1．（4分）的值為（ ）
A．10B．5C．20D．4
2．（4分）函數(shù)f（x）＝sinx，則f′（0）的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）某地教育部門(mén)為了解小學(xué)生的視力狀況，要從該地甲、乙、丙、丁4所小學(xué)中隨機(jī)抽取2所進(jìn)行檢查，則甲小學(xué)被抽到的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）曲線y＝xex+2x﹣2在x＝0處的切線方程是（ ）
A．3x+y+2＝0B．2x+y+2＝0C．2x﹣y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0
5．（4分）現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是（ ）
A．20B．90C．120D．240
6．（4分）已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x0）＝4，則＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
7．（4分）（ax+y）5的展開(kāi)式中x2y3項(xiàng)的系數(shù)等于80，則實(shí)數(shù)a＝（ ）
A．2B．±2C．D．±
8．（4分）已知，則f（x）（ ）
A．在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增
B．（﹣∞，1）在上單調(diào)遞減
C．有極大值，無(wú)極小值
D．有極小值，無(wú)極大值
9．（4分）已知隨機(jī)變量X～B（6，p），Y～N（μ，σ2），且P（Y≥2）＝，E（X）＝E（Y），則p＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空題.（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將正確答案填在
10．（4分）已知某車(chē)間在上半年的六個(gè)月中，每個(gè)月的銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）與月份x（x＝1，2，3，4，5，6）滿足線性回歸方程y＝2x+28，則該車(chē)間上半年的總銷(xiāo)售額約為 萬(wàn)元．
11．（4分）某校進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在固定的位置投籃，投中的概率分別，，p，已知每個(gè)人投籃互不影響，若這三個(gè)同學(xué)各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則p＝ ．
12．（4分）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ．
13．（4分）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字，可以排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
14．（4分）甲袋中有4個(gè)白球、6個(gè)紅球，乙袋中有4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從兩個(gè)袋中隨機(jī)取一袋，再?gòu)拇舜须S機(jī)取一球，則取到紅球的概率為 ．
15．（4分）已知f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+2f（x）＞0，若f（2）＝0，則不等式x2f（x）＞0的解集是 ．
三、解答題.（本大題共5個(gè)小題，共60分）
16．（12分）已知．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù)．
17．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．
（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
18．（12分）已知函數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．
19．（12分）甲、乙兩位籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃，甲投籃一次命中的概率為，乙投籃一次命中的概率為，每人各投4個(gè)球，兩人投籃是否命中的概率互不影響．
（1）求甲至多命中1個(gè)球且乙至少命中1個(gè)球的概率；
（2）若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分?jǐn)?shù)η的分布列．
20．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程與直線x+4y﹣1＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)0＜m＜n，求證：．
參考答案與試題解析
一、選擇題.（本大題共9個(gè)小題，每小題4分，共36分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把它選出并填在答題卡上）
1．（4分）的值為（ ）
A．10B．5C．20D．4
【解答】解：＝．
故選：B．
2．（4分）函數(shù)f（x）＝sinx，則f′（0）的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sinx，
所以f′（x）＝csx
則f′（0）＝1．
故選：A．
3．（4分）某地教育部門(mén)為了解小學(xué)生的視力狀況，要從該地甲、乙、丙、丁4所小學(xué)中隨機(jī)抽取2所進(jìn)行檢查，則甲小學(xué)被抽到的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從該地甲、乙、丙、丁4所小學(xué)中隨機(jī)抽取2所進(jìn)行檢查，
基本事件總數(shù)n＝＝6．
甲小學(xué)被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝3．
∴甲小學(xué)被抽到的概率p＝．
故選：C．
4．（4分）曲線y＝xex+2x﹣2在x＝0處的切線方程是（ ）
A．3x+y+2＝0B．2x+y+2＝0C．2x﹣y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0
【解答】解：y＝xex+2x﹣2，則y'＝（x+1）ex+2，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，y'＝3，
所以切線方程為y﹣（﹣2）＝3x，即3x﹣y﹣2＝0．
故選：D．
5．（4分）現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是（ ）
A．20B．90C．120D．240
【解答】解：共有種不同的選派方案．
故選：C．
6．（4分）已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x0）＝4，則＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣8D．8
【解答】解：因?yàn)閒'（x0）＝4，
所以＝
＝＝﹣2f'（x0）＝﹣8．
故選：C．
7．（4分）（ax+y）5的展開(kāi)式中x2y3項(xiàng)的系數(shù)等于80，則實(shí)數(shù)a＝（ ）
A．2B．±2C．D．±
【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，
當(dāng)r＝3時(shí)，x2y3項(xiàng)的系數(shù)為，
解得：．
故選：D．
8．（4分）已知，則f（x）（ ）
A．在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增
B．（﹣∞，1）在上單調(diào)遞減
C．有極大值，無(wú)極小值
D．有極小值，無(wú)極大值
【解答】解：因?yàn)?，所以?br>則當(dāng)x＜1時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值．
故選：C．
9．（4分）已知隨機(jī)變量X～B（6，p），Y～N（μ，σ2），且P（Y≥2）＝，E（X）＝E（Y），則p＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X～B（6，p），所以E（X）＝6p，
因?yàn)閅～，
所以μ＝2，即E（Y）＝2，
又E（X）＝E（Y），
所以6p＝2，即．
故選：B．
二、填空題.（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將正確答案填在
