浙江省寧波市慈溪市文錦書院2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析即可，軸對(duì)稱圖形：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．
本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C選項(xiàng)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
D選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：C．
2. 下列式子中是最簡二次根式的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
【詳解】解：A．不屬于最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．屬于最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
C．不屬于最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．不屬于最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
3. 用反證法證明命題“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”，應(yīng)首先假設(shè)這個(gè)四邊形中（）
A. 沒有一個(gè)角是銳角
B. 每一個(gè)角都是鈍角或直角
C. 至少有一個(gè)角是鈍角或直角
D. 所有角都是銳角
【答案】D
【解析】
【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立．
【詳解】用反證法證明“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”時(shí)第一步應(yīng)假設(shè)：四邊形中所有角都是銳角．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查反證法和四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握反證法和四邊形內(nèi)角和.
4. 一元二次方程的根的情況為（）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】先計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)判別式的值就可以判斷根的情況．
【詳解】解：∵在方程中，，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；（3）?方程沒有實(shí)數(shù)根，掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5. 若一組數(shù)據(jù)1，2，3，x，5，6的眾數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為( )
A. 3B. 3.5C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)1、2、3、x、5、6的眾數(shù)為5，
∴，
則數(shù)據(jù)重新排列為1、2、3、5、5、6，
∴中位數(shù)為，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
6. 下列命題是真命題的是（）
A. 一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
C. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形
D. 對(duì)角線垂直的四邊形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定解答即可．
【詳解】解：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是假命題；
B、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是真命題；
C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，是假命題；
D、對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，是假命題；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查命題的真假，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形、菱形、矩形的判定定理．
7. 如圖，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，則的周長為（）

A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識(shí)．由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證是的中位線，得出的長，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，
∴，，，
∵，
∴，是的中位線，
∴，
∴的周長．
故選：D．
8. 已知，且，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，
先求出的值，再根據(jù)x的取值范圍開平方解答即可
【詳解】解：，
，
，
故選：B
9. 為執(zhí)行國家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為9元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格×（1－降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是，第二次降價(jià)后的價(jià)格是，據(jù)此即可列方程求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程即可．
10. 如圖，在矩形中，O為的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作的垂線，分別交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，G是的中點(diǎn)，且，有下列結(jié)論：①；②；③連結(jié)，，四邊形為菱形；④其中正確的是（）
A. ②③B. ③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】由G是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，得到，故②錯(cuò)誤，由，得到，由，得到，設(shè)，則，，在中，引用勾股定理，求出，進(jìn)而得到，在中，求出、，即可判斷①正確，由，得到，由垂直平分線的性質(zhì)得到，，即可判斷③正確，分別計(jì)算，，即可判斷④正確，
本題考查了矩形的性質(zhì)，含角的直角三角形，菱形的判定，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：用含的代數(shù)式，表示出各個(gè)線段的長．
【詳解】解：連接，如圖，
∵G是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，
∴，故②錯(cuò)誤，
∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，
∴，，
∵矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，故①正確，
∵，，，
∴，
∴，
∵O為的中點(diǎn)，，
∴，，即：，
∴四邊形為菱形，故③正確，
，，
∴，故④正確，
綜上所述：①③④正確，
故選：D．
二、填空題
11. 若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：二次根式里的被開方數(shù)不小于0，依此即可解答．
【詳解】解：由題可知：，
解得：，
故答案為：．
12. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)內(nèi)角和公式以及多邊形的外角和為即可列出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，則該多邊形的內(nèi)角和為，
依題意得：，
解得：，
這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：6．
13. 已知一組數(shù)據(jù)，，，…，．的方差是1.5，則另一組數(shù)據(jù)，，，…，的方差是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算即可．
本題考查了方差的計(jì)算，熟練掌握方差的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，，，…，的平均數(shù)為，則，，，…，的平均數(shù)為，
∵數(shù)據(jù)，，，…，方差為1.5，
∴，
∴
．
14. 已知，是方程的兩實(shí)根，則__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可求解．
【詳解】解：∵，是方程的兩實(shí)根，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 在中，已知兩邊，，第三邊為．若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是________．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)根的判別式求出c的值，分為兩種情況，一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是等腰三角形，根據(jù)面積公式求出即可．
