一、單選題（每題3分，共39分）
1. 物理關(guān)系式不僅反映了物理量之間的關(guān)系，也反映了單位間的關(guān)系，如關(guān)系式既反映了電壓、電流和電阻之間的關(guān)系，也反映了V（伏）與A（安）和（歐）的乘積等效。現(xiàn)有物理量單位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（庫(kù)）、F（法）、A（安）、（歐）和T（特）．由它們組合成的單位都與電壓?jiǎn)挝籚（伏）等效的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
2. 某研究小組在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)做外力作用下落體運(yùn)動(dòng)的研究，得到物體在豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度隨下降高度變化關(guān)系，如圖所示。已知，重力加速度。則（ ）
A. 物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)B. 下落過(guò)程中物體加速度不斷減小
C. 下落過(guò)程中物體的機(jī)械能一直減小D. 物體在和處的機(jī)械能可能相等
【答案】D
3. 在力學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，許多物理學(xué)家的科學(xué)發(fā)現(xiàn)推動(dòng)了物理學(xué)的進(jìn)步。對(duì)以下幾位物理學(xué)家所作科學(xué)貢獻(xiàn)的表述中，與事實(shí)不相符的是（ ）
A. 伽利略首先建立平均速度、瞬時(shí)速度和加速度等描述運(yùn)動(dòng)的概念
B. 胡克提出如果行星的軌道是圓形，太陽(yáng)與行星間的引力與距離的平方成反比
C. 卡文迪許是測(cè)量地球質(zhì)量的第一人
D. 伽利略根據(jù)理想斜面實(shí)驗(yàn)，得出自由落體運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)
【答案】D
4. 如圖所示，物塊A放在直角三角形斜面體B上面，B放在彈簧上面并緊挨著豎直墻壁，初始時(shí)A、B靜止．現(xiàn)用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未動(dòng)．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 施力后A、B之間的摩擦力一定比施力前大
B. 施力后B與墻面間的彈力可能與施力前相等
C. 施力后B與墻面間的摩擦力可能與施力前相等
D. 施力后A對(duì)B的作用力可能比施力前小
【答案】D
5. 如圖所示，廚師在展示廚藝時(shí)，將蛋糕放置在一水平托盤上，并控制托盤做豎直平面內(nèi)半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，托盤始終保持水平。蛋糕可視為質(zhì)點(diǎn)，與托盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為。若蛋糕始終與托盤保持相對(duì)靜止，則托盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速率為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
6. 如圖所示，將三根完全相同的輕質(zhì)細(xì)桿，兩兩互成，連接到同一個(gè)頂點(diǎn)O，另一端分別連接到豎直墻壁上的A、B、C三個(gè)點(diǎn)，BC連線沿水平方向，是等邊三角形，O、A、B、C點(diǎn)處，分別是四個(gè)可以向各個(gè)方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)的輕質(zhì)光滑餃鏈（未畫出）。在O點(diǎn)用細(xì)繩懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，則AO桿對(duì)墻壁的作用力為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如圖，用三根絕緣細(xì)繩把三個(gè)帶同種電荷的小球懸掛在點(diǎn)。小球靜止時(shí)，恰好位于同一豎直面。細(xì)繩與豎直方向的夾角分別為，已知小球的質(zhì)量分別為，電荷量分別為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若小球的質(zhì)量，則一定有
B. 若小球的質(zhì)量，則可能有
C. 若小球所帶電荷量，則一定有
D. 若小球所帶電荷量，則一定有
【答案】B
