廣東省惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份廣東省惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析版），共14頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
數(shù)學(xué)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．設(shè)向量 =（–4，x）， =（–x，1），若與同向，則x＝（ ）
A．2B．–2C．±2D．0
2．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的取值為（ ）
A．1B．-1C．D．0
3．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．B．1
C．2D．3
4．某船從A處向北偏東方向航行千米后到達(dá)B處，然后朝南偏西的方向航行6千米到達(dá)C處，則A處與C處之間的距離為（ ）
A．千米B．千米C．3千米D．6千米
5．中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，則角A的大小為（ ）
A．B．或C．D．或
7．已知，，且，則向量與的夾角為
A．B．C．D．
8．如圖，在△中，點(diǎn)M是上的點(diǎn)且滿足，N是上的點(diǎn)且滿足，與交于P點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.
9．下列命題，其中不正確的是（ ）
A．已知復(fù)數(shù)，，，則僅當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)
B．已知復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則
C．已知復(fù)數(shù)，則
D．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
10．已知中，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為等腰三角形
11．已知向量，，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最大值為6D．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知向量，，若，則實(shí)數(shù) ．
13．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．

14．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知的面積為4，，，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)若，求復(fù)數(shù)以及模.
16．在中，，，．
(1)求A的大小；
(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．
17．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為.

(1)求；
(2)求向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).
18．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下列問題中，并解決該問題.
在中，角所對(duì)的邊分別為，__________，且.求：
(1)；
(2)周長(zhǎng)的取值范圍.
19．某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．

(1)求的值；
(2)測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？
1．A
【分析】由向量共線的充要條件求解即可
【詳解】由題可得，–4×1–x?（–x）＝0，解得x＝±2；
當(dāng)x＝2時(shí)， =（–4，2）， =（–2，1），此時(shí)與同向，符合題意；
當(dāng)x＝–2時(shí)， =（–4，-2）， =（2，1），此時(shí)與反向，不符合題意；
綜上，x＝2．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，注意檢驗(yàn)同向，是易錯(cuò)題
2．A
【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，
所以且，解得.
故選：A
3．D
【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到的不等式組，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
所以，解得，
所以ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)題設(shè)條件畫出圖形，結(jié)合圖形利用余弦定理計(jì)算即得.
【詳解】如圖，在中，，
由余弦定理得：，
所以A處與C處之間的距離為千米.
故選：B
5．C
【分析】根據(jù)條件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面積.
【詳解】∵，∴∴
則，.
故選：C.
6．D
【分析】利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.
【詳解】由題意知中，，，
故，即，
由于，故，則或，
故A的大小為或，
故選：D
7．A
【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)的定義求出夾角的余弦，從而得夾角大?。?br>【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)?，，所以?br>，則向量與的夾角為.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，考查運(yùn)算求解能力.由數(shù)量積的定義有．
8．B
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.
【詳解】，，
由，P，M共線，存在，使①，
由N，P，B共線，存在，使得②，
由①② ，故.
故選：B.
9．AD
【分析】A選項(xiàng)應(yīng)當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)，D選項(xiàng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.
【詳解】復(fù)數(shù)，，，則僅當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，所以B選項(xiàng)正確；
復(fù)數(shù)，則，所以C選項(xiàng)正確；
復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AD
10．ABD
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A；利用正弦定理化邊為角以及三角形中大邊對(duì)大角即可判斷B；利用余弦定理化角為邊即可判斷C；根據(jù)二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因在上單調(diào)遞減，且，
因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理以及三角形中大邊對(duì)大角，
所以若，則，則，故B正確；
對(duì)于C，，由余弦定理可得，所以，
所以為直角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>所以，又，所以，
所以或（舍去），
所以為等腰三角形，故D正確.
故選：ABD.
11．ACD
【分析】根據(jù)，有，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，得，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)向量減法三角形法則有，分別求出，，有，反向時(shí)取得最大值，根據(jù)向量的幾何意義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)，得，又，可計(jì)算，從而判斷D選項(xiàng).
【詳解】若，則，解得，A正確；
若，則，解得， 所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，而?br>當(dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)等號(hào)成立，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，的起點(diǎn)為
坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的終點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，向量
終點(diǎn)在第二象限，當(dāng)，反向，則向量的終點(diǎn)應(yīng)在第四象限，
此時(shí)，，所以C正確；
若，則，
即，所以，
，
所以，D正確.
故選：ACD
12．
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，再根據(jù)可知，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立關(guān)于的方程，求解方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，
又，所以，
即，所以。
故答案為：.
13．
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
故，
所以，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值.

故答案為：.
14．
【分析】由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，再由A的范圍求得角A的余弦和正弦，由余弦定理可求得答案.
【詳解】的面積為4，，，所以，所以，
又，所以，，，
又，由余弦定理得，所以.
故答案為: .
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積、三角形的面積公式和余弦定理，屬于中檔題.
15．(1)
(2);
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合純虛數(shù)的概念可解得答案；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則先求得復(fù)數(shù)，然后可求得．
【詳解】（1），，
又為純虛數(shù)，且，解得，
；
（2），．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.
【詳解】（1）由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>（2）設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．
的面積，
由，得．
17．(1)3
(2)
【分析】（1）由題可知：，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；
（2）利用向量在向量上的投影向量為求解即可.
【詳解】（1）由題可知：，
則.
（2）
記與的夾角為，
則向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）選①由三角恒等變換可得求出角，選②由三角形面積公式及數(shù)量積公式化簡(jiǎn)得出即可求解，選③轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等變換可得，利用正弦函數(shù)的值域求范圍即可得解.
【詳解】（1）若選①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若選②
，
，，
，.
若選③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.
19．(1)
(2)預(yù)算資金夠用
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【詳解】（1）解：由，
得，
則，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于觀光通道每米的造價(jià)為2000元，所以總造價(jià)低于元，故預(yù)算資金夠用．