【詳解】∵關(guān)于x的方程x2+（c-4）x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（c-4）2-4×1×=0，
解得：c=5或3，
當(dāng)c=5時(shí)，∵a=3，b=4，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面積是×3×4=6；
當(dāng)c=3時(shí)，如圖，
，
AB=BC=3，過B作BD⊥AC于D，
則AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD=，
∴△ABC的面積是
×4×=2，
故答案是：6或2．
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出三角形ABC的高，題目比較好，用了分類討論思想．
16. 如圖，在中，是對(duì)角線，，E是中點(diǎn)，平分，連接，．若，，，則的長為_______．
【答案】##3.5
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長，交于點(diǎn)H，由“”可證，可得，，由三角形中位線定理可求解．
【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)H，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴．
故答案為：．
三、解答題
17. 計(jì)算與解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，即可求解，
（2）應(yīng)用公式法解一元二次方程，即可求解，
本題考查了，二次根式的混合運(yùn)算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和公式法解一元二次方程．
【小問1詳解】
解：
，
【小問2詳解】
解：
，，，
，．
18. 如圖分別是4×5的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫出下列圖形，所畫的圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)四邊形ABCD，使得四邊形ABCD為軸對(duì)稱圖形；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)四邊形ABEF，使得四邊形ABEF為中心對(duì)稱圖形且不是軸對(duì)稱圖形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】
【分析】（1）作點(diǎn)A、B關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)得到等腰梯形ABCD；
（2）把AB平移得到平行四邊形ABEF．
【詳解】（1）如圖①，如圖，四邊形ABCD為所作；
（2）如圖②，四邊形ABEF為所作．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對(duì)稱變換．
19. 某學(xué)校為了了解本校1200名學(xué)生的課外閱讀的情況，現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了調(diào)整，井繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②，根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為______，圖①中的值為______；
（Ⅱ）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校一周的課外閱讀時(shí)間大于的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（Ⅰ）40；25；（Ⅱ）眾數(shù)為5；中位數(shù)是6；平均數(shù)是5.8；（Ⅲ）估計(jì)該校一周的課外閱讀時(shí)間大于的學(xué)生人數(shù)約為360人．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根據(jù)各組頻數(shù)之和等于總數(shù)即可求出接受調(diào)查人數(shù)，用第三組頻數(shù)除以總數(shù)得出百分比即可求出m；
（Ⅱ）根據(jù)“眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)”、“數(shù)據(jù)排序后，第20和21個(gè)數(shù)的平均數(shù)”、“加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式”計(jì)算即可；
（Ⅲ）由扇形圖得課外閱讀時(shí)間大于的占比20%+10%=30%，用1200×30%即可求解．
【詳解】解：（Ⅰ）6+12+10+8+4=40；，∴m=25；
（Ⅱ）∵這組樣本數(shù)據(jù)中，5出現(xiàn)了12次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5；
∵將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)均為6，則，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6；
由條形統(tǒng)計(jì)圖可得，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5.8；
（Ⅲ）（人）
答：估計(jì)該校一周的課外閱讀時(shí)間大于的學(xué)生人數(shù)約為360人．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體等知識(shí)．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且BE=FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AF∥EC．AF=EC，然后根據(jù)平行四邊形的定義即可證得．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出AF=EC是解決問題的關(guān)鍵．
21. 數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：，它是無限不循環(huán)小數(shù)，也叫無理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰能說出它的小數(shù)部分是多少”，王英舉手回答：它的小數(shù)部分我們無法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)王英真聰明，肯定了她的說法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)王英的說法解答下列問題：
（1）請(qǐng)表示出的小數(shù)部分；
（2）若a為的小數(shù)部分，b為的整數(shù)部分，求的值；
（3）已知，其中x是一個(gè)正整數(shù)，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）117
【解析】
【分析】（1）估算出的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）估算出和的大致范圍，然后可求得、的值，然后再求代數(shù)式的值即可．
（3）算出的大致范圍，然后表示出x和y，最后進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問1詳解】
，
，
的小數(shù)部分是；
【小問2詳解】
，
，
∴，
，
，
．
；
【小問3詳解】
∵
∴
∴
∵x是一個(gè)正整數(shù)，，
∴x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是估算無理數(shù)的大小，正確估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．
22. 在“五一”期間，某水果超市調(diào)查兩種新疆干棗的銷售情況，下面是調(diào)查員的對(duì)話：
小王：干棗的進(jìn)價(jià)是每千克8元，售價(jià)16元，干棗的進(jìn)價(jià)是每千克14元，售價(jià)20元．
小張：當(dāng)干棗銷售價(jià)每千克20元時(shí)，每天可售出30千克，若每千克降低1元，平均每天可多售出10千克．
根據(jù)他們的對(duì)話，解決下面所給的問題：
（1）該水果店第一次用2500元直接購進(jìn)這兩種干棗共200千克，問這兩種干棗各購進(jìn)多少千克？若全部售出，共獲得多少利潤？
（2）為了給顧客優(yōu)惠，將銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，才能使干棗平均每天的銷售利潤為200元？
【答案】（1）50千克，150千克；利潤1300元
（2）將銷售價(jià)定為每千克18元時(shí)，能使干棗平均每天的銷售利潤為200元
【解析】
【分析】（1）設(shè)購進(jìn)干棗千克，購進(jìn)干棗千克，根據(jù)“水果店第一次用2500元直接購進(jìn)這兩種干棗共200千克”，列出二元一次方程組，解方程組即可得到答案；
（2）設(shè)干棗的售價(jià)定為每千克元，則每千克的銷售利潤為元，平均每天可售出千克，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)購進(jìn)干棗千克，購進(jìn)干棗千克，
根據(jù)題意可得：
，
解得：，
購進(jìn)干棗50千克，購進(jìn)干棗150千克，
利潤為：（元）；
【小問2詳解】
解：設(shè)干棗的售價(jià)定為每千克元，則每千克的銷售利潤為元，
平均每天可售出千克，
根據(jù)題意得：
，
整理得：，
解得：，
∵要給顧客優(yōu)惠，
∴不符合題意舍去，
∴，
答：將銷售價(jià)定為每千克18元時(shí)，能使干棗B平均每天的銷售利潤為200元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出二元一次方程組和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23. 問題提出
