七．平行線的判定與性質(zhì)
1.如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠1=36°，則∠COE等于( ____ )A.72°B.95°C.100°D.108°
∴∠COE=180°-∠DOE=108°，故選：D．
∴∠AOE+2∠DOF+140°-∠AOE=180°，即∠DOF=20°．
3.如圖，PQ∥MN，l⊥MN，垂足為A，l交PQ于點(diǎn)B，點(diǎn)C在射線AM上．(1)若BC平分∠PBA，則∠BCM= ______ ．(2)若∠ACB＜60°，在直線PQ上取一點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥CD．交直線l于點(diǎn)E．若∠BDE=30°，則∠ACD= _____________ ．
∵PQ∥MN，∴∠PBC+∠BCM=180°，∴∠BCM=135°；(2)分兩種情況，如圖2-1，
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，∴∠BDC=60°，∵PQ∥MN，∴∠ACD+∠BDC=180°，∴∠ACD=120°；如圖2-2，∵∠BDE=30°，CD⊥DE，∴∠BDC=30°+90°=120°，∵PQ∥MN，∴∠BDC+∠ACD=180°，∴∠ACD=60°．
故答案為：(1)135°，(2)60°或120°
4.如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，擺放在桌面上，當(dāng)∠AOC= _____________ 時(shí)，AB所在直線與CD所在直線互相垂直．
【解析】解：當(dāng)AB⊥直線CD時(shí)，AB，BO分別交DC的延長線于M，N點(diǎn)，如圖，____
∴∠BMN=90°，∵∠B=45°，∴∠CNO=∠BNM=45°，∵∠DCO=60°，∠DCO=∠CNO+∠BOC，∴∠BOC=60°-45°=15°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+15°=105°；當(dāng)AB⊥CD時(shí)，AB，AO分別交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，
___∴∠AEC=90°，∵∠A=45°，∴∠CFO=∠AFE=90°-45°=45°，∵∠CFO=∠AOD+∠D，∠D=30°，∴∠AOD=45°-30°=15°，
∵∠COD=90°，∴∠AOC=∠COD-∠AOD=90°-15°=75°．綜上，∠AOC的度數(shù)為105°或75°．
5.如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，已知OF⊥CD，∠COE=2∠AOC．(1)若∠COE=42°，分別寫出∠COE的補(bǔ)角、余角，并求出相應(yīng)的度數(shù)；(2)若∠BOF=60°，試說明OE⊥AB．
【解析】解：(1)∵∠COE=42°，∴∠DOE=180°-∠COE=138°，∵OF⊥CD，∴∠COF=∠DOF=90°，∴∠EOF=∠COF-∠COE-48°，
∴∠COE的補(bǔ)角是∠DOE，且∠DOE=138°，∠COE的余角是∠EOF，且∠EOF=48°；(2)∵∠BOF=60°，∠DOF=90°，∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=30°，∴∠AOC=∠BOD=30°，∵∠COE=2∠AOC，∴∠COE=2∠AOC=60°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，∴OE⊥AB．
6.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OF是∠BOD的平分線，OE⊥OF．(1)若∠BOE=64°，求∠AOC的度數(shù)；(2)試問∠COE與∠BOE之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？
【解析】解：(1)∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∵∠BOE=64°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=26°，∵OF是∠BOD的平分線，
∴∠BOD=2∠BOF=52°，∴∠AOC=∠BOD=52°，∴∠AOC的度數(shù)為52°；(2)∠COE=∠BOE，理由：∵∠EOF=90°，∴∠COE+∠DOF=180°-∠EOF=90°，∵∠EOB+∠BOF=90°，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠BOF=∠DOF，∴∠COE=∠BOE．
7.如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，點(diǎn)O為垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度數(shù)；(2)若∠COE：∠EOF=2：1，求∠DOF的度數(shù)．
∴∠DOF=180°-∠COF=108°．(2)設(shè)∠EOF=x°，則∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF=3x°，∴∠AOE=4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴4x=90，解得x=22.5，∴∠COF=3x°=67.5°，∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．
8.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，OF平分∠AOC．若∠BOC=50°，求∠AOE和∠FOD的度數(shù)．
【解析】解：∵OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE=90°，∵∠BOC=50°，∵∠BOC=∠AOD=50°，∴∠AOC=180°-∠BOC=130°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠COF=65°，∵∠AOE=∠AOD+∠DOE=50°+90°=140°，
∵∠FOD=∠AOF+∠AOD=65°+50°=115°．
9.如圖，直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，射線OE在∠AOD 內(nèi)部，OF是∠EOB的平分線，且∠FOD=20°．(1)若EO⊥OD，求∠AOC的度數(shù)．(2)若∠EOD=2∠BOD，求∠AOD的度數(shù)．
