2024年吉林省吉林市中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效．
一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）
1. －3的絕對(duì)值是（）
A. 3B. －3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用絕對(duì)值的意義解答即可．
【詳解】解：|-3|=3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，正確利用絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．
2. 我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，如圖為部分“卦”的符號(hào)，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)識(shí)別即可．
【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形完全重合，
所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形完全重合，
所以是中心對(duì)稱圖形．
故選B．
3. 下列命題：①對(duì)頂角相等；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③同角的余角相等；④垂線段最短．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)余角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，平行線的判定，垂線段的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷后即可求解．
【詳解】解：①對(duì)頂角相等，正確；
②被截線不平行則同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，故本小題錯(cuò)誤；
③同角的余角相等，正確；
④垂線段最短，正確；
故選：C．
4. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則m與n的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)比較大小和一元二次方程的根的判別式當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
根據(jù)判別式的意義得到，然后來求實(shí)數(shù)，然后比較大小即可解答．
【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
，
∵，
∴，
故選：A．
5. 如圖，，是的弦，，是的半徑，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接，若，則的度數(shù)可能是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理與三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得的范圍是解題的關(guān)鍵．利用圓周角定理求得的度數(shù)，然后利用三角形外角性質(zhì)及等邊對(duì)等角求得的范圍，繼而得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
，
，
點(diǎn)為上任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），
，
，
，
∴的度數(shù)可能是．
故選：C．
6. 某數(shù)學(xué)興趣小組借助數(shù)學(xué)軟件探究函數(shù)的圖象，輸入了一組a，b的值，得到了它的函數(shù)圖象如圖所示，借助學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以推斷輸入的a，b的值滿足（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)．?dāng)?shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
令，可得或，由圖象可知，，當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而可得，然后作答即可．
【詳解】解：令，
解得，或，
由圖象可知，，
當(dāng)時(shí)，，，
∴，
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可求解．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法和公式法因式分解的方法是解答的關(guān)鍵．
8. 若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于0，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，
解得：．
故答案為：．
9. 2023年12月31日晚，“新時(shí)代新江城”吉林市2024迎新年大型煙花秀精彩上演，約有41萬人前往現(xiàn)場(chǎng)觀看，在線觀看更是達(dá)到了萬人次．?dāng)?shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：萬，
故答案為：．
10. 若邊長(zhǎng)為正多邊形的一個(gè)外角是，則該正多邊形的周長(zhǎng)為______．
【答案】25
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的外角，根據(jù)任何多邊形的外角和都是，利用除以外角的度數(shù)就可以求出外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而可求得周長(zhǎng)．
【詳解】∵邊長(zhǎng)為的正多邊形的一個(gè)外角是，
則該正多邊形的邊數(shù)為：，
∴其周長(zhǎng)為．
故答案為：25．
11. 如圖，在矩形中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F；③畫射線，交于點(diǎn)G，則______．
