1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時間120分鐘．
2．請將各題答案填寫在答題卡上．
3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，且，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)的極值點為a，則（ ）
A B. 0C. 1D. 2
5. 設(shè)x，y滿足約束條件，則最大值為（ ）
A. 11B. 7C. －1D. －4
6. 已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（ ）
A. B. C. D.
7 若，，則（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
8. 已知F是拋物線C：的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，且A，B到直線的距離之和等于，則（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 14
9. 記數(shù)列前n項積為，設(shè)甲：為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列，則（ ）
A. 甲是乙的充分不必要條件
B. 甲是乙的必要不充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲是乙的既不充分也不必要條件
10. 已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
11. 如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（ ）
A. B. C. D.
12. 已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．
13. 在等差數(shù)列中，，則______．
14. 甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，______研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.
15. 若，，則______．
16. 在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個圓錐，則該圓錐體積的最大值為______．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 如圖，在三棱錐中，平面，、分別為、的中點，且，，．
（1）證明：平面．
（2）求到平面的距離．
18. 為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）求的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.
19. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，的面積為S．周長為L，求的最大值．
20. 已知橢圓：的離心率為．
（1）求的方程；
（2）過的右焦點的直線與交于，兩點，與直線交于點，且，求的斜率．
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有3個零點，求的取值范圍．
（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］
22. 在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．
（1）求C與l的直角坐標方程；
（2）若P是C上的一個動點，求P到l的距離的取值范圍．
［選修4-5：不等式選講］
23. 已知函數(shù)的最小值為8．
（1）求a；
（2）若在上單調(diào)遞減，求不等式的解集．高三數(shù)學(xué)試卷（文科）
考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時間120分鐘．
2．請將各題答案填寫在答題卡上．
3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡式子即可得出結(jié)論
【詳解】由題意，
故選：A.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通過將集合中的元素代入集合 ，看是否符合不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴和滿足集合的要求，
∴，
故選：C.
3. 已知向量，，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)坐標運算的加減法進行運算，再結(jié)合向量垂直即可得出結(jié)果.
詳解】由題，
因為，所以，.
故選：B.
4. 已知函數(shù)的極值點為a，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點，再代入求出函數(shù)值.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當時，，當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是的極小值點，且是唯一極值點，
所以，.
故選：B
5. 設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A. 11B. 7C. －1D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)的幾何意義得到當過點時，取得最大值，求出答案.
【詳解】由約束條件作出可行域和目標函數(shù)，
變形為，由于為在軸上的截距，
要想得到的最大值，只需得到在軸上的截距的最小值，
顯然當過點時，取得最大值，
聯(lián)立，解得，
將代入，，
當直線l：經(jīng)過點時，z取得最大值11．
故選：A
6. 已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助雙曲線定義計算即可得.
【詳解】由雙曲線定義可知：，
則三角形的周長為，
故.
故選：D.
7. 若，，則（ ）
A 1B. －1C. 2D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算法則、換底公式的應(yīng)用.
【詳解】由，
所以
故選：A
8. 已知F是拋物線C：的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，且A，B到直線的距離之和等于，則（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出，列出方程求解即得.
【詳解】依題意，設(shè)點，而拋物線C：準線方程為，
則，點到直線的距離和為，
因此，所以.
故選：C
9. 記數(shù)列的前n項積為，設(shè)甲：為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列，則（ ）
A. 甲是乙的充分不必要條件
B. 甲是乙的必要不充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列定義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.
【詳解】若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，
于是，，當時，不是常數(shù)，
此時數(shù)列不是等比數(shù)列，則甲不是乙的充分條件；
若為等比數(shù)列，令首項為，公比為，則，，
于是當時，，而，
當時，不是等比數(shù)列，即甲不是乙的必要條件，
所以甲是乙的既不充分也不必要條件.
故選：D
10. 已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象確定周期的范圍，得出，再由特殊點求出即可得解.
【詳解】由圖可知，，則．
，．解得，，故，
則，所以，
故的最小正周期為．
故選：B
11. 如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接、、、、、，借助平行線的性質(zhì)可得四點共面，即可得線段與相交，線段與相交，線段與相交，從而排除A、B、C.
【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點，
易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯誤；
連接，，有，，故，
所以線段與相交，C錯誤；
連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.
故選：D.
12. 已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.
【詳解】,
,
,
,
,
,