【解析】解：(1)∵EO⊥OD，∴∠EOD=90°，∵∠FOD=20°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=70°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF=∠EOF=70°，
∴∠BOD=∠BOF-∠FOD=50°，∴∠AOC=∠BOD=50°．(2)設(shè)∠BOD=x°，則∠EOD=2x°，∵∠FOD=20°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=(2x-20)°，∠BOF=∠DOF+∠BOD=(x+20)°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF=∠EOF，∴2x-20=x+20，∴x=40，∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=140°．
10.在△ABC中，BC=6，AC=3，過點(diǎn)C作CP⊥AB，垂足為P，則CP長的最大值為( ____ )
【解析】解：如圖，∵CP⊥AB，∴CP≤AC，∵AC=3，
∴CP≤3，∴PC≤3，∴CP長的最大值為3，故選：C．
12.課堂上探究“對(duì)頂角相等”時(shí)，進(jìn)行了如下推理，其推理的依據(jù)為(　　)______因?yàn)椤?+∠2=180°，∠2+∠3=180°所以∠1=∠3(依據(jù)：)A.平角的定義B.同角的余角相等C.同角的補(bǔ)角相等D.同位角相等
【解析】解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°(平角的定義)，所以∠1=∠3(同角的補(bǔ)角相等)．故選：C．
13.如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠2與∠B是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠A與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是 _____ (只填序號(hào))．
【解析】解：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因此①符合題意；∠2與∠B是直線CD、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同位角，因此②符合題意；∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此③符合題意，∠A與∠ACB是直線AB、直線BC，
被直線AC所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此④不符合題意，故答案為：①②③．
14.下列各圖中，能畫出AB∥CD的是( ____ )__________A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④
【解析】解：由同位角相等兩直線平行可知：①
正確；由垂直于同一條直線的兩條直線平行可知②、③正確；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行線可知④正確．故選：D．
15.下列圖形中，由∠1=∠2能判定AB∥CD的是( ____ )
【解析】解：A、如圖，___由∠1=∠2不能判定AB∥CD故A不符合題意；B、由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故B符合題意；
C、∵∠1=∠2，∴AC∥BD，故C不符合題意；D、由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故D不符合題意；故選：B．
16.如圖，∠1=∠C，BE⊥DF于點(diǎn)P．(1)若∠2=55°，請(qǐng)求出∠B的度數(shù)；(2)若∠2+∠D=90°，求證：AB∥CD．
【解析】(1)解：∵∠1=∠C(已知)，∴BE∥CF(同位角相等，兩直線平行)，∴∠B=∠2=55°(兩直線平行，同位角相等)；(2)證明：∵BE⊥DF(已知)，∴∠DPE=90°(垂直定義)，∵BE∥CF(已證)，∴∠CFD=∠DPE=90°(兩直線平行，同位角相等)，
∴∠2+∠BFD=180-∠CFD=90°(平角定義)，∵∠2+∠D=90°(已知)，∴∠BFD=∠D(同角的余角相等)，∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．
17.如圖，AB∥CD，P為AB上方一點(diǎn)，H、G分別為AB、CD上的點(diǎn)，∠PHB、∠PGD的角平分線交于點(diǎn)E，∠PGC的角平分線與EH的延長線交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB=∠PGD；③∠P=2∠E；④若∠AHP-∠PGC=∠F，則∠F=60°．其中正確的結(jié)論有( ____ )個(gè)．A.1
______∵AB∥CD，∴∠PMB=∠PGD，∵∠PMB=∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB=∠PGD，故②正確；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB=2∠EHB，∠PGD=2∠EGD，∵AB∥CD，
∴∠PMB=∠PGD，∠ENB=∠EGD，∴∠PMB=2∠ENB，∵∠PMB=∠P+∠PHB，∠ENB=∠E+∠EHB，∴∠P=2∠E，故③正確；∵∠AHP-∠PMC=∠P，∠PMH=∠PGC，∠AHP-∠PGC=∠F，∴∠P=∠F，∵∠FGE=90°，∴∠E+∠F=90°，∴∠E+∠P=90°，∵∠P=2∠E，
∴3∠E=90，解得∠E=30°，∴∠F=∠P=60°，故④正確．綜上，正確答案有4個(gè)，故選：D．
18.如圖，E是BC延長線上的一點(diǎn)，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分別平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，則∠P的度數(shù)為( ____ )A.30°B.42°C.45°D.50°
【解析】解：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．同理：AC=AD．∴AB=AC．∵AP平分∠BAC，∴AP⊥BC．∵AD∥BC，∴AP⊥AD．∴∠PAD=90°．設(shè)∠ADB=∠CBD=∠ADB=x,
∴∠ABC=2x.∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=2x.∴∠PAC=90°-2x.∵DP平分∠BDC，∴設(shè)∠BDP=∠CDP=y,∴∠BDC=2y.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=x+2y.∵AC=DA，∴∠ACD=∠ADC=x+2y.∴∠DAC=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2(x+2y)．
