江蘇省南菁高級中學(xué)實驗班2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 若函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可解.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，
即，且，
所以
故選：C
2. 在的展開式中，的系數(shù)為（）
A. B. C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】由，寫出展開式的通項，即可求出的系數(shù).
【詳解】由，
其中展開式的通項為（且），
所以的展開式中的系數(shù)為．
故選：B．
3. 為幫助某貧困山區(qū)的基層村鎮(zhèn)完成脫貧任務(wù)，某單位要從5名領(lǐng)導(dǎo)和6名科員中選出4名人員去某基層村鎮(zhèn)做幫扶工作，要求選出人員中至少要有2名領(lǐng)導(dǎo)，且必須有科員參加，則不同的選法種數(shù)是（）
A. 210B. 360C. 420D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分類計數(shù)原理，組合列式計算作答.
【詳解】求不同的選法種數(shù)可以有兩類辦法，選出的4人中有2名領(lǐng)導(dǎo)，有種方法；有3名領(lǐng)導(dǎo)，有種方法，
由分類加法計數(shù)原理得：，
所以不同的選法種數(shù)是210，A正確.
故選：A
4. 已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．若函數(shù)在上的最小值為4，則實數(shù)a的值為（）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)函數(shù)在上的最小值為4，然后利用導(dǎo)數(shù)對進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求．
【詳解】因為是定義域為的偶函數(shù)，
且函數(shù)在上的最小值為4，
所以函數(shù)在上的最小值為4，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，解得，符合題意，
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時，函數(shù)取得最小值，解得，不符合題意，
綜上，．
故選：B．
5. 已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，從而將不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得答案.
【詳解】由于函數(shù)，定義域R，滿足，
得是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即a的取值范圍為，
故選：D.
6. 已知函數(shù)的定義域為，且，為奇函數(shù)，則（）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)的定義探討函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.
【詳解】因為，即，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，
因為為奇函數(shù)，所以，
令，則，所以，所以，
所以，即，
所以，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
是以.
故選：D.
7. 若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（）
A. -1B. 1C. 0D. e
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求解出在點處的切線方程以及在點處的切線方程，根據(jù)兩切線重合，求解出之間的關(guān)系式，由此可化簡計算出的值.
【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線方程為，
的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線的方程為，
由兩條切線重合的條件，可得，且，
則，即有，
可得，
則.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于切線方程的分別求解，然后通過切線重合去分析變量之間的關(guān)系，其中涉及的指對互化對于計算有一定要求.
8. 定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，若，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】變形得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到，結(jié)合求出，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，變形得到其中，，，令，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，比較出，從而得到答案.
【詳解】等式兩邊同乘以得，
令，則，
即，設(shè)，
即，故，
又，故，解得，
故，
，
令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中，，，
令，，則，
令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
故，即.
故選：B
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：
比如：若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分：若只有3個正確選項，每選對一個得2分．）
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 的定義域為
B. 值域為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 的值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】變換得到，計算定義域和值域得到A正確，B錯誤，根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性確定C正確，根據(jù)計算得到D正確，得到答案.
【詳解】，
對選項A：函數(shù)的定義域滿足，即，正確；
對選項B：的值域為，錯誤；
對選項C：在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；
對選項D：，，
故，正確.
故選：ACD
10. 已知函數(shù)，是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，滿足，，且為奇函數(shù)，則（）．
A. 為奇函數(shù)B. 為偶函數(shù)
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，利用變量代換可推出函數(shù)的周期，繼而推出，結(jié)合函數(shù)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，即可判斷的奇偶性，判斷A，B；利用的周期可求得的值，判斷C；根據(jù)結(jié)合變量代換可推出，從而將化為，結(jié)合的周期求值即可判斷D.
【詳解】函數(shù)是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，
由于奇函數(shù)，故，
即，即，
由于，用代換x可得，
結(jié)合得：，即，
結(jié)合得，
即，故，
即4為函數(shù)的周期，故，故為偶函數(shù)，
由于是定義在R上的非常數(shù)函數(shù)，故不是奇函數(shù)，故A錯誤，B正確；
由于，故，即，
故，
故，故C正確；
由得，
而為偶函數(shù)且，故，
則，
因為，所以，
故，D正確，
故選：BCD
【點睛】難點點睛：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用問題，涉及到函數(shù)的奇偶性以及周期性，難點在于要根據(jù)已知條件，經(jīng)過變量代換，推出函數(shù)的周期，進(jìn)而推出函數(shù)為偶函數(shù)，從而再根據(jù)之間的關(guān)系，推出，結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求出和式，的值.
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)的值域是
B. 若，則
C. 若，則方程共有5個實根
D. 不等式在上有且只有3個整數(shù)解，則的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】A選擇利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可確定值域，需要注意當(dāng)時，且；B選項需要設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點，進(jìn)而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可確定答案；C選項，方程，所以兩根為或，再利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象，結(jié)合圖象可確定零點個數(shù)；D選項，將原不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定
在上的3個整數(shù)解為－2,－1,0，再構(gòu)造不等式組求答案即可.