8. 2020年7月31日，北斗閃耀，澤沐八方。北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（如圖甲所示）建成暨開通儀式在北京舉行。如圖乙所示為55顆衛(wèi)星繞地球在不同軌道上運(yùn)動(dòng)的圖像，其中T為衛(wèi)星的周期，r為衛(wèi)星的軌道半徑，1和2為其中的兩顆衛(wèi)星。已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 地球的半徑為B. 地球質(zhì)量為
C. 衛(wèi)星1和2運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為D. 衛(wèi)星1和2向心加速度大小之比為
【答案】D
9. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，先固定一不帶電金屬導(dǎo)體球，半徑為，球心坐標(biāo)為。再將一點(diǎn)電荷A固定在原點(diǎn)處，帶電量為。、是軸上的兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)對(duì)稱地分布在軸兩側(cè)，點(diǎn)、、到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為，與金屬導(dǎo)體球外表面相切于點(diǎn)，已知金屬導(dǎo)體球處于靜電平衡狀態(tài)，為靜電力常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 圖中各點(diǎn)的電勢(shì)關(guān)系為
B. 金屬導(dǎo)體球左側(cè)感應(yīng)出負(fù)電荷，右側(cè)感應(yīng)出正電荷，用一根導(dǎo)線分別連接左右兩側(cè)，導(dǎo)線中有短暫的電流
C. 金屬導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷在外表面處的場(chǎng)強(qiáng)大小，方向垂直于金屬球表面
D. 金屬導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為，方向沿軸負(fù)方向
【答案】D
10. 如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中一矩形線圈繞垂直于磁場(chǎng)的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，產(chǎn)生的電能通過(guò)滑環(huán)由單刀雙擲開關(guān)控制提供給電路中的用電器。線圈的面積為，匝數(shù)為，線圈的總阻值為，定值電阻，理想變壓器的原、副線圈匝數(shù)比為，電壓表為理想電表。線圈由圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 若開關(guān)打到“1”，通過(guò)電阻的電荷量
B. 若開關(guān)打到“1”，電阻產(chǎn)生的熱量
C. 若開關(guān)打到“2”，電壓表的示數(shù)為
D. 若開關(guān)打到“2”，電阻產(chǎn)生的熱量
【答案】C
11. 質(zhì)量為的滑塊沿傾角為、長(zhǎng)度為的光滑斜面頂端靜止滑下。斜面質(zhì)量為，并靜置于光滑水平面上，重力加速度為。滑塊可看成質(zhì)點(diǎn)，則滑塊滑到斜面底端所用的時(shí)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
12. 如圖所示為一等腰梯形的特殊玻璃，其上表面長(zhǎng)2m，下表面長(zhǎng)6m，高2m，現(xiàn)用兩束對(duì)稱光分別從A、B點(diǎn)射入，并于C點(diǎn)聚焦。若C到玻璃下表面的距離D點(diǎn)為2.5m，AB的距離為3m，則該玻璃的折射率取值范圍是（ ）
A. （1，）B. （1，）C. （1，2）D. （1，）
【答案】A
13. 如圖所示，在水平地面上用彼此平行、相鄰間距為l的水平小細(xì)桿構(gòu)成一排固定的柵欄。柵欄上方有一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為的勻質(zhì)圓板，圓板不會(huì)與地面接觸。一根細(xì)長(zhǎng)的輕繩穿過(guò)板的中央小孔C，一半在圖的背面，一半在圖的正面，繩的兩頭合在一起記為P端。在P端用力沿水平方向朝右拉動(dòng)圓板，使板沿柵欄無(wú)跳動(dòng)、無(wú)相對(duì)滑動(dòng)地朝右滾動(dòng)。圓板水平方向朝右的平均速度可近似處理為圓板中心C在最高位置時(shí)的速度大小v，設(shè)v是不變量。略去繩與板間所有接觸部位的摩擦，施加于P端的平均拉力T為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、多選題（每題3分，共6分，全對(duì)得3分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)不給分）