【答案】135
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，作圖-基本作圖，三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．根據(jù)作圖依據(jù)可得是的角平分線，由矩形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，可得即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)作圖依據(jù)可得是的角平分線，
在矩形中，，
，
，
故答案為：135．
12. 小瑩計(jì)劃購(gòu)買一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，有以下6種不同的尺寸可供選擇，直徑（單位：cm）分別是：34，，37，，40，42．如圖是小瑩家衣帽間的平面示意圖，掃地機(jī)放置在該房間的角落（鞋柜、衣柜與地面均無縫隙），在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能從底座脫離后打掃全屋地面，小瑩可選擇的掃地機(jī)尺寸最多有______種．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．先建立直角三角形，利用勾股定理解決實(shí)際問題．
【詳解】解：如圖過點(diǎn)A、B分別作墻的垂線，交于點(diǎn)C，
則，，
在中，，即
∵掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，
∴掃地機(jī)的直徑不小于長(zhǎng)，即最小時(shí)為，
小瑩可選擇的掃地機(jī)尺寸最多有：34，，共2種，
故答案為：2．
13. 如圖是浩洋老師辦公桌上的2024年臺(tái)歷，臺(tái)歷上顯示的是2024年1月的月歷，通過此月歷，可以推算出2025年1月1日是星期______．
【答案】三
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究；先求2024年1月1日到2025年1月1日經(jīng)過了多少天，再求這些天里有幾周，還余幾天，再根據(jù)余數(shù)判斷，即可求解．
【詳解】解：依題意，2024年1月1日到2025年1月1日經(jīng)過了天，
2024年1月1日是星期一
∴2025年1月1日是星期三
故答案為：三．
14. 如圖，平分，平分，平分，點(diǎn)O為射線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓．若，，則圖中陰影部分的面積是______（結(jié)果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】該題主要考查了扇形面積計(jì)算，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得出．
證明是等邊三角形，過O作，根據(jù)得出，從而得出即可解答；
【詳解】如圖，連接，
根據(jù)題意可得：，，，
，
是等邊三角形，
過O作，
，
，
．
故答案為：．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
當(dāng)時(shí)，原式．
16. 舒蘭大米種植區(qū)域處于北緯43度世界黃金水稻帶．舒蘭大米具有營(yíng)養(yǎng)豐富、綿軟柔糯等特點(diǎn)．某校食堂計(jì)劃采購(gòu)甲、乙兩種舒蘭大米，若購(gòu)進(jìn)甲種大米500千克和乙種大米300千克需花費(fèi)11000元；若購(gòu)進(jìn)甲種大米200千克和乙種大米600千克需花費(fèi)9200元．求每千克甲種大米和每千克乙種大米的價(jià)格．
【答案】每千克甲種大米價(jià)格是16元，每千克乙種大米價(jià)格是10元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)購(gòu)進(jìn)甲種大米500千克和乙種大米300千克需花費(fèi)11000元；若購(gòu)進(jìn)甲種大米200千克和乙種大米600千克需花費(fèi)9200元各列一個(gè)方程，組成方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)每千克甲種大米價(jià)格是x元，每千克乙種大米價(jià)格是y元．
，
解得
答：每千克甲種大米價(jià)格是16元，每千克乙種大米價(jià)格是10元．
17. 以下內(nèi)容節(jié)選自人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)．請(qǐng)說明內(nèi)容中的尺規(guī)作圖的原理，
即求證．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題考查作一個(gè)角等于已知角，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)定理證明即可．
【詳解】證明：由作圖得，，
在和中
，
∴，
∴．
18. 如圖，在左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)重物，在右邊托盤B（可左右移動(dòng)）中放置一定質(zhì)量的砝碼，可使得儀器左右平衡．托盤B中的砝碼質(zhì)量m隨著托盤B與點(diǎn)O的距離d變化而變化，已知m與d是反比例函數(shù)關(guān)系，下面是它們的部分對(duì)應(yīng)值：
（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出m關(guān)于d的函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)砝碼質(zhì)量為12克時(shí)，求托盤B與點(diǎn)O的距離．
【答案】（1）
（2）厘米
【解析】
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，此題是跨學(xué)科的綜合性問題，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．
（1）觀察可得：m，d的乘積為定值150，故m，d之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）把代入解析式求解，可得答案；
