命題人 李群麗 審題人 陳朝陽
注意事頂：
1．答卷前、考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時、選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動、用橡皮擦干凈后、再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．定義差集，已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為，則另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差分別為（ ）
A．B．C．D．
3．設復數(shù)滿足這在復平面內(nèi)對應的點為，則（ ）
A．B．C．D．
4．向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式、已知在中，是中點，，則（ ）
A．B．16C．D．8
5．南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlrenceNightingale）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小，某機構統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾攻瑰圖（如圖所示）、根據(jù)此圖，以下說法錯誤的是（ ）
A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加
B．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量在2018年最多
C．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增
D．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍
6．已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．直線是函數(shù)圖象的對稱軸
B．在區(qū)間上有兩個極值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象可由向左平移個單位長度得到
7．已知點為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，設線段的中點為，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．中國古建筑聞名于世，源遠流長．如圖甲所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構示意圖如圖乙所示，在結(jié)構示意圖中，已知四邊形為矩形，與都是邊長為2的等邊三角形，若點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．已知直線與圓：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．對，直線恒過一定點
B．，使得直線與圓相切
C．對，直線與圓一定相交
D．直線與元相交且直線被圓所截得的最短弦長為
10．已知滿足，且的面積，則下列命題正確的是（ ）
A．的周長為
B．的三個內(nèi)角滿足關系
C．的外接圓半徑為
D．的中線的長為
11．已知．若存在，使得成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在處的切線與函數(shù)在處的切線吻合
B．當時，
C．當時，
D．若恒成立，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．的展開式中的系數(shù)為_________。
13．若，則_________。
14．已知數(shù)列的通項公式為是數(shù)列的前項和，則_________。
四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答、解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)．
（1）當時，求在處的切線方程
（2）討論在區(qū)間上的最小值．
16．（本小題滿分15分）
汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：
（1）統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關關系，求關于的經(jīng)驗回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；
（2）某新能源汽車品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號為1，2，3的三個相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號的享受七折優(yōu)惠，三次中僅有兩次摸到相同編號的享受八折優(yōu)惠，其余情況均享受九折優(yōu)惠，已知此款新能源汽車一臺標價為100000元，設小李購買此款新能源汽車的價格為，求的分布列與均值．
附：為經(jīng)驗回歸方程，．
17．（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面為梭的中點，四棱錐的體積為．
（1）若為棱的中點，求證：平面；
（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為?若存在．求出線段的長度；若不存在，請說明理由．
18．（本小題滿分17分）
已知雙曲線的右頂點，它的一條漸近線的傾斜角為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點（作直線交雙曲線于兩點（不與點重合），求證：；
（3）若過雙曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，且分別在第一象限和第四象限，若，求面積的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列．若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為的減數(shù)列：
①；
②對于，使得的正整數(shù)對有個．
（1）寫出所有4的1減數(shù)列；
（2）若存在的6減數(shù)列，證明：；
（3）若存在2024的減數(shù)列，求的最大值．
炎德·英才大聯(lián)考雅禮中學2024屆高三月考試卷（八）
數(shù)學參考答案
一、二、選擇題
1．B【解析】因為，所以，所以．故選B．
2．C【解析】因為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為，所以另一組數(shù)據(jù)，
的平均數(shù)為，方差為．平均數(shù)、標準差分別為．故選C．
3．D
4．A【解析】由題設，．故選A．
5．C【解析】對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法正確；
對于B和C，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；
2017年，年，
2019年，年，；
2021年，年，；
則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法正確，C說法錯誤；