14. 在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一個(gè)靜止的放射性原子核（X）發(fā)生了衰變放出了一個(gè)粒子。放射出的粒子（He）及生成的新核Y在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。粒子的運(yùn)動(dòng)軌道半徑為R，質(zhì)量為m和電荷量為q。下面說(shuō)法正確的是（ ）

A. 衰變后產(chǎn)生的粒子與新核Y在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡（箭頭表示運(yùn)動(dòng)方向）正確的是圖甲
B. 新核Y在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
C. α粒子的圓周運(yùn)動(dòng)可以等效成一個(gè)環(huán)形電流，環(huán)形電流大小為
D. 若衰變過(guò)程中釋放的核能都轉(zhuǎn)化為α粒子和新核的動(dòng)能，則衰變過(guò)程中的質(zhì)量虧損為
【答案】BD
15. 為振源，由平衡位置開始上下振動(dòng)，產(chǎn)生一列簡(jiǎn)諧橫波沿直線傳播，、兩點(diǎn)之間的距離為．點(diǎn)的左側(cè)為一種介質(zhì)，右一側(cè)為另一種介質(zhì)，波在這兩種介質(zhì)中傳播的速度之比為3：4．某時(shí)刻波正好傳到右側(cè)處，且、均在波峰位置．則（ ）
A. 開始振動(dòng)時(shí)方向可能向下也可能向上
B. 波在左側(cè)的周期比在右側(cè)時(shí)大
C. 右側(cè)的波長(zhǎng)為
D. 左側(cè)的波長(zhǎng)為
【答案】AD
三、實(shí)驗(yàn)題（每題7分，共14分）
16. 粘滯性是流體內(nèi)部阻礙各流體層之間相對(duì)滑動(dòng)的特性，又稱內(nèi)摩擦。液體內(nèi)部以及液體與容器壁之間均存在粘滯力（又稱內(nèi)摩擦力），粘滯系數(shù)是表征流體內(nèi)摩擦大小的物理量。在工程機(jī)械、石油石化和醫(yī)藥等領(lǐng)域，常常需要對(duì)試樣的粘滯系數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。對(duì)于粘滯系數(shù)較大且較透明的液體，常采用落球法測(cè)量其粘滯系數(shù)。較深透明容器中盛有密度為的均勻、靜止的粘性液體，液面近似為無(wú)限寬廣（忽略容器壁影響），密度為、半徑為的均質(zhì)小球以較慢的速度在該液體中下落（無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)），其受到的粘滯阻力滿足斯托克斯公式：，上式中為小球的運(yùn)動(dòng)速度，即為該液體的粘滯系數(shù)。
（1）在液面處以靜止?fàn)顟B(tài)釋放小球，小球下落初段為變速運(yùn)動(dòng)，最終會(huì)趨于收尾速度。請(qǐng)給出小球下落過(guò)程速度的表達(dá)式（含，時(shí)間，和重力加速度）______并給出收尾速度的表達(dá)式（含和重力加速度）______。
（2）若用落球法測(cè)量甘油的粘滯系數(shù)時(shí)，測(cè)得小球的直徑為，小球的密度為，小球在甘油中近似勻速下落的時(shí)間為，甘油的密度為，重力加速度為。請(qǐng)寫出甘油的粘滯系數(shù)的計(jì)算公式______
（3）用落球法測(cè)量液體粘滯系數(shù)時(shí)，以下哪些因素在其他條件相同時(shí)會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性______
A. 小球的直徑B. 液體的溫度均勻性
C. 容器的尺寸D. 釋放小球位置的上下偏差
（4）通常液體的粘滯系數(shù)強(qiáng)烈地依賴于溫度，本題圖是某三種液體樣品的粘滯系數(shù)與溫度的關(guān)系曲線。請(qǐng)寫出你能從圖中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，并對(duì)圖中粘滯系數(shù)與溫度關(guān)系給出一種微觀解釋______。
（5）關(guān)于落球法測(cè)量液體粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)的原理和可能出現(xiàn)的誤差，下列說(shuō)法中正確的是______
A. 小球在液體中下落時(shí)，受到的重力與浮力之差等于粘滯阻力
B. 小球在液體中下落時(shí)，應(yīng)盡量選擇較大的勻速區(qū)間和較小的容器直徑
C. 小球釋放時(shí)，應(yīng)盡量選擇圓管容器截面中心位置
D. 本實(shí)驗(yàn)應(yīng)選擇表面光滑些的小球
【答案】（1） ①. ②.