【小問1詳解】
解：設(shè)m關(guān)于d的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
解得，
∴m關(guān)于d的函數(shù)解析式為．
【小問2詳解】
把代入得，解得，
答：托盤B與點(diǎn)O的距離為厘米．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 在2023年高考期間，吉林市委“愛在江城溫馨高考”的暖心舉措溫暖著江城每一位考生和家長(zhǎng)．其中吉林市第一中學(xué)?？键c(diǎn)設(shè)置了家長(zhǎng)休息區(qū)，共搭建了121個(gè)遮陽篷．圖①是一個(gè)遮陽篷的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，長(zhǎng)為m，太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到m）．
（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】m
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，直接利用銳角的正切的含義求解即可．
【詳解】解：在中，，，
∵，
∴
答：的長(zhǎng)約為m．
20. 游神民俗文化活動(dòng)，主要在中國(guó)的閩臺(tái)地區(qū)流行，是一項(xiàng)流傳了數(shù)百年的習(xí)俗，在甲辰龍年春節(jié)爆火出圈，無數(shù)網(wǎng)友對(duì)游神前的擲筊杯儀式感到好奇．?dāng)S筊杯是民間一種問卜的方式，每次將兩個(gè)筊杯擲向地面，根據(jù)筊杯落地后的狀態(tài)來推測(cè)行事是否順利．每個(gè)筊杯都有一個(gè)平面，一個(gè)凸面．筊杯落地的結(jié)果如圖所示，如果是兩個(gè)平面稱之為笑杯，表示行事狀況不明；如果是兩個(gè)凸面稱之為陰杯，表示不宜行事；如果是一個(gè)平面和一個(gè)凸面稱之為圣杯，表示行事會(huì)順利．假設(shè)每個(gè)筊杯形狀大小相同，擲筊杯落地后平面朝上和凸面朝上的可能性也相同．

（1）笑笑同學(xué)想要計(jì)算將兩個(gè)筊杯連續(xù)擲兩次都得到圣杯的概率，她采用面樹狀圖的方法，請(qǐng)將她的求解過程補(bǔ)充完整．
解：根據(jù)題意，可以畫出如下的樹狀圖：

（2）在中國(guó)臺(tái)灣電影《周處除三害》中有一段場(chǎng)景，主角陳桂林用簽杯問卜，將兩個(gè)筊杯連續(xù)擲九次．請(qǐng)問連續(xù)擲筊杯九次都出現(xiàn)圣杯的概率是______．
【答案】（1），過程見解析
（2）
【解析】
【分析】該題主要考查了列樹狀圖求解概率，解題的關(guān)鍵是正確列出樹狀圖．
（1）列表畫出樹狀圖即可求解；
（2）找到規(guī)律，即可解答；
【小問1詳解】
根據(jù)題意，可以畫出如下的樹狀圖：
共有16種情況，其中兩次都得到圣杯的有4種情況，
故將兩個(gè)筊杯連續(xù)擲兩次都得到圣杯的概率；
【小問2詳解】
根據(jù)題意，可得
擲筊杯一次，共有4種情況，其中得到圣杯的有2種情況，
故擲筊杯一次都出現(xiàn)圣杯的概率；
連續(xù)擲筊杯兩次，共有16種情況，其中兩次都得到圣杯的有4種情況，
連續(xù)擲筊杯兩次都出現(xiàn)圣杯的概率；
連續(xù)擲筊杯三次，共有64種情況，其中三次都得到圣杯的有8種情況，
連續(xù)擲筊杯三次都出現(xiàn)圣杯的概率是；
故根據(jù)規(guī)律可得連續(xù)擲筊杯n次，共有種情況，其中n次都得到圣杯的有種情況，
連續(xù)擲筊杯三次都出現(xiàn)圣杯的概率是；
故連續(xù)擲筊杯九次都出現(xiàn)圣杯的概率．
21. 圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫面法．

（1）在圖①中畫線段平分，且點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上．
（2）在圖②中畫線段，線段平分的面積．
（3）如圖③，點(diǎn)P，Q均在格點(diǎn)上，連接交于點(diǎn)M，連接，則的面積是______．
【答案】（1）見詳解（2）見詳解
（3）
【解析】
【分析】該題主要考查了復(fù)雜作圖，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作圖．
（1）連接即為所求；
（2）線段平分的面積，即畫出中邊上的中線即可；
（3）根據(jù)題意可得：，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，算出是直角三角形，根據(jù)面積計(jì)算公式即可解答；
【小問1詳解】
連接交于點(diǎn)，即為所求；
理由：，
，
，
，
即線段平分．
【小問2詳解】
如圖，即為所求；
理由：由（1）得，線段平分，，即是邊上的中線，即線段平分的面積．
【小問3詳解】
，
∴是直角三角形，
根據(jù)題意可得：，
，
，
，
故的面積．
22. 書籍是人類進(jìn)步的階梯，中國(guó)圖書出版已有十多年保持著持續(xù)、穩(wěn)定、快速發(fā)展的良性態(tài)勢(shì)．下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)和圖書總印數(shù)年變化率的情況．
說明：圖書總印數(shù)年變化率．
根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）計(jì)算2018年到2022年這五年國(guó)家圖書總印數(shù)的平均數(shù)．
（2）下列說法正確是______（下列選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求）．
A．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)變化率最低的是2022年，所以2022年國(guó)家圖書總印數(shù)最少．
B．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)出現(xiàn)增長(zhǎng)量最大的是2021年．
C．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)變化率的中位數(shù)是．
