例為，
故選取的15人中，選取乒乓球組的有人，選取羽毛球組的有人，
故X的可能取值為0，1，2，
，，，
故X的分布列為
數(shù)學(xué)期望為.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，有最大值；
（2）因?yàn)?，所以，所以，?br>因?yàn)椋裕?br>由正弦定理得：，
所以，，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
由余弦定理有：，
即，所以，
所以.
17．答案：（1），，
（2）證明見(jiàn)解析
（3）
解析：（1）由，
可得；；；
（2）證明：由題可得，
則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（3）由（2）可得，即，
，
，
前n項(xiàng)和，
，
兩式相減可得，
化簡(jiǎn)可得.
18．答案：（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析
（ii）
解析：（1）由橢圓定義可知，，
所以的周長(zhǎng)為，所以，
又因?yàn)闄E圓離心率為，
所以，所以，
又，
所以橢圓的方程：，
所以橢圓的焦點(diǎn)為，，
當(dāng)點(diǎn)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，，
所以直線l的方程為：，
由解得，，
由對(duì)稱性知，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸的正半軸所在直線為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
設(shè)直線與所成角為，
則，
異面直線與所成角的余弦值為.
（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，，，
則直線的方程為，則，
由得，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三點(diǎn)共線，得，
所以，
直線的方程為，
由對(duì)稱性可知，如果直線過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，
令得，
，
故直線過(guò)定點(diǎn).
（ii）由題意知點(diǎn)，點(diǎn)H的軌跡為以，為直徑的圓（除，Q外），
圓心為，半徑為，故.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以，
，所以在上的值域?yàn)椋?br>所以f是從到的函數(shù)，
另一方面，我們證明存在，對(duì)任意，都有，
取，則對(duì)任意，不妨設(shè)，分兩種情形討論：
①當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即?br>所以，即，
②當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即?br>所以，即，
綜上所述，對(duì)任意，都有，
所以f是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.
（2）證明：因?yàn)槭嵌攘靠臻g上的一個(gè)壓縮函數(shù)，
所以必存在，使得對(duì)任意，，
即，
因?yàn)?，?br>所以，
由絕對(duì)值三角不等式可知：
對(duì)任意，有
，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，所以，
所以對(duì)任意，對(duì)任意正整數(shù)N，當(dāng)時(shí)，均有，
②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，取一個(gè)正整數(shù)，
則，即，
則當(dāng)時(shí)，有，
綜上所述，對(duì)任意，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)任意正整數(shù)N，當(dāng)時(shí)，均有，
故為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
性別
比賽項(xiàng)目
合計(jì)
乒乓球組
羽毛球組
男生
50
25
75
女生
35
40
75
合計(jì)
85
65
150
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
+
0
-
0
+
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
X
0
1
2
P