（2） （3）ABC
（4）見解析 （5）CD
（1）
[1][2]小球進(jìn)入透明液體后，根據(jù)牛頓第二定律
即
整理可得
兩邊積分可得
初始條件為（t=0,v=0）代入可得
當(dāng)?shù)乃俣葹槭瘴菜俣?br>（2）
當(dāng)達(dá)到最大速度后，小球勻速下降的位移s與時(shí)間的關(guān)系為
因此粘滯系數(shù)的計(jì)算公式
（3）
A．利用粘滯系數(shù)計(jì)算公式
可知小球的直徑不同會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，故A正確；
B．溫度不同時(shí)，同種液體的粘滯系數(shù)會(huì)有所不同，會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，故B正確；
C．容器的尺寸的大小、小球釋放位置距離容器壁的遠(yuǎn)近，會(huì)影響液體流動(dòng)的速度，從而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，故C正確；
D．由于小球最終都會(huì)達(dá)到收尾速度，因此釋放小球位置的上下偏差不會(huì)影響粘滯系數(shù)的結(jié)果，故D錯(cuò)誤。
故選ABC。
（4）
從圖中總結(jié)出的規(guī)律是：粘滯系數(shù)隨溫度升高而減小，室溫下粘滯系數(shù)越大的液體隨溫度升高減小的更快，三種液體的粘滯系數(shù)大小關(guān)系始終不變，曲線沒有交點(diǎn)。
微觀解釋：液體的粘滯力是相鄰層間存在速度差時(shí)產(chǎn)生的一種內(nèi)摩擦力。溫度升高時(shí)，液體中分子的熱運(yùn)動(dòng)加劇，分子間的距離增大，分子間的吸引力減小，從而降低了液體內(nèi)部的摩擦力。因此，液體的粘滯系數(shù)隨溫度升高而降低，流動(dòng)性增加。
（5）
A．小球在液體中勻速下落時(shí)，受到的重力與浮力之差等于粘滯阻力，A錯(cuò)誤；
B．小球在液體中下落時(shí)，應(yīng)盡量選擇較大的勻速區(qū)間和較大的容器直徑，B錯(cuò)誤
C．為了減少不同方向液體流動(dòng)速度不同，引起粘滯阻力的偏差，小球釋放時(shí)，應(yīng)盡量選擇圓管容器截面中心位置，C正確；
D．為了減少小球本身粗糙而引起的阻力，本實(shí)驗(yàn)應(yīng)選擇表面光滑些的小球，D正確；
故選CD。
17. 1911年荷蘭物理學(xué)家昂納斯首次發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度降到時(shí)，汞的電阻突然降到零。此后，科學(xué)家們持續(xù)開展超導(dǎo)研究，不斷提升超導(dǎo)材料的轉(zhuǎn)變溫度。2023年3月雜志發(fā)表了美國(guó)羅切斯特大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)的成果，他們宣布在（1萬(wàn)大氣壓）下實(shí)現(xiàn)了材料近室溫超導(dǎo)轉(zhuǎn)變，隨后我國(guó)研究人員也在雜志上發(fā)文，否定了的高壓室溫超導(dǎo)的結(jié)論。室溫超導(dǎo)一旦實(shí)現(xiàn)，將會(huì)引起一場(chǎng)新的科技革命，推動(dòng)人類文明的進(jìn)步。超導(dǎo)體在臨界溫度下會(huì)進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)，表現(xiàn)出零電阻、完全抗磁性等性質(zhì)。
（1）一般通過(guò)超導(dǎo)材料的電阻—溫度關(guān)系確定超導(dǎo)體的臨界溫度。本題圖是某種超導(dǎo)材料的電阻—溫度曲線。通常把將樣品電阻降至?xí)r的溫度定義為超導(dǎo)轉(zhuǎn)變臨界溫度是超導(dǎo)轉(zhuǎn)變開始時(shí)樣品的正常態(tài)電阻，如本題圖a所示。本題圖b是一種材料的升降溫曲線（升降溫速率），本題圖c是其局部放大曲線。請(qǐng)?jiān)诒绢}圖c上用上、下箭頭標(biāo)注對(duì)應(yīng)的升、降溫測(cè)量曲線______，并選擇升溫的電阻—溫度曲線，確定該材料的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變臨界溫度______。
（2）本題圖是超導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)的曲線。進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)后，超導(dǎo)體可承受的電流是否有上限______
A.有上限； B.無(wú)上限。
（3）測(cè)量超導(dǎo)材料的電阻—溫度曲線時(shí)溫度變化范圍大，常采用熱電偶測(cè)溫。