∵∠PAD=90°，∴∠PAC+∠DAC=90°．∴90°-2x+180°-2(x+2y)=90°．整理得：x+y=45°，∵∠ADP=∠ADB+∠BDP=x+y,∴∠ADP=45°．∴∠P=90°-∠ADP=45°．故選：C．
19.如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G，且∠AFG=2∠D，則下列結(jié)論：①∠D=40°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ____ )A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)
【解析】解：延長FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D，∠AFI=∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC，∴3∠EHC=90°，∴∠EHC=30°，
∴∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，∴①∠D=40°錯(cuò)誤；②2∠D+∠EHC=90°正確，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI=30°×2=60°，∵∠BFD=30°，∴∠GFD=90°，∴∠GFH+∠HFD=90°，可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．故選：A．
20.如圖，將長方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'=100°，則∠DFC'的度數(shù)為( ____ )A.20°B.30°C.40°D.50°
【解析】解：由翻折知，∠EFC=∠EFC'=100°，∴∠EFC+∠EFC'=200°，∴∠DFC'=∠EFC+∠EFC'-180°=200°-180°=20°，故選：A．
21.如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G，且∠AFG=2∠D，則下列結(jié)論：①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ____ )A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【解析】解：延長FG，交CH于I．
∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D，∠AFI=∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC，∴3∠EHC=90°，∴∠EHC=30°，∴∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，∴①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°正確，
∵FE平分∠AFG，∴∠AFI=30°×2=60°，∵∠BFD=30°，∴∠GFD=90°，∴∠GFH+∠HFD=90°，可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．故選B．
22.如圖，AD∥BC，∠D=∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，若∠DEH=100°，則∠BEG的度數(shù)為( ____ )A.30°B.40°C.50°D.60°
【解析】解：設(shè)FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，
_____∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，則∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，80°+2α+180°-2β=180°故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故選：B．
23.如圖，兩面鏡子AB，BC的夾角為∠α，入射光線OM經(jīng)過鏡子兩次反射后的出射光線NO平行于AB，圖中∠1=∠2，∠3=∠4．當(dāng)OM∥BC時(shí)，∠α的度數(shù)是( ____ )A.30°B.45°C.60°D.75°
【解析】解：∵ON∥AB，∴∠4=∠α，
∵∠3=∠4，∴∠3=∠α，∵OM∥BN，∴∠1=∠α，∵∠2=∠1，∴∠2=∠α，∴∠3=∠2=∠α，∴△MNB是等邊三角形，∴∠α=60°．故選：C．
24.如圖，BC⊥AE，垂足為C，CD∥AB，∠A=50°，則∠BCD的度數(shù)是( ____ )A.40°B.50°C.60°D.70°
【解析】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∵∠A=50°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=40°，
∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=40°．故選：A．
25.將含45°角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點(diǎn)在直線m上，其中一個(gè)銳角頂點(diǎn)在直線n上．若m∥n,∠1=30°，則∠2的度數(shù)為( ____ )A.45°B.60°C.75°D.90°
【解析】解：如圖：∵∠1=30°，∴∠DAB=90°-∠1=90°-30°=60°，
∵m∥n,∴∠ABE=∠DAB=60°，∵∠ABD=45°，∴∠2=180°-45°-60°=75°，故選：C．
【解析】解：①設(shè)∠PCN=α，
∴∠ACN=∠PCN-∠ACP=α-β，∴∠PNC=4∠PCN=4α，∠NMC=2α，∵AP∥CD，∠BAC=120°，∴∠NMC=∠MCD=2α，∠ACD=180°-∠BAC=60°，∴∠MCD=∠ACD-∠ACP=60°-2β，∴2α=60°-2β，即：α=30°-β，∵∠CAB=∠PNC+∠ACN，∴120°=4α+α-β，∴5α-β=120°，將α=30°-β代入上式解得：β=5°，∴∠PCM=β=5°；
③當(dāng)點(diǎn)N在A，P之間時(shí)，_____設(shè)∠PCN=α，∠ACN=β，則∠ACP=α+β，∵CP平分∠ACM，∴∠ACP=∠PCM=α+β，∠ACM=2(α+β)，∴∠MCD=60°-∠ACM=60°-2(α+β)，由已知得：∠PNC=4∠PCN=4α，∴∠ANC=180°-∠PNC=180°-4α，
