解決方程不等式類的應(yīng)用問題，需要構(gòu)建方程或不等式模型，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，從而解決實(shí)際問題．本專題采取梯度設(shè)計(jì)，思路為：1.提取等量或不等關(guān)系并列式子；2.解方程(組)或不等式(組)，并判斷結(jié)果是否符合實(shí)際情況(側(cè)重點(diǎn)).幫助同學(xué)們解決相關(guān)問題．
梯度一　從文字中提取關(guān)鍵信息，找等量(不等)關(guān)系并列式子解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量(不等)關(guān)系，重點(diǎn)是找同一量(不變量)，然后用代數(shù)式表示并用等號(hào)(不等號(hào))連接．常見類型有①一次方程(組)、分式方程及不等式：工程問題、行程問題、銷售問題等；②一元二次方程：增長率問題、銷售問題、面積問題、循環(huán)問題等．
例1　(1)(直接用關(guān)系式)某商品進(jìn)價(jià)為6元/千克，售價(jià)為10元/千克，總利潤為3 000元．設(shè)銷量為x千克，則可列方程為________________.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵詞：利潤、售價(jià)、進(jìn)價(jià)、銷量；考慮等量關(guān)系式：利潤＝(售價(jià)－進(jìn)價(jià))×銷量．
(10－6)x＝3 000
(3)(先確定不等號(hào)兩邊的量，再用不等式連接)小明計(jì)劃用30元購買鉛筆和鋼筆，已知鉛筆和鋼筆的單價(jià)分別是2元和5元，他買了2支鉛筆后，最多還能買幾支鋼筆？設(shè)小明還能買x支鋼筆，則可列不等式為________________.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵詞：30元，鉛筆和鋼筆單價(jià)，鉛筆數(shù)量；考慮關(guān)系式：總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，物品總價(jià)≤30元．
例2　(固定類型，如一元二次方程類)(1)隨著旅游旺季的到來，某景點(diǎn)游客人數(shù)逐月增加，1月份共接待游客6萬人次，3月份共接待游客15萬人次．設(shè)接待游客人次每月的平均增長率為x，則可列方程為________________.【思路點(diǎn)撥】若題干中出現(xiàn)增長率、握手、聯(lián)賽、互送禮物、圖形面積、傳染等詞，?？紤]用一元二次方程．
(2)一塊矩形菜地的面積是150 m2，如果它的長減少5 m，那么菜地就變成正方形．若設(shè)原菜地的長為x m，則可列方程為________________.
1.(直接用關(guān)系式)我國古代算題：“馬四匹，牛六頭，共價(jià)四十八兩(我國古代貨幣單位)；馬三匹，牛五頭，共價(jià)三十八兩．問馬、牛各價(jià)幾何？”設(shè)馬價(jià)x兩，牛價(jià)y兩，可列方程組為________________.(總價(jià)＝數(shù)量×單價(jià))
3．(先確定不等號(hào)兩邊的量，再用不等式連接)某競(jìng)賽共有20道題，答對(duì)一題得5分，不答得0分，答錯(cuò)一題扣2分．已知小濱有1題沒答，競(jìng)賽成績不低于80分．設(shè)小濱答錯(cuò)了x題，則可列不等式為(得分＝答對(duì)題數(shù)量×5－答錯(cuò)題數(shù)量×2，得分≥80)(　　)A．95－7x＞80 B．5(19－x)－2x≥80C．100－7x＞80 D．5(20－x)－2x≥80
梯度二　檢驗(yàn)解的合理性解應(yīng)用題需要考慮問題的實(shí)際意義，對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)一元二次方程的應(yīng)用題：需要檢驗(yàn)解能否使實(shí)際問題有意義，若題目中有約束條件(如盡可能減少庫存等)，還需分析解的合理性；(2)分式方程的應(yīng)用題：需要檢驗(yàn)解是否是原分式方程的根，解是否使實(shí)際問題有意義；(3)不等式的應(yīng)用題：需要檢驗(yàn)符合具體問題的實(shí)際意義(如需要取整數(shù)等).常見解的合理性(一般為正數(shù))：1.解的大小位于0和1之間(打折、增長率等)；2．解為整數(shù)(求人、車等物品的個(gè)數(shù)等).
例3　(1)(解的大小位于0和1之間)某商品原來每件的售價(jià)為200元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為162元，并且每次降價(jià)的百分率相同．設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，列出方程為200(1－x)2＝162，則x＝__________.(思考：請(qǐng)嘗試計(jì)算例2(1)中的平均增長率)(2)(解為整數(shù))某班準(zhǔn)備購買A，B兩種跳繩共46根，A跳繩的單價(jià)為30元，B跳繩的單價(jià)為50元，總費(fèi)用不超過1 850元．若設(shè)購買B種跳繩a根，則可列出不等式30(46－a)＋50a≤1 850，則a的最大值為__________.(思考：請(qǐng)嘗試計(jì)算例1(3)中x的值)
5.(解為整數(shù))某中學(xué)計(jì)劃用3 500元購買一批名著和辭典作為獎(jiǎng)品，其中名著每套60元，辭典每本40元，現(xiàn)已購買名著24套，則學(xué)校最多還能買多少本辭典？
6．(考慮題目中的約束條件)某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為每盒20元的商品以每盒36元售出，平均每天能售出40盒．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每降低1元，平均每天就可以多銷售10盒．要使這種商品每天的利潤達(dá)到750元，且盡快減少庫存，每盒的售價(jià)應(yīng)定為多少元？
1.某小組計(jì)劃做一批中國結(jié)，如果每人做5個(gè)，那么比計(jì)劃多做了8個(gè)；如果每人做3個(gè)，那么比計(jì)劃少做了6個(gè)．設(shè)該小組計(jì)劃做x個(gè)中國結(jié)，則可列方程為(　　)
2．(2023揚(yáng)州)甲、乙兩名學(xué)生到離校2.4 km的“人民公園”參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)30 min后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
解：設(shè)甲同學(xué)步行的速度為x km/h，則乙同學(xué)騎自行車的速度為4x km/h.
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3.6是原分式方程的解，且符合題意．∴4x＝4×3.6＝14.4.答：乙同學(xué)騎自行車的速度為14.4km/h.
3．某公益組織現(xiàn)要將一批救災(zāi)物資運(yùn)往某地，準(zhǔn)備租用汽車運(yùn)輸公司的甲、乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：??若租用該公司6輛甲種貨車和10輛乙種貨車剛好一次運(yùn)完這批救災(zāi)物資，如果按每噸付運(yùn)費(fèi)60元計(jì)算，這批物資應(yīng)付運(yùn)費(fèi)多少元？?
解：設(shè)每輛甲種貨車可運(yùn)物資x噸，每輛乙種貨車可運(yùn)物資y噸．
∴(6×5＋10×4)×60＝4 200(元).答：這批物資應(yīng)付運(yùn)費(fèi)4 200元．
4.某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天銷售20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)5元，則每天可多售2件，若想每天盈利650元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？這時(shí)每天售出多少件襯衫？
5．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車成為大部分人首選的交通工具．某市公交公司計(jì)劃購買一批A，B兩種型號(hào)的新能源汽車，已知購買3輛A型汽車和1輛B型汽車共需要55萬元，購買2輛A型汽車和4輛B型汽車共需要120萬元．(1)求每輛A型汽車和每輛B型汽車各多少萬元；
解：設(shè)每輛A型汽車x萬元，每輛B型汽車y萬元．
答：每輛A型汽車10萬元，每輛B型汽車25萬元．

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