D．2013年到2017年國(guó)家圖書總印數(shù)的方差記為，2018年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)的方差記為，則．
【答案】（1）億
（2）B，C，D
【解析】
【分析】本題主要考查拆線統(tǒng)計(jì)圖，求平均數(shù)，中位數(shù)和方差等：
（1）根據(jù)平均數(shù)定義求解即可；
（2）結(jié)合拆線統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和方差的概念求解再進(jìn)行判斷即可
【小問1詳解】
解：2018年到2022年這五年國(guó)家圖書總印數(shù)為：100.1億，106億，103.7億，119.6億，114億，
所以，2018年到2022年這五年國(guó)家圖書總印數(shù)的平均數(shù)為：
（億），
即2018年到2022年這五年國(guó)家圖書總印數(shù)的平均數(shù)為108.68億；
【小問2詳解】
解：A．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)變化率最低的是2022年，但是2022年國(guó)家圖書總印數(shù)不是最少，位居第二．故選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；
B．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)出現(xiàn)增長(zhǎng)量最大的是2021年，故選項(xiàng)B說法正確；
C．2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)變化率從小到大排列為：，
2013年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)變化率的中位數(shù)，故選項(xiàng)C說法正確；
D．2013年到2017年國(guó)家圖書總印數(shù)平均數(shù)為：（億）
方差為；
由（1）知，2018年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)的平均數(shù)為：108.68億，
2018年到2022年國(guó)家圖書總印數(shù)的方差：
，
∴．
所以，正確的選項(xiàng)是：B，C，D
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 新能源汽車中的油電混合動(dòng)力汽車，兼具純電動(dòng)汽車和燃油汽車的優(yōu)勢(shì)．某油電混合動(dòng)力汽車先采用鋰電池工作，當(dāng)鋰電池電量耗完后自動(dòng)轉(zhuǎn)換為油路工作，汽車油路工作時(shí)不能為鋰電池進(jìn)行充電．該汽車一次充滿電，可以行駛最大里程是120千米；油電混合行駛時(shí)，滿電滿油可以行駛最大里程是720千米．如圖為該汽車儀表盤顯示電量（單位：％），儀表盤顯示油量（單位：％）與某次行駛里程x（單位：千米）之間的函數(shù)圖象．
（1）______，______．
（2）求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
【答案】（1）120，270
（2）
【解析】
【分析】該題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式；
（1）根據(jù)汽車一次充滿電，可以行駛最大里程是120千米可得，再根據(jù)滿電滿油可以行駛最大里程是720千米，故滿油可以行駛最大里程數(shù)，即可得油可以行駛最大里程，即可求解；
（2）用待定系數(shù)法求出解析式即可解答；
【小問1詳解】
根據(jù)汽車一次充滿電，可以行駛最大里程是120千米可得：，
滿電滿油可以行駛最大里程是720千米，故滿油可以行駛最大里程是千米，
故油可以行駛最大里程是千米，
故千米，
故答案為：120，270．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
將和代入得，
解得，
∴．
24. 【實(shí)踐操作】
操作一：如圖①，將正方形紙片對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片展開，得到折痕．
操作二：如圖②，將正方形紙片的左上角沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)E．
操作三：如圖③，將正方形紙片的右上角沿折疊再展開，折痕交于點(diǎn)M．
圖①圖②圖③
【問題解決】
（1）求證．
（2）______·
【拓展應(yīng)用】
（3）在圖③中延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則______．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)折疊性質(zhì)和正方形性質(zhì)即可證明；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，在中，用勾股定理可得出．設(shè)，用勾股定理可得出．即可得出，在中，即可求解．
（3）根據(jù)（2）可知，，即可求解；
【詳解】（1）如圖，連接，
根據(jù)翻折和正方形性質(zhì)得：，，
∴根據(jù)勾股定理，．
；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
設(shè)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，
則，
在中，，
即．
化簡(jiǎn)得．
同理，依題意，
根據(jù)勾股定理，，
，
設(shè)，
則，
在中，，
即，
化簡(jiǎn)得．
，
在中，．
（3）根據(jù)（2）可知，．
．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25. 如圖，四邊形是矩形，，，連接．點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著邊向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，以線段為邊作菱形．設(shè)菱形與重疊部分圖形的面積為y（），點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）______．