∵∠ANC=2∠NMC，∴∠NMC=90°-2α，∵∠NMC=∠MCD，∴90°-2α=60°-2(α+β)，∴β=-15°，不合題意，此種情況不存在．綜上所述：∠PCM的度數(shù)為22.5°或5°．故答案為：22.5°或5°．
27.如圖，已知長方形紙片ABCD，O是BC邊上一點(diǎn)，P為CD中點(diǎn)，沿AO折疊使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處，則∠OAB的度數(shù)是 _____ ．
28.同一平面內(nèi)有n條不重合直線，其中任何兩條都不平行，則它們相交所成的角中最小角的度數(shù)不超過 　　．
29.如圖，已知AB∥DE，∠B=150°，∠D=145°，則∠C= ____ 度．
【解析】解：過點(diǎn)C作CF平行于AB，如圖：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF?∠1=180°-∠B=30°，CF∥ED?∠2=180°-∠D=35°，∴∠BCD=∠1+∠2=65°．故填65°．
30.如圖，已知AB∥CD，則∠A、∠C、∠P的關(guān)系為 ____________________ ．
【解析】解：如圖所示，作PE∥CD，____∵PE∥CD，∴∠C+∠CPE=180°，又∵AB∥CD，∴PE∥AB，
∠A+∠C-∠P=180°
∴∠A=∠APE，∴∠A+∠C-∠P=180°，故答案為：∠A+∠C-∠P=180°．
31.請(qǐng)解答下列各題：(1)閱讀并回答：科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．如圖1，一束平行光線AB與DE射向一個(gè)水平鏡面后被反射．此時(shí)∠1=∠2，∠3=∠4．①由條件可知：∠1=∠3，依據(jù)是 ___________________________ ，∠2=∠4，依據(jù)是 __________ ．②反射光線BC與EF平行，依據(jù)是 ___________________________ ．(2)解決問題：如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b射出的光線n平行于m,且∠1=42°，則∠2= _____ ；∠3= _____ ．
兩直線平行，同位角相等
同位角相等，兩直線平行
【解析】解：(1)①由條件可知：∠1=∠3，依據(jù)是：兩直線平行，同位角相等；∠2=∠4，依據(jù)是：等量代換；②反射光線BC與EF平行，依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行；故答案為：①兩直線平行，同位角相等；等量代換．②同位角相等，兩直線平行．(2)如圖，
___∵∠1=42°，∴∠4=∠1=42°，∴∠6=180°-42°-42°=96°，∵m∥n,∴∠2+∠6=180°，∴∠2=84°，
32.如圖，AB∥CD，∠ABD的平分線交∠BDC的平分線于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，∠1=32°，求∠2的度數(shù)．
33.如圖，PQ∥MN，A，B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN=45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-4|+(b-1)2=0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng) 　　秒時(shí)，射線AM與射線BQ互相平行．_______
【解析】解：∵|a?4|+(b?1)2=0，∴a=4，b=1，設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．如圖，射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒后，AM轉(zhuǎn)動(dòng)至AM'的位置，∠MAM'=18×4=72°，分兩種情況：①當(dāng)M″到達(dá)MN前，∠QBQ'=t°，∠M'AM″=4t°，____∵∠BAN=45°=∠ABQ，
34.如圖，已知∠1+∠2=180°，且∠3=∠B，(1)試說明：∠AFE=∠ACB；(2)若CE平分∠ACB，且∠1=85°，∠3=50°，求∠AFE的度數(shù)．
【解析】(1)證明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠FDE=180°，∴∠FDE=∠2，∵∠3+∠FEC+∠FDE=180°，∠2+∠B+∠ECB=180°，∠B=∠3，∴∠FEC=∠ECB，∴EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB；
(2)解：∵∠1=85°，∠3=50°，∴∠FEC=∠1-∠3=35°，∵∠FEC=∠ECB，∴∠ECB=35°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB=70°，∴∠AFE=∠ACB=70°．
35.如圖，已知AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠E=130°，請(qǐng)判斷AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由．請(qǐng)將下面的推理過程補(bǔ)充完整．解：AB∥EF．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD．( ___________________________ )∵∠B=70°，∴∠BCD=70°．∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°．∵∠E=130°，
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
∴ ____ + ______ =180°．∴EF∥CD．∴AB∥EF．
【解析】解：AB∥EF．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD．(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠B=70°，∴∠BCD=70°．∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°．
∵∠E=130°，∴∠E+∠ECD=180°．∴EF∥CD，∴AB∥EF．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠E；∠ECD．