熱電偶測(cè)溫的工作原理如下：金屬導(dǎo)線和的一端焊在一起用作測(cè)溫端。它們的另一端各與同種材料的兩根導(dǎo)線連接，并將連接點(diǎn)放入溫度已知的恒溫槽里，用作參考端。用高精度電壓表或電位差計(jì)從材料導(dǎo)線的兩個(gè)引出端即可測(cè)量熱電偶由下式表示的溫差電動(dòng)勢(shì)：，式中是塞貝克系數(shù)，由材料組分決定，是測(cè)溫端溫度，是參考端溫度。實(shí)驗(yàn)室常用的低溫?zé)犭娕际切蜔犭娕迹摄~和銅鎳合金兩種材料組成。根據(jù)事先標(biāo)定好的數(shù)據(jù)，由溫差電動(dòng)勢(shì)可以獲得待測(cè)端溫度。
（4）在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，測(cè)溫端經(jīng)常會(huì)斷開，是否可以使用電烙鐵及焊錫將兩端焊在一起進(jìn)行汞超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度測(cè)量______
A.可以； B.不可以。
（5）廠家一般提供的是基于參考端為的熱電偶的溫差電勢(shì)—溫度轉(zhuǎn)換表，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，參考端一般浸入冰水混合物。如果在高、低海拔地區(qū)分別用該熱電偶測(cè)量同樣的溫度，測(cè)量誤差哪個(gè)大______
A.高海拔地區(qū)； B.低海拔地區(qū)
（6）參考端的溫度還可用測(cè)量精度高但范圍窄的熱敏電阻溫度計(jì)進(jìn)行測(cè)量。本題圖是一種熱敏電阻的伏安曲線，選用該電阻制作的溫度計(jì)，應(yīng)該讓其工作在什么電流區(qū)間？本題圖b是該熱敏電阻的電阻—溫度特性曲線，該熱敏電阻具有下列哪些特點(diǎn)______
A.正電阻溫度系數(shù)； B.負(fù)電阻溫度系數(shù)；
C.低溫區(qū)對(duì)溫度靈敏； D.高溫區(qū)對(duì)溫度靈敏。
【答案】 ①. ②. #### ③. A ④. B ⑤. A ⑥. BC##CB
【詳解】（1）[1][2]對(duì)應(yīng)的升、降溫測(cè)量曲線，如圖
由圖結(jié)合題意該材料的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變臨界溫度約為。
（2）[3]從圖可見電流最后趨于一穩(wěn)定值，所以進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)后，超導(dǎo)體可承受的電流有上限。
故選A。
（4）[4]鐵及錫的熔點(diǎn)比較低，不能使用電烙鐵及焊錫將兩端焊在一起進(jìn)行汞的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度測(cè)量。
故選B。
（5）[5]高海拔地區(qū)溫度比低，所以在高、低海拔地區(qū)分別用該熱電偶測(cè)量同樣的溫度，高海拔地區(qū)測(cè)量誤差大。
故選A。
（6）[6]由圖可見該熱敏電阻的電阻隨溫度升高，逐漸減小，所以有負(fù)電阻溫度系數(shù)。并且可見在低溫區(qū)，相同的變化溫度，電阻變化越大，所以低溫區(qū)對(duì)溫度靈敏。
故選BC。
四、解答題（共39分）
18. 如圖，兩個(gè)側(cè)壁絕熱、頂部和底部都導(dǎo)熱的相同氣缸直立放置，氣缸底部和頂部均有細(xì)管連通，頂部的細(xì)管帶有閥門K，兩氣缸的橫截面積均為，容積均為，氣缸中各有一個(gè)絕熱活塞，左側(cè)活塞質(zhì)量是右側(cè)的1.5倍。開始時(shí)K關(guān)閉，兩活塞下方和右活塞上方均充有氣體（可視為理想氣體），活塞下方氣體壓強(qiáng)為，左活塞在氣缸正中間，其上方為真空，右活塞上方氣體體積為。現(xiàn)使氣缸底與一熱源接觸，熱源溫度恒為，平衡后左活塞升至氣缸某一位置；然后打開K，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，重新達(dá)到平衡。已知外界溫度為，不計(jì)活塞體積及與氣缸壁間的摩擦。求：
（1）開始時(shí)右活塞上方氣體壓強(qiáng)；
（2）接觸恒溫?zé)嵩春笄椅创蜷_K之前，左活塞上升的高度H；
（3）打開閥門K后，重新達(dá)到平衡時(shí)左氣缸中活塞上方氣體的體積。

【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）對(duì)左側(cè)活塞，由平衡得
對(duì)右側(cè)活塞，由平衡得
解得
（2）打開k前，下部分氣體由等壓變化得
解得
（3）打開k后，設(shè)上部分氣體壓強(qiáng)為，下部分氣體壓強(qiáng)為，對(duì)上部分氣體，由等溫變化得
對(duì)下部分氣體，由于左側(cè)上部分壓強(qiáng)變大，則左側(cè)活塞下降，右側(cè)活塞上升，直到頂端，此時(shí)下部分氣體的壓強(qiáng)
由等溫變化
解得
此時(shí)右側(cè)活塞運(yùn)動(dòng)到氣缸的頂部，所以左氣缸中活塞上方氣體的體積
19. 如圖所示，靜置于光滑平面的一質(zhì)量為 的物體上有一個(gè)向下凹陷的旋轉(zhuǎn)橢球面。其豎直方向截面的橢圓的半長(zhǎng)軸為b，半短軸為a。在其邊緣從靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m的小球。忽略所有可能的摩擦。