,

故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵是通過計算觀察得到,進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．
13. 在等差數(shù)列中，，則______．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用首項表示公差，再借助等差數(shù)列通項計算即得.
【詳解】令等差數(shù)列的公差為，由，得，
因此，所以.
故答案為：3
14. 甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，______研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.
【答案】乙
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】因為，所以這四人中，乙研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高，
故答案為：乙.
15. 若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件可得，根據(jù)兩角和的正切公式化簡即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，
又因為，，
所以上式可化為：.
故答案為：
16. 在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個圓錐，則該圓錐體積的最大值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用球的截面小圓性質(zhì)，用圓錐的高表示出圓錐的底面圓半徑，再求出圓錐體積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.
【詳解】過圓錐的軸的平面截球面得大圓，截圓錐得軸截面等腰三角形，是球的截面大圓的內(nèi)接三角形，如圖，
設(shè)圓錐的高為，圓錐底面圓半徑為，球心到圓錐底面距離，
則，即，圓錐體積，
求導(dǎo)得，當時，，當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以圓錐體積的最大值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 如圖，在三棱錐中，平面，、分別為、的中點，且，，．
（1）證明：平面．
（2）求到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，證，最后根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；’
（2）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法求距離即可.
【小問1詳解】
因為、分別為、的中點，所以為的中位線，
所以，，因為，所以；
在中，，，，所以，
所以，即；
因為平面，平面，所以；
又平面，平面，，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）可知、、兩兩垂直，
建立如圖所示分別以、、為、、軸的空間直角坐標系，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則有，
即，令，則，，所以，
設(shè)到平面的距離為，則.
18. 為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）求的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.
【答案】（1）；
（2）分布列見詳解；
【解析】
【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數(shù)計算公式求解；
（2）根據(jù)分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.
【小問1詳解】
由圖可知，，
解得，
該村村民成績的平均數(shù)約為
；
【小問2詳解】
從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，
其中成績在的村民有人，
成績在的村民有4人，
從中任選3人，的取值可能為1,2,3，
，，，
則的分布列為
故
19. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，的面積為S．周長為L，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，再由三角恒等變換化簡即可得解；
（2）由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進行求解即可.
【小問1詳解】
由正弦定理可得，，
所以,
所以，
即，
由，可知，
所以，即，
由，知.
【小問2詳解】
由余弦定理，得，即，
所以，即，
因為，，
所以，
所以，又（當且僅當時取等號），
所以（當且僅當時取等號），
所以（當且僅當時取等號），
所以（當且僅當時取等號），
即的最大值為.
20. 已知橢圓：的離心率為．
（1）求的方程；
（2）過的右焦點的直線與交于，兩點，與直線交于點，且，求的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由離心率公式求出即可；
（2）首先計算直線的斜率為時不符合題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，表示出，再求出點坐標，即可得到，從而得到方程，求出即可.
【小問1詳解】
因為橢圓：的離心率為，
所以，解得，
所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
由（1）可得，
當直線的斜率為時，則，，，
所以，，顯然不滿足，故舍去；
依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，，，
由，消去整理得，
顯然，則，，
所以
，
又解得，所以，
所以，
因為，所以，解得，
綜上可得的斜率為.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有3個零點，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分與1的大小關(guān)系討論即可；
（2）分別討論與的大小時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求有3個零點時極值的范圍即可求出結(jié)果.
小問1詳解】
，
令，解得或，
①當，即時，
由得或；由得，
所以和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
②當，即時，
恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
③當，即時，
由得或；由得，
所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
綜上，
當時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
因為有3個零點，所以，
當時，極大值；極小值，
所以，解得，
當時，極大值；極小值，
所以，解得，
綜上，的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：
（1）帶參數(shù)的單調(diào)性討論問題可按照如下步驟求解：求導(dǎo)，討論方程的性質(zhì)，根的個數(shù)，根的大小，根與給定區(qū)間的關(guān)系；
（2）已知方程根的個數(shù)求參數(shù)時，可求導(dǎo)分析極值，利用極值范圍求解.
（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］
22. 在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．
（1）求C與l的直角坐標方程；
（2）若P是C上的一個動點，求P到l的距離的取值范圍．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）消去參數(shù)求出曲線C的普通方程；利用極坐標與直角坐標的互化公式求出l的直角坐標方程.
（2）利用點到直線的距離公式，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出取值范圍.
【小問1詳解】
消去曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)得：，
把代入直線l的極坐標方程得：，
所以C與l的直角坐標方程分別為，.
【小問2詳解】
顯然曲線C是以點為圓心，為半徑的圓，
點到直線的距離，
顯然直線與圓相離，于是圓上動點到直線的最小值為，最大值為，
所以P到l的距離的取值范圍是.
［選修4-5：不等式選講］
23. 已知函數(shù)的最小值為8．
（1）求a；
（2）若在上單調(diào)遞減，求不等式的解集．
【答案】（1）或.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用絕對值的三角不等式求出的最小值，結(jié)合已知即可求出.
（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合單調(diào)性，確定的解析式，再解含絕對值符號的不等式.
【小問1詳解】
依題意，，當且僅當時取等號，
即函數(shù)的最小值為，因此，解得或，
所以或.
【小問2詳解】
由（1）知，當時，，當時，，顯然函數(shù)在上不遞減，
當時，，顯然在上單調(diào)遞減，
由，得或或，解得或，
所以不等式的解集是.
1
2
3

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青海省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考模擬預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題
江西省穩(wěn)派聯(lián)考2023屆高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）

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2023屆江西省部分學(xué)校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題含解析

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