10．（4分）已知某車(chē)間在上半年的六個(gè)月中，每個(gè)月的銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）與月份x（x＝1，2，3，4，5，6）滿足線性回歸方程y＝2x+28，則該車(chē)間上半年的總銷(xiāo)售額約為 210 萬(wàn)元．
【解答】解：由題意可知，該車(chē)間上半年的總銷(xiāo)售額約為2×（1+2+3+4+5+6）+28×6＝210（萬(wàn)元）．
故答案為：210．
11．（4分）某校進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在固定的位置投籃，投中的概率分別，，p，已知每個(gè)人投籃互不影響，若這三個(gè)同學(xué)各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則p＝ ．
【解答】解：由題意可得1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣p）＝，
所以p＝．
故答案為：．
12．（4分）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ．
【解答】解：由題意可得的通項(xiàng)為，
令，
∴r＝2，
則的系數(shù)是．
故答案為：．
13．（4分）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字，可以排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 60 ．（用數(shù)字作答）
【解答】解：用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字，
則可以排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為＝60．
故答案為：60．
14．（4分）甲袋中有4個(gè)白球、6個(gè)紅球，乙袋中有4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從兩個(gè)袋中隨機(jī)取一袋，再?gòu)拇舜须S機(jī)取一球，則取到紅球的概率為 ．
【解答】解：記事件A1：選取的是甲袋，事件A2：選取的是乙袋，事件B：從選出的袋中取出的一球?yàn)榧t球，
則，，，
由全概率公式可得．
故答案為：．
15．（4分）已知f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+2f（x）＞0，若f（2）＝0，則不等式x2f（x）＞0的解集是 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．
【解答】解：令G（x）＝x2f（x），
G′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，
因?yàn)閤＞0時(shí)，xf'（x）+2f（x）＞0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，G′（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
所以在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以G（﹣x）＝x2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣G（x），
所以G（x）是奇函數(shù)，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，G（x）單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（2）＝0，
所以G（2）＝4f（2）＝0，
又G（x）為奇函數(shù)，
所以G（﹣2）＝0，
作出G（x）的大致圖像如下：
所以在（﹣∞，﹣2）上，G（x）＜0，
在（﹣2，0）上，G（x）＞0，
在（0，2）上，G（x）＜0，
在（2，+∞）上，G（x）＞0，
所以不等式，x2f（x）＞0的解集為（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
三、解答題.（本大題共5個(gè)小題，共60分）
16．（12分）已知．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù)．
【解答】解：（1）因?yàn)?，則n≥7
則n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）＝252，
則252（n﹣5）（n﹣6）＝7!，
則n2﹣11n+10＝0，
則n＝10．
（2）＝的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1＝＝（﹣1）r?，
令20﹣＝5，
則r＝6，
則x5項(xiàng)的系數(shù)為×＝．
17．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．
（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16．人數(shù)比為：3：2：2，
從中抽取7人，應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3，2，2人；
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查，
隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，3，
，k＝0，1，2，3．
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
所以E（X）＝＝．
18．（12分）已知函數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，，f（1）＝2，
所以切點(diǎn)為（1，2），，
則f'（1）＝1﹣2＝﹣1，
所以切線方程為y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0．
（2），x＞0，
若a≤1，則f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意；
若1＜a＜e，令f'（x）＜0，解得1≤x＜a，
令f'（x）＞0，解得a＜x≤e，
所以函數(shù)f（x）在[1，a）單調(diào)遞減，（a，e]單調(diào)遞增，
所以，解得，滿足題意；
若a≥e，則f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，解得，不滿足題意，
綜上，．
19．（12分）甲、乙兩位籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃，甲投籃一次命中的概率為，乙投籃一次命中的概率為，每人各投4個(gè)球，兩人投籃是否命中的概率互不影響．
（1）求甲至多命中1個(gè)球且乙至少命中1個(gè)球的概率；
（2）若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分?jǐn)?shù)η的分布列．
【解答】解：（1）設(shè)事件A為“甲至多命中1個(gè)球”，事件B為“乙至少命中1個(gè)球”，
則P（A）＝，P（B）＝，
故甲至多命中1個(gè)球且乙至少命中1個(gè)球的概率P（AB）＝P（A）P（B）＝．
（2）由題意可知，乙得分η的可能取值為﹣4，0，4，8，12，
P（η＝﹣4）＝，
P（η＝0）＝，
P（η＝4）＝，
P（η＝8）＝，
P（η＝12）＝，
故η的分布列為：
20．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程與直線x+4y﹣1＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)0＜m＜n，求證：．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝﹣a﹣，
∴f′（1）＝4﹣a﹣1＝3﹣a，
∵曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程與直線x+4y﹣1＝0垂直，
∴3﹣a＝4，
∴a＝﹣1．．
（Ⅱ）由題意在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立．
設(shè)，
則a≥[g（x）]max．
，
∴a≥4．
（ III）∵0＜m＜n，不等式，
即．
令，則t＞1，
則，
即．
令，
由（Ⅱ）知，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）＜h（1）＝﹣3＜0．
故當(dāng)0＜m＜n時(shí)，不等式成立． X
0
1
2
3
P



η
﹣4
0
4
8
12
P




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