36.如圖①，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ)．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，∠BEF、∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；(3)如圖③，在(2)的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)使得∠PKG=2∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度數(shù)．
【解析】(1)解：AB∥CD，理由如下：∵∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠1+∠2=180°，
37.已知：如圖AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，∠BAC=70°．(1)AB與DG平行嗎？為什么？(2)求∠DGA的度數(shù)．
【解析】解：(1)AB∥DG，理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC=∠FEC=90°，∴AD∥EF，∴∠1=∠DAB，∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAB，∴AB∥DG；(2)∵AB∥DG，∴∠DGA+∠BAC=180°，∵∠BAC=70°，∴∠DGA=110°．
38.如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E=∠3．試說明：AD平分∠BAC．完成下列解答過程，并填空(理由或數(shù)學(xué)式)．證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， _____ ∴EG∥AD ______________________________________ ∴∠E= ____ . ___________________________ ∠2=∠3． ___________________________ ∵∠3=∠E，(已知)∴∠1=∠2． __________
垂直于同一條直線的兩條直線平行
∴AD平分∠BAC． __________________
【解析】證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，(已知)∴EG∥AD (垂直于同一條直線的兩條直線平行)∴∠E=∠1． (兩直線平行，同位角相等)∠2=∠3．(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠3=∠E，(已知)∴∠1=∠2．(等量代換)∴AD平分∠BAC．(角平分線的定義)故答案為：已知；垂直于同一條直線的兩條直線平行；∠1；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，
內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；角平分線的定義．
39.如圖，已知∠1=∠2，∠A=∠D．求證：AE∥DF．___
【解析】證明：∵∠1=∠2，∴CD∥AB，∴∠D+∠ABD=180°，
∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABD=180°，∴AE∥DF．
40.【閱讀理解】如圖①，∠BAE與∠DCE的邊AB與CD互相平行，另一組邊AE、CE交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在AB、CD之間，且在直線AC右側(cè)，試說明：∠BAE+∠DCE=∠AEC．老師在黑板中寫出了部分求解過程，請(qǐng)你完成下面的求解過程，并填空(理由或數(shù)學(xué)式)．解：如圖②，過點(diǎn)E作EM∥AB．∴∠BAE=∠AEM ___________________________ ．∵AB∥CD _____ ，∴EM∥CD ______________________________________ ．∴∠DCE=∠CEM．∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM． _____________ ∴∠BAE+∠DCE=∠AEC．
平行于同一條直線的兩條直線平行
【理解應(yīng)用】如圖③，當(dāng)圖①中的點(diǎn)E在直線AC左側(cè)時(shí)，其它條件不變，若∠AEC=120°求∠BAE與∠DCE的和．【拓展】∠BAE與∠DCE的邊AB與CD互相平行，且點(diǎn)B、D在直線AC同側(cè)，另一組邊AE、CE交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在AB、CD之間．若∠BAE的角平分線與∠DCE的角平分線交于點(diǎn)F，設(shè)∠E=α，請(qǐng)借助圖①和圖③，用含α的代數(shù)式直接寫出∠AFC的度數(shù)．__________
【解析】解：【閱讀理解】如圖②，過點(diǎn)E作EM∥AB．____∴∠BAE=∠AEM(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵AB∥CD(已知)，∴EM∥CD(平行于同一條直線的兩條直線平行)．∴∠DCE=∠CEM．∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM(等式的性質(zhì))．
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；平行于同一條直線的兩條直線平行；等式的性質(zhì)．【理解應(yīng)用】過點(diǎn)E作EN∥AB，如圖③所示：____∴∠BAE+∠AEN=180°，∵AB∥CD，∴EN∥CD，
∴∠CEN+∠DCE=180°，∴∠BAE+∠AEN+∠CEN+∠DCE=360°，即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，∵∠AEC=120°，∴∠BAE+∠DCE=360°-∠AEC=360°-120°=240°，∴∠BAE與∠DCE的和是240°．【拓展】分兩種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)E在直線AC右側(cè)，如圖④所示：
____設(shè)∠BAF=β，∠DCF=θ，∵AF是∠BAE的角平分線，∴∠EAF=∠BAF=β，∠BAE=2∠BAF=2β，∵CF是∠DCE的角平分線，∴∠ECF=∠DCF=θ，∠DCE=2∠DCF=2θ，由【閱讀理解】的結(jié)論得：∠AEC=∠BAE+∠DCE=2(β+θ)，∠AFC=∠BAF+∠DCF=β+θ，

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