一、選擇題
1．已知向量，滿足，則( )
A.3B.C.7D.
2．已知，則( )
A.B.C.D.
3．若，，且x，y滿足關(guān)系式，則的最小值為( )
A.B.C.D.
4．如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
5．已知為銳角，且，則的值為( )
A.40°B.50°C.70°D.80°
6．已知函數(shù).設(shè)時，取得最大值.則( )
A.B.C.D.
7．定義行列式運(yùn)算：，若將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是( )
A.B.C.D.
8．如圖，一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關(guān)系可以表示為( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是( )
A.函數(shù)的最小正周期是
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
C.函數(shù)在單調(diào)遞增
D.函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移后關(guān)于y軸對稱
10．如圖，中，，點(diǎn)E在線段AC上，AD與BE交于點(diǎn)F，，則下列說法正確的是( )
A.B.
C.D.
11．下列命題中錯誤的是( )
A.已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B.長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C.方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
三、填空題
12．已知，則______.
13．如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則______.
14．若向量，滿足，，且，則在上的投影數(shù)量為_________.
四、解答題
15．如圖，在四邊形中，，，，且.
（1）用，表示；
（2）點(diǎn)P在線段上，且，求的值.
16．已知，，.
（1）求：
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，與垂直？
（3）若，不共線，與反向，求實(shí)數(shù)k的值.
17．已知函數(shù)，為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求方程的所有根的和.
18．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，A是半徑上的動點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，且.
（1）若，求線段的長；
（2）求矩形面積的最大值.
19．對于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對的“余弦方差”.
（1）若集合，，求集合A相對的“余弦方差”；
（2）求證：集合，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值，求出、.
參考答案
1．答案：B
解析：向量，滿足，
，
，
，
.
故選：B.
2．答案：C
解析：因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
3．答案：B
解析：由得：，
，，，，
且，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
的最小值為.
故選：B.
4．答案：B
解析：由題意可得，
，
當(dāng)與正六邊形的邊垂直時，，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到正六邊形的頂點(diǎn)時，，
所以，則，即.
故選：B.
5．答案：B
解析：由可得，
即，
所以，
又為銳角，故，
故選：B.
6．答案：C
解析：，其中，；
所以當(dāng)時，，取得最大值，
由題意，即.
.
故選：C.
7．答案：D
解析：的圖象向右平移個單位后，得的圖象，因此，又，所以的最小正值為，選D.
8．答案：A
解析：設(shè)，
由題意可知，，，解得，，
函數(shù)的最小正周期為，
則，
當(dāng)時，，可得，
又因?yàn)?，則，故，
故選：A.
9．答案：BC
解析：對A，由對稱性得，故，即，，故A錯誤；
對B，函數(shù)對稱中心為，，當(dāng)時圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；
對C，函數(shù)在，即，上單調(diào)遞增，故C正確；
對D，函數(shù)，且，故，
由圖象可得，，故，，不妨設(shè)，
則.
故的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得，再向右平移后得，不關(guān)于y軸對稱，故D錯誤.
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：對于A：根據(jù)，
故，故A正確；
對于B：設(shè)，則，，
，又，
，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，，
且，，，故，故B錯誤；
對于D：由于，故，
，故D正確；
對于C，
，
，
，故C正確.
故選：ACD.
11．答案：BCD
解析：對于A，因?yàn)?，為平面?nèi)兩個不共線的向量，
設(shè)，，
則，無解，
所以，不共線，
則可作為平面的一組基底，故A正確；
對于B，根據(jù)共線向量的定義知，方向相反的向量一定是共線向量，
故B錯誤；
對于C，根據(jù)向量的定義知，向量不能比較大小，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，滿足，
此時任意實(shí)數(shù)使得，故D錯誤，
故選：BCD.
12．答案：
解析：因?yàn)椋淼茫?br>所以，所以，
所以.
故答案為：.
13．答案：16
解析：由可得，解得.
又，故，故.
故答案為：16.
14．答案：
解析：因?yàn)?，，?br>所以，即，則，
所以在上的投影數(shù)量為.
故答案為：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以.因?yàn)椋?br>所以
（2）因?yàn)椋?br>所以.因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)O，A，D共線.
因?yàn)椋?br>所以.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，，?br>所以，，.
所以，.
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段上，且，
所以
所以.
因?yàn)椋?br>所以.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因?yàn)椋?，?br>所以，，
則.
（2）因?yàn)榕c垂直，
所以，
解得.
（3）因?yàn)榕c反向，
所以存在，使得，
因?yàn)椋还簿€，所以，解得或（舍去），
所以.
17．答案：(1)，遞減區(qū)間為，
(2)
解析：(1)由題意，，
圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，則，，
又，，故，
令，，得，，
函數(shù)的遞減區(qū)間為，.
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，則或，
即或.
令，當(dāng)時，，
畫出的圖象如圖所示：
有兩個根，，關(guān)于對稱，即，
有，，，
在上有兩個不同的根，，，；
又的根為0，，，
所以方程在內(nèi)所有根的和為.
18．答案：（1）
（2）矩形面積的最大值為
解析：（1）且，
為等邊三角形，，
又四邊形為矩形，，，
在扇形中，半徑，
過B作的垂線，垂足為N，
，
在中，.
（2）矩形面積，
設(shè)，由（1）可知，，
，，
，
，
，，
當(dāng)，即時，矩形面積的最大值，
最大值為.
19．答案：（1）
（2）證明見解析，
（3），或，
解析：（1）依題意得，.
（2）證明：由“余弦方差”定義得：，
則分子
，
為定值，與的取值無關(guān).
（3）分子
.
要使是一個與無關(guān)的定值，
則，
，
與終邊關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又，得與終邊只能關(guān)于y軸對稱，
，
又，，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
故，或，，
故，或，時，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值.

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