（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，務必擦凈后再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則（ ）
A．B．C．1D．2
3．設是兩個平面，是兩條直線，則的一個充分條件是（ ）
A．B．
C．D．與相交
4．甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發(fā)現乙的質量為甲的質量的，則滿足的關系式為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數，若關于的方程至少有兩個不同的實數根，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．記的內角的對邊分別為，已知．則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線左支上，線段交軸于點，且．設為坐標原點，點滿足：，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知圓，圓，則（ ）
A．兩圓的圓心距的最小值為1
B．若圓與圓相切，則
C．若圓與圓恰有兩條公切線，則
D．若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2
10．已知等比數列的公比為，前項和為，則（ ）
A．
B．對任意成等比數列
C．對任意，都存在，使得成等差數列
D．若，則數列遞增的充要條件是
11．已知函數，則（ ）
A．函數在上單調遞減
B．函數為奇函數
C．當時，函數恰有兩個零點
D．設數列是首項為，公差為的等差數列，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．在的展開式中，的系數為_________．
13．拋物線的焦點為，準線為為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，與軸交于點，若，則_________．
14．已知實數，滿足，則的最小值為_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求與平面所成角的正弦值．
16．（15分）
已知橢圓的右焦點為，左頂點為，短軸長為，且經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線（不與軸重合）與交于兩點，直線與直線的交點分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．
17．（15分）
樹人中學高三（1）班某次數學質量檢測（滿分150分）的統計數據如下表：
在按比例分配分層隨機抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數記為，方差記為；把總樣本數據的平均數記為，方差記為．
（1）證明：；
（2）求該班參加考試學生成績的平均數和標準差（精確到1）；
（3）假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布，以該班參加考試學生成績的平均數和標準差分別作為和的估計值．如果按照的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為四個等級，試確定各等級的分數線（精確到1）．
附：．
18．（17分）
已知曲線在點處的切線為．
（1）求直線的方程；
（2）證明：除點外，曲線在直線的下方；
（3）設，求證：．
19．（17分）
在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對平面直角坐標系中兩個點和，記
，
稱為點與點之間的“-距離”，其中表示中較大者．
（1）計算點和點之間的“距離”；
（2）設是平面中一定點，．我們把平面上到點的“距離”為的所有點構成的集合叫做以點為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點為圓心，以為半徑的“圓”的面積；
（3）證明：對任意點．
性別
參加考試人數
平均成績
標準差
男
30
100
16
女
20
90
19
2024年合肥市高三第二次教學質量檢測
數學試題參考答案及評分標準
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9．AD 10．ACD 11．BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．15 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15．解析：（1）如圖所示，取的中點，連接．
因為是正三角形，所以．
又因為平面底面平面，
所以平面，且．
又因為是的中點，到平面的距離為，
．
所以三棱錐的體積為．
（2）連接，因為，
所以為等邊三角形，所以，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
所以．
設平面的法向量為，
則，即，取，則，
所以．
設與平面所成角為，則．
即與平面所成角的正弦值為．
注：其他解法酌情賦分．
16．解析：（1）因為，所以，再將點代入得，
解得，故粗圓的方程為；
（2）由題意可設，
由可得，
所以，
又因為，
所以直線的方程為，令，則，故，
同理，
從而，
故．
注：其他解法酌情賦分．
17．解析：（1）
,
同理．
所以
（2）將該班參加考試學生成績的平均數記為，方差記為，
則，
所以
又，所以．
即該班參加考試學生成績的平均數為96分，標準差約為18分．
（3）由（2）知，所以全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布，
所以．
．
故可將定為等級，定為等級，定為等級，定為等
級．
注：其他解法酌情賦分．
18．解析：（1）因為，
所以，
所以直線的方程為：
（2）令，則
，令，則，由，解得，由，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當且僅當等號成立，
所以除切點之外，曲線在直線的下方．
（3）由，解得，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，，
當時，．
因為，則，不妨令．
因為曲線在點的切線方程為，
設點在切線上，有，
由（1）知時，，
則，即，
要證：，
只要證：，
只要證：，
又，
只要證：，
令，
則，
易證在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以在上單調遞減，所以成立，
所以原命題成立．
注：其他解法酌情賦分．
19．解析：（1）由定義知，；
（2）設是以原點為圓心，以為半徑的-圓上任一點，則．
若，則；
若，則有．
由此可知，以原點為圓心，以為半徑的圓的面積為4
（3）考慮函數．
因為，所以在上單調遞增．
又，于是
，
同理，．
不妨設，則
注：其他解法酌情賦分．

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