（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點(diǎn)D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；
問題探究
（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點(diǎn)O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；
解決問題
（3）如圖③，劉老伯有一個(gè)形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場(chǎng)，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點(diǎn)P，使得過B、P兩點(diǎn)修一道筆直的墻（墻的寬度不計(jì)），將這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線BP的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）圖見解析，；（2）S△AOM＝S△BON，理由見解析；（3）存在，
【解析】
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，AD將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一般，可求出AD的長度；
（2）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，再減去相等的部分，就可以得出△AOM與△BON的面積相等；
（3）連接AB，過點(diǎn)O作AB的平行線，交CA的延長線于點(diǎn)F，連接BF，交OA于點(diǎn)G，則△OBG的面積等于△AFG的面積，則四邊形OACB的面積轉(zhuǎn)化為△BCF的面積，取CF的中點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出直線BP的表達(dá)式．
【詳解】（1）如圖①，取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則線段AD即為所求．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝．
（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：
由圖可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，
如圖②，過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，
∴MD∥NE，∠MDE＝90°，
又∵M(jìn)N∥DE，
∴四邊形MDEN是矩形，
∴MD＝NE，
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴S△ABM＝S△ABN，
∴S△AOM＝S△BON．
（3）存在，直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．
如圖③，連接AB，過點(diǎn)O作OF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F，連接BF，交OA于點(diǎn)G，
由（2）的結(jié)論可知，S△OBG＝S△AFG，
∴S四邊形OACB＝S△BCF，
取CF的中點(diǎn)P，作直線BP，直線BP即為所求．
∵A(4,0)，B(0,4)，C(6,6)，
∴線段AB所在直線表達(dá)式為：y＝﹣x+4，
線段AC所在直線的表達(dá)式為：y＝3x﹣12，
∵OF∥AB，且直線OF過原點(diǎn)，
∴直線OF的表達(dá)式為：y＝﹣x，
聯(lián)立，解得，
∴F（3，﹣3），
∵點(diǎn)P是CF的中點(diǎn)，
∴P，
∴直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角形一邊上的中線的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等內(nèi)容，作出輔助線并進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化是解決本題第三問的關(guān)鍵．
24. 在矩形中，，O為中點(diǎn)，平分，E、F分別在邊、上，連結(jié)，且經(jīng)過點(diǎn)O．
（1）如圖1，求證四邊形為菱形，并求長；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、O分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自停止，點(diǎn)Q自停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，
①已知點(diǎn)P的速度為每秒，點(diǎn)Q的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：，），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)畫出符合題意的圖形，并求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．
【答案】（1）證明見解析；AF=5cm
（2）①；②圖形見解析；a+b=12
【解析】
【分析】（1）利用SAS證明△AOE≌△COF，得OE= OF，可知四邊形AFCE是平行四邊形，再說明AF=CF即可證明是菱形，設(shè)菱形的邊長AF= CF= xcm，則BF= (8- x)cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42 + (8-x)2=x2，解方程即可；
（2）①通過判斷可知因此只有當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在ED上，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)QA= PC，從而得出答案；
②由題意得：四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P，Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分三種情況分別畫出圖形，從而解決問題．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥ BC，
∴∠CAD= ∠ACB，∠AEF= ∠CFE，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴OA = OC，
∴△AOE≌△COF (AAS)，
∴OЕ = OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC平分∠EАF，
∴∠CАD=∠CАF，
∵∠CAD= ∠ACB，
∴∠CАF =∠ACB，
∴AF=CF，
∴四邊形AFCE為菱形；
設(shè)菱形的邊長AF= CF = xcm，則BF=(8- x)сm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得42 + (8-x)2=x2
解得x =5，
∴AF= 5；
【小問2詳解】
解：①∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，AF=5，CD=4
∴當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A，C， P，Q的四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形，
同理，P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上也不能構(gòu)成平行四邊形，
因此只有當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在ED上，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC= QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC = 5tcm，QA=CD+AD-4t=12-4t，
即QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得，
∴當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形時(shí)，t的值為；
②由題意得：四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P，Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分三種情況：
Ⅰ：如圖，
當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CE上，AP= CQ，即a= 12- b，
∴a+b= 12；
Ⅱ：如圖，
當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ = CP，即12- b= a，
∴a+b= 12；
Ⅲ：如圖，
當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP = CQ，即12-a=b，
∴a+b= 12；
綜上，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系為a+b= 12(ab≠0)．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，化動(dòng)為靜，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．

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