一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為( )
A.B.1C.1或D.或0
2．下列說法錯誤的是( )
A.球體是旋轉(zhuǎn)體B.圓柱的母線平行于軸
C.斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形D.用平面截正棱錐所得的棱臺叫做正棱臺
3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若，，，則b的長為( )
A.B.C.D.1
4．設(shè)為單位向量，，當(dāng)，的夾角為時，在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
5．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則“是鈍角三角形”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．設(shè)有兩條不同的直線m,n和兩個不同的平面,,則下列命題正確的是( )
A.若,,則
B.若,,,,則
C.若,,則
D.若,,則
7．某車間生產(chǎn)一種圓錐形高腳杯，杯口直徑為，高為R，將該高腳杯裝滿水（水面與杯口齊平），現(xiàn)將一直徑為的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入（整個鐵球在水面以下）水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為高腳杯容積的，則( )
A.B.C.D.
8．已知外接圓圓心為O，G為所在平面內(nèi)一點，且.若，則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．復(fù)數(shù)z滿足，則下列說法正確的是( )
A.z的實部為3B.z的虛部為2C.D.
10．在中,,,,則( )
A.B.
C.的面積為D.外接圓的直徑是
11．已知向量，滿足，且與的夾角為.若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的值可以是( )
A.B.C.D.
12．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點，則( )
A.直線與直線AF異面
B.直線與平面AEF平行
C.平面AEF截正方體所得的截面是等腰梯形
D.三棱錐的體積是正方體體積的
三、填空題
13．若復(fù)數(shù),則_____________.
14．如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形較長的對角線的長度為____.
15．在中，P是上一點，若，，則__________.
16．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為______.
四、解答題
17．已知復(fù)數(shù)，，(，i是虛數(shù)單位).
(1)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)a的值.
18．已知,,.求：
（1）;
（2）.
19．如圖，正方體的棱長為3，點E在棱上，點F在棱上，G在棱上，且，H是棱上一點.
(1)求證：E，B，F(xiàn)，D四點共面；
(2)若平面平面，求證：H為的中點.
20．已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若的周長為，且外接圓的半徑為1，判斷的形狀，并求的面積.
21．已知向量，，.
(1)若，求實數(shù)k；
(2)設(shè)滿足，且，求的坐標(biāo).
22．如圖，在海岸邊的觀測站A點發(fā)現(xiàn)南偏西方向上，距離A點20海里的C處有一艘走私船，立刻通知了停在A的正東方向上，且距離A點海里的B處的緝私艇，緝私艇立刻以海里/時的速度追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從C處向正南方向逃竄.
(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距離緝私艇多遠(yuǎn)，在緝私艇的什么方向？
(2)緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？
參考答案
1．答案：B
解析：因為z是純虛數(shù)，所以，解得.
故選：B.
2．答案：C
解析：因球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，
即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；
由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于圓柱的軸，垂直于其底面，B正確；
如圖，斜平行六面體中，若平面，
則側(cè)面四邊形是矩形，C錯誤；
由正棱臺的定義知：用平面截正棱錐所得的棱臺叫做正棱臺，D正確.
故選：C.
3．答案：C
解析：由余弦定理，得，即，解得.
故選C.
4．答案：D
解析：由題意，在上的投影向量為.
故選：D.
5．答案：B
解析：若中B為鈍角，則C為銳角，，即有，故充分性不成立；
若，由余弦定理得即C為鈍角，故必要性成立.
故選：B.
6．答案：D
解析：若,,則m,n可以平行?相交或異面,故A錯誤;
若,,,,m與n相交,則,故B錯誤;
若,,則或,故C錯誤;
若,,則,故D正確.
故選:D.
7．答案：B
解析：由題可得圓錐型高腳杯的體積，小鐵球的體積為，由題可得，即.故選B.
8．答案：C
解析：取的中點D，連接AD，由，知G為的重心，則G在AD上，
所以，而，
所以A，G，O，D四點共線，所以，即，
不妨令，則，.
所以.
故選：C.
9．答案：BD
解析：由于，可得，
所以z的實部為-3，虛部為2，所以，.
故選：BD.
10．答案：ABD
解析：A選項,,故A正確;
B選項,由A選項知,
由余弦定理得．
故,B正確;
C選項,由于在中,,故,
所以,
,C錯誤;
D選項,設(shè)外接圓半徑為R,,D正確．
故選：ABD.
11．答案：BC
解析：因為向量，滿足，且與的夾角為，
所以.
因為與的夾角為鈍角，
所以，化簡得：，解得：且.
對照四個選項，實數(shù)的值可以是和.
故選：BC.
12．答案：ABC
解析：
對于選項A，易知AF與異面，選項A正確；
對于選項B，取的中點為M，連接、GM，則，，易證，從而，選項B正確；
對于選項C，連接，，易知平面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形，選項C正確；
對于選項D.設(shè)正方體棱長為a，三棱錐A-CEF的體積，選項D錯誤.
故選：ABC.
13．答案：1
解析：因為復(fù)數(shù),
所以.
故答案為：1.
14．答案：
解析：作出該直觀圖的原圖形，因為直觀圖中的線段軸，
所以在原圖形中對應(yīng)的線段CB平行于x軸且長度不變，
點和在原圖形中對應(yīng)的點C和B的縱坐標(biāo)是的2倍，
則，，所以，
，，
故原圖形較長的對角線長為.
故答案為：.
15．答案：/
解析：在中，，
則，
又，且，不共線，
則，，所以.
故答案為：.
16．答案：
解析：如圖，由余弦定理得，
，又，
兩式相加得，即，化簡得，
所以.
故答案為：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)
則在復(fù)平面對應(yīng)的點坐標(biāo)為，在復(fù)平面對應(yīng)的點落在第一象限，，解得.
(2)是方程的根
則，即，
所以，解得.
18．答案：（1）5
（2）
解析：（1）,
平方得,即,
則.
（2）,
則.
19．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：(1)證明：在上取一點N，使得，
連接，，則，，
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
同理，四邊形是平行四邊形，所以，且，
又，且，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，
所以四點共面.
(2)因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即H為的中點.
20．答案：(1)
(2)等邊三角形，
解析：(1)由題意，
由正弦定理得，
因為，