（1）當(dāng)小球從靜止釋放后相對(duì)地面的位移為x的時(shí)候，求小球相對(duì)于地面的速度大小。
（2）請(qǐng)接著求出小球的加速度。
【答案】（1）；（2）
【詳解】考慮小球向右的水平位移為q，橢圓坑向左的水平位移為
考慮到水平方向上動(dòng)量守恒
所以我們可以得到小球相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡方程
繼續(xù)考慮水平方向動(dòng)量守恒
同時(shí)考慮到系統(tǒng)機(jī)械能守恒
又同時(shí)考慮到速度方向總是沿著切線
聯(lián)立后就得到
#6
其中
顯然
所以
考慮到
又有
帶入后得到
20. 磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具。它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來(lái)由，我們求解下面的問(wèn)題。設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為式中、、均為已知常量，坐標(biāo)軸x與軌道平行。在任一時(shí)刻t，軌道平面上磁場(chǎng)沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“· ”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長(zhǎng)度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長(zhǎng)度為d，金屬框的電阻為R，不計(jì)金屬框的電感。
（1）試求在時(shí)刻t，當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力，設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動(dòng)的速度為。
（2）試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。
【答案】（1）；（2）見解析
【詳解】（1）題給的磁場(chǎng)隨時(shí)間和空間的變化具有周期性，在某時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為

在時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為

比較上面兩式，不難看出，和這兩個(gè)時(shí)刻的磁場(chǎng)的空間分布規(guī)律是相同的，只是時(shí)刻原位于處的磁場(chǎng)，經(jīng)歷時(shí)間，在時(shí)刻，出現(xiàn)在處。即整個(gè)磁場(chǎng)的分布經(jīng)時(shí)間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離

平移速度
（1）
平移速度為恒量。由此可見，題給出的磁場(chǎng)可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場(chǎng)區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移。如果金屬框移動(dòng)的速度小于磁場(chǎng)區(qū)域平移的速度，那么通過(guò)金屬框的磁通將隨時(shí)間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流將受到磁場(chǎng)的安培力作用。
由題已知，在時(shí)刻t，金屬框移動(dòng)的速度為，金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處，PQ邊位于坐標(biāo)處。設(shè)此時(shí)金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正）；經(jīng)過(guò)一很短的時(shí)間間隔，整個(gè)磁場(chǎng)分布區(qū)域向x方向移動(dòng)了一段距離，金屬框向x方向移動(dòng)了一段距離，其結(jié)果是：MN邊左側(cè)穿過(guò)面積為的磁通移進(jìn)了金屬框，PQ邊左側(cè)穿過(guò)面積為的磁通移出了金屬框，故在時(shí)刻，通過(guò)金屬框的磁通為

在時(shí)間間隔內(nèi)，通過(guò)金屬框的磁通增量為
（2）
規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向）為正，由電磁感應(yīng)定律，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
（3）
規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向）為正，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電流為
（4）