對于D，由，則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D說法正確．綜上，說法錯誤的選項為C．故選C．
6．C【解析】因為函數(shù)的圖象關于點中心對稱，所以，
可得，結(jié)合，得，所以．
對于A，，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故A不正確；
對于B，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，故B不正確；
對于C當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，左移個單位長度后得到，故D錯誤．故選C．
7．A【解析】由題意可得．
如圖，因為分別是和的中點，所以，根據(jù)橢圓定義，可得，又因為，
所以，
所以，
故的面積為．故選A．
另法：此題用等腰三角形求高或海倫公式更快捷．
8．A【解析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且，分類討論當在線段上和在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可得球半徑的平方為，再用球的表面積公式計算即可．
如圖，連接，
設，因為四邊形為矩形，所以為矩形外接圓的圓心．連接，則平面，分別取的中點，
根據(jù)幾何體的對稱性可知，直線交于點．
連接，則，且為的中點，
因為，所以，連接，
在與，易知，所以梯形為等腰梯形，所以，
且．
設，球的半徑為，連接，
當在線段上時，由球的性質(zhì)可知，易得，
則，此時無解．
當在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，，解得，
所以，所以球的表面積．故選A．
9．ACD【解析】由題設，令
所以直線恒過定點，A對；
又的標準方程為，顯然，
所以點在圓內(nèi)，故直線與圓必相交，B錯，C對；要使直線與圓相交弦長最短，只需定點與圓心的連線與已知直線垂直，此時定點與直線距離為，又圓的半徑為2，則最短相交弦長為，D對．故選ACD．
10．BC【解析】因為滿足
所以，
設，
利用余弦定理，
由于，所以．
對于A，因為，
所以，解得．
所以，
所以的周長為，故A不正確；
對于B，因為，所以，故，故B正確；
對于C，由正弦定理得外接圓半徑為，故C正確；
對于D，如圖所示，
在中，利用正弦定理，解得，
又，所以，
在中，利用余弦定理，解得，故D不正確．故選BC．
11．ABC【解析】選項A，由，
得，又驗證知，
切線方程都為，故A正確；
選項B，，
則，且，
由，得，
當時，，則在上遞增，
所以當時，有唯一解，故，
，故B正確；
選項C，由B正確，得，
設，則，
令，解得，
易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，故C正確；
選項D，由恒成立，即恒成立，
令，則，
由在上遞增，又，
存在，使，
在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）．
，
要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯誤．
故選ABC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．
13．【解析】依題意，，解得，
故
14．【解析】因為，
設
所以
四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【解析】（1）當時，，
所以時，函數(shù)在處的切線方程為．
（2）．
當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值為：；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為：；
當時，函數(shù)的最小值為：．
故
16．【解析】（1）由題意得，
．
所以．
所以關于的經(jīng)驗回歸方程為，令，得，
所以最小的整數(shù)為，
所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．
（2）有放回地摸球，每次摸到某個編號的概率為，
則三次摸到相同編號的概率為；
三次中僅有兩次摸到相同編號的概率為；
故．
17．【解析】（1）取中點，連接分別為的中點，
底面四邊形是矩形，為棱的中點，
，
故四邊形是平行四邊形，．
又平面平面，
平面．
（2）假設在梭上存在點滿足題意，
在等邊中，為的中點，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，則是四棱錐的高．
設，則，
∴，所以
以點為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
故．
設，
．
設平面的一個法向量為，
則
?。?br>易知平面的一個法向量為，
故存在點滿足題意．
18．【解析】（1）易知，
故雙曲線的方程為．
（2）由已知可得，直線的方程為，
聯(lián)立，其中，且時，
則，
，
．
（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，
故設直線方程為：，
設，
點在雙曲線上，，
，
③
又
④
聯(lián)立，
⑤，⑥，
分別在第一象限和第四象限，，
由④式得：，
⑦
將⑤⑥代入⑦得：，
令
由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
19．【解析】（1）由題意得，則或，
故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1．
（2）因為對于，使得的正整數(shù)對有個，
且存在的6減數(shù)列，所以，得．
①當時，因為存在的6減數(shù)列，
所以數(shù)列中各項均不相同，所以．
②當時，因為存在的6減數(shù)列，
所以數(shù)列各項中必有不同的項，所以．
若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，
所以，不符合題意，所以．
③當時，因為存在的6減數(shù)列，
所以數(shù)列各項中必有不同的項，所以．
綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則．
（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，若，所以數(shù)列存在大于1的項，若末項，
將拆分成個1后變大，所以此時不是最大值，
所以．當時，若，交換的順序后變?yōu)椋?br>所以此時不是最大值，所以．若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項1，所以變大，
所以此時不是最大值，所以．
若數(shù)列中存在相鄰的兩項，設此時中有項為2，
將改為2，并在數(shù)列末尾添加一項1后，的值至少變?yōu)椋?br>所以此時不是最大值，所以數(shù)列的各項只能為2或1，所以數(shù)列為的形式．
設其中有項為2，有項為1，
因為存在2024的減數(shù)列，所以，
所以，
所以，當且僅當時，取最大值為512072．年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼
1
2
3
1
5
銷量/萬輛
10
12
17
20
26
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
A
C
C
A
A
ACD
BC
ABC
70000
80000
90000

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