【詳解】對于A，函數(shù)，
當(dāng)和時，為減函數(shù)；
當(dāng)時，為增函數(shù)：
當(dāng)時，且，而，
如下圖所示：
所以值域為，選項A錯；
對于B，由已知得，，
顯然在上為增函數(shù)，且，，
所以使，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；，
結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，，選項B正確；
對于C，方程，所以兩根為或，
因為，所以，
明顯為增函數(shù)，且，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，且時，且，
而，，，，
所以函數(shù)的圖象如下：
所以有1個根，有5個根，
所以方程有6個根，選項C項錯誤：
對于D，不等式，
當(dāng)時，不等式可化為，
令，則，
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，
則在上的3個整數(shù)解為－2,－1,0，
，即，解得，故選項D正確．
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增減區(qū)間，進(jìn)而可確定函數(shù)的大致圖象，再結(jié)合圖象分析即可.
三、填空題（本題共3小題.每小題5分，共15分．）
12. 銀行卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自動取款機(jī)上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字.如果記得密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則不超過2次就按對的概率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)出事件，由已知根據(jù)互斥事件的運(yùn)算性質(zhì)，以及條件概率的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)為“第次按對密碼”（），
則事件“不超過2次就按對”可表示為，
記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”，
由條件概率的性質(zhì)可得，
.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】或
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有極值點，即有變號零點，從而得解.
【詳解】因為，所以，
又不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)有極值點，即在上有變號零點，
則成立，
當(dāng)時，可化為，顯然不成立；
當(dāng)時，，
因為，，所以或，
所以實數(shù)m的取值范圍為或（因為要有變號零點，故不能取等號），
經(jīng)檢驗，或滿足要求.
故答案為：或.
14. 若過點有三條直線與函數(shù) 的圖象相切，則實數(shù)m的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，再結(jié)合過點存在三條直線與曲線相切，轉(zhuǎn)化為方程有三個根，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值得實數(shù)m的取值范圍．
【詳解】函數(shù)，定義域為R，，
設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，
切線過點，則有，
即，依題意關(guān)于方程有三個解，
設(shè)，
，解得或；，解得，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
時，取極小值；時，取極大值，
實數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
15. 設(shè)函數(shù)，．
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
（3）若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為2
（3）
【解析】
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性以及極值的關(guān)系即可求解；
（3）將在上存在增區(qū)間轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由題可得，
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，解得；
【小問2詳解】
由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，取極小值為；
【小問3詳解】
由在上存在增區(qū)間，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
所以
即的取值范圍為.
16. 已知函數(shù).
（1）若，求a的值；
（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由可求得的值，進(jìn)而可求得實數(shù)的值；
（2）由可得出或，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：因為，所以，
所以，所以，解得.
【小問2詳解】
解：由，得，即，
即或.
當(dāng)時，，則或，
因為，則不成立，
由可得，得；
當(dāng)時，，則或，
因為，則不成立，所以，解得.
綜上，的取值范圍是.
17. 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分類討論，分別判斷的符號，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，由可得，故時，，時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1）知，，
只需證，即證，
設(shè)，
則，
故時，，時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
又，故，
即成立，所以原不等式成立.
18. 已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)存在兩個極值點，記,求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)求的導(dǎo)函數(shù),再對含參的二次函數(shù)分類討論,分別求出單調(diào)區(qū)間即可.
(2)在(1)的條件下先寫出兩個極值點的關(guān)系，
再化簡的解析式為關(guān)于的函數(shù),最后求導(dǎo)計算范圍即可.
【小問1詳解】
的定義域為，對求導(dǎo)得：
，
令
1）若，則，即，所以在上單調(diào)遞增.
2）若
①當(dāng)時，即，則，即，所以在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時，即，由，得
當(dāng)時，
當(dāng)時，
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時, 在上是單調(diào)遞增的，
在上是單調(diào)遞減的.
【小問2詳解】
由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).
由于的兩個極值點滿足，
所以，
所以，
同理，
，
所以，
令，所以，
所以在上是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的
因為，且當(dāng)，
所，所以的取值范圍是
19. 設(shè)函數(shù)（），其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）求的零點的個數(shù)：；
（3）若不等式在上恒成立，求k的取值范圍．
【答案】（1）
（2）個零點
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可得對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；
（2）求導(dǎo)，再分和討論，結(jié)合零點的存在性定理即可得出結(jié)論；
（3）不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，再分和兩種情況討論，求出函數(shù)的最值即可得解.
【小問1詳解】
，
因為在上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，
令，則，
則當(dāng) 時，，當(dāng) 時，，
故在上遞減，在上遞增，
則，
依題意，需使，即，故得：，
所以實數(shù)的取值范圍為；
【小問2詳解】
由，得，
因為，若，則無零點，
當(dāng)時，，故在上遞增，
注意到，，
由零點存在定理，在上有唯一的零點；
所以有個零點；
小問3詳解】
不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
令，
又，所以在上恒成立，
當(dāng)時，，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故時，符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，
所以，使得，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，與題意矛盾，
綜上所述，.
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．

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