磁場(chǎng)對(duì)于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零。規(guī)定向右的力為正，則磁場(chǎng)作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場(chǎng)作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力
（5）
由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場(chǎng)分布規(guī)律，得
（6）
利用三角學(xué)公式，得
（7）

稱為安培力的幅度。從（7）式可以看出，安培力在的幅度內(nèi)隨時(shí)間變化，但其值不會(huì)小于零，表示磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力始終向右。
（2）討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系。與金屬框長(zhǎng)度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關(guān)。
當(dāng)， 即
（8）
得
（9）
當(dāng)，即
（10）
達(dá)最大值
（11）
當(dāng)d取其它值時(shí)，介于0與最大值之間。
21. 圖甲中為帶電粒子發(fā)射源，從中可持續(xù)不斷地射出質(zhì)量、電荷都相同的帶正電的粒子流，它們的速度方向都沿圖中虛線，速度的大小具有一切可能值但都是有限的.當(dāng)粒子打在垂直于的屏上時(shí)，會(huì)在屏上留下永久性的痕跡.屏內(nèi)有一與虛線垂直的坐標(biāo)軸，其原點(diǎn)位于屏與虛線的交點(diǎn)處，的正方向由指向.虛線上的、兩處，各有一電子閥門和.閥門可以根據(jù)指令開啟或關(guān)閉.開始時(shí)兩閥門都處于關(guān)閉狀態(tài)，擋住粒子流.、是兩塊較大的平行金屬平板，到虛線的距離都是，板接地，在兩板間加上如圖乙所示的周期為的交變電壓，的正向最大值為，負(fù)向最大值為.已知當(dāng)帶電粒子處在兩平板間的空間時(shí)，若兩平板間的電壓為，則粒子在電場(chǎng)作用下的加速度、電壓的半周期和平板到虛線的距離滿足以下關(guān)系：
.
已知、間的距離、到金屬板左端的距離、金屬板的長(zhǎng)度以及金屬板右端到屏的距離都是.不計(jì)重力的作用.不計(jì)帶電粒子間的相互作用.打開閥門前粒子被閥門吸收，不會(huì)影響以后帶電粒子的運(yùn)動(dòng).只考慮、之間的電場(chǎng)并把它視為勻強(qiáng)電場(chǎng).
（1）假定閥門從開啟到關(guān)閉經(jīng)歷的時(shí)間比小得多，可忽略不計(jì).現(xiàn)在某時(shí)刻突然開啟閥門，又立即關(guān)閉；經(jīng)過(guò)時(shí)間，再次開啟閥門，又立即關(guān)閉；再經(jīng)過(guò)時(shí)間，第次開啟閥門的同時(shí)開啟閥門，立即同時(shí)關(guān)閉、.若以開啟閥門的時(shí)刻作為圖乙中的時(shí)刻，則求屏上可能出現(xiàn)的粒子痕跡的坐標(biāo).
（2）假定閥門從開啟到關(guān)閉經(jīng)歷的時(shí)間，現(xiàn)在某時(shí)刻突然開啟閥門，經(jīng)過(guò)時(shí)間立即關(guān)閉；從剛開啟的時(shí)刻起，經(jīng)過(guò)時(shí)間，突然開啟閥門，經(jīng)過(guò)時(shí)間關(guān)閉.若以剛開啟閥門的時(shí)刻作為圖乙中的時(shí)刻，則從處射出的具有最大速率的粒子射到屏上所產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為多少？具有最小速率的粒子射到屏上所產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為多少？
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）當(dāng)閥門第次開啟時(shí)，具有各種速率的粒子（稱為第一批粒子）從處進(jìn)入、之間，在第次開啟時(shí)刻，第一批粒子中速率為的粒子正好射到處，被閥門擋住.與此同時(shí)，第二批具有各種速率的粒子從處進(jìn)入、之間.在閥門第次開啟的時(shí)刻，第一批進(jìn)入、之間的粒子中速率為的粒子與第二批進(jìn)入、間的粒子中速率為的粒子同時(shí)到達(dá)處，因此時(shí)閥門已開啟，這些粒子都從處沿虛線射向兩平行板，而第三批進(jìn)入、之間的粒子在它們到達(dá)處時(shí)，被擋住.由此可知，能從處射向兩平行板的粒子具有和兩種不同的速率.
根據(jù)題意，粒子從處射出的時(shí)刻為，故速率為的粒子在時(shí)刻進(jìn)入兩平行板之間，由圖乙可知，兩板間的電壓為
.
粒子在兩板間的電場(chǎng)作用下的加速度為，粒子通過(guò)兩板經(jīng)歷的時(shí)間為
.
在時(shí)間內(nèi)粒子在方向獲得的分速度和位移分別為
，
.