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在上時(shí)，______秒．
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
【答案】（1）30 （2）1
（3）
【解析】
【分析】該題主要考查了動(dòng)點(diǎn)幾何問題，矩形和菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠正確理解題意．
（1）根據(jù)，即可求解；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在上時(shí)，得出，在中，根據(jù)，即可求解；
（3）分為①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可；
【小問1詳解】
∵四邊形是矩形，
∴，
在中，
∵，
，
∴，
是平行四邊形，
∴，
∴．
【小問2詳解】
當(dāng)點(diǎn)F落在上時(shí)，
∵四邊形是菱形，，
∴，
由（1）知，
∴，
在中，，
即．
，
即檢驗(yàn)是分式方程的解，
．
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，無重疊部分；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)運(yùn)動(dòng)到矩形外部；
①當(dāng)時(shí)，由（1）知，，
∴，
，
，
∴；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知，，
∴，
，
，
∴；
③當(dāng)時(shí)，由（1）知，，
．
∴，
，
，，
，
綜上，．
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)．連接，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，通過求出相應(yīng)的點(diǎn)，再把相應(yīng)的點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，可以得到一條新的拋物線記為．
（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求拋物線的解析式．
（3）過點(diǎn)P作線段軸，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)線段與拋物線沒有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
②當(dāng)線段與拋物線和一共有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
（3）①或；②或
【解析】
【分析】該題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)與線段綜合問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
（1）把代入即可求解；
（2）得出均為點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求解；
（3）①分別畫圖求出臨界點(diǎn)，求解即可；
②分別畫圖求出臨界點(diǎn)，求解即可；
【小問1詳解】
解：把代入，
得，
解得，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
把代入，得．
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴均為點(diǎn)坐標(biāo)，
∴均為點(diǎn)的坐標(biāo)，
設(shè)拋物線的解析式為，
把代入得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為．
【小問3詳解】
設(shè)，
∵軸，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，，
∴，
①當(dāng)線段與拋物線沒有公共點(diǎn)時(shí)，
如圖：當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)小于時(shí)，線段與拋物線沒有公共點(diǎn)，
根據(jù)拋物線解析式可得頂點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在線段上，故，解得：或（舍）；
∴；
如圖：當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)大于時(shí)，線段與拋物線沒有公共點(diǎn)，
將代入拋物線的解析式中得：，
解得：或（舍去）；
∴；
綜上，m取值范圍為或；
②當(dāng)線段與拋物線和一共有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)P在之間時(shí)，線段與拋物線和一共有3個(gè)公共點(diǎn)，
如圖：當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)：
將代入拋物線的解析式中得：，
解得：（舍去）或；
如圖：當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)：
將代入拋物線的解析式中得：，
解得：；
故；
如圖：當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)，線段與拋物線和一共有3個(gè)公共點(diǎn)，
根據(jù)拋物線解析式可得頂點(diǎn)，
點(diǎn)在線段上，故，解得：或（舍）；
∴，
綜上，m的取值范圍為或．
作法：（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；
（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；
（3）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與第步中所畫的弧相交于點(diǎn)；
（4）過點(diǎn)畫射線，則．
托盤B與點(diǎn)O的距離d/厘米
5
10
15
20
25
托盤B中的砝碼質(zhì)量m/克
30
15
10
6

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