因，故，表明速率為的粒子能穿出平板，粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動(dòng).在從射出平板至射到屏的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向的位移為
.
粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為
.
速率為的粒子在時(shí)刻
進(jìn)入兩平行板之間，由本題圖乙可知，兩板間的電壓為
.
粒子在電場(chǎng)作用下的加速度為，粒子通過(guò)兩板經(jīng)歷的時(shí)間為
.
因?yàn)閮砂彘g的電壓在時(shí)間內(nèi)由變?yōu)椋Ｗ拥募铀俣纫鄬淖兂?，由此可求得在時(shí)間內(nèi)粒子在方向獲得的分速度和位移分別為
，
.
因，故，表明速率為的粒子亦能穿出平板.粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動(dòng).在從射出平板至射到屏的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向的位移
.
粒子打在屏上產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為
.
即粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡是兩個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為和.
（2）由于閥門從開啟到關(guān)閉要經(jīng)歷一段時(shí)間，在閥門開啟到關(guān)閉經(jīng)歷的時(shí)間間隔內(nèi)的不同時(shí)刻，都有各種不同速率的粒子從處進(jìn)入、之間，有的早進(jìn)入，有的晚進(jìn)入.由于閥門從開啟到關(guān)閉也要經(jīng)歷一段時(shí)間，粒子可能在最早的時(shí)刻即的時(shí)刻從處射出，也可能在最晚的時(shí)刻即時(shí)刻從處射出.在剛開啟的時(shí)刻從處射入、之間，并在時(shí)刻從處射出的粒子的速率最小，這最小速率為
.'
在閥門剛要關(guān)閉時(shí)刻從處進(jìn)入、之間，并在的時(shí)刻從處射出的粒子的速率最大，這最大速率為
.
在時(shí)刻從處射出的速率為的粒子在時(shí)刻
進(jìn)入兩平板之間，在時(shí)刻
離開兩平板.由本題圖乙可知，在到時(shí)間內(nèi)，兩板間的電壓為，在到時(shí)間內(nèi)，兩板間的電壓為，與電壓對(duì)應(yīng)的粒子的加速度分別為和.在粒子通過(guò)平板的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向獲得的分速度和位移分別為
，
.
粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動(dòng).從射出平板至射到屏的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向的位移為
.
粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為
.
根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)得
.
在時(shí)刻從處射出的速度為的粒子在時(shí)刻
進(jìn)入兩平板之間，在時(shí)刻
離開兩平板，由本題圖乙可知，在到時(shí)間內(nèi)，兩板間的電壓為，在到時(shí)間內(nèi)，兩板間的電壓為，與電壓對(duì)應(yīng)的粒子的加速度分別為和.在粒子通過(guò)平板的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向獲得的分速度和位移分別為
，
.
粒子穿出平板后做勻速運(yùn)動(dòng)，在從射出平板至射到屏的時(shí)間內(nèi)，粒子在方向的位移為
.
粒子在屏上產(chǎn)生的痕跡的坐標(biāo)為
.
根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)得：.
由以上分析可知，速率最小和速率最大的粒子打在屏上產(chǎn)生的痕跡是位于軸上的同一點(diǎn).
本題是第屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽的決賽試題.
本題信息量大，研究的對(duì)象也不是十分確定，粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程覆蓋了幾個(gè)不同條件的子過(guò)程，試題本身的運(yùn)算量也很大，是一道難度偏高的試題.
如果從競(jìng)賽大綱所約定的內(nèi)容看，復(fù)賽與決賽在知識(shí)層面上并沒有太大的差別.但從歷年的競(jìng)賽試題來(lái)看，當(dāng)年的決賽試題肯定是要比復(fù)賽試題難上一個(gè)檔次的，而這個(gè)難度，很多上年份便體現(xiàn)在試題涉及過(guò)程的多少，計(jì)算量的大小，模型的復(fù)雜程度上.
必須說(shuō)明一點(diǎn)，復(fù)賽與決賽難度在不同的年份往往是不具備可比性的，不排除某個(gè)年份的復(fù)賽試題的總體難度要高于其他年份的決賽試題的難度的可能性，但這并不影響競(jìng)賽的選拔功能，同學(xué)們對(duì)此不應(yīng)過(guò)于糾結(jié)，應(yīng)保持良好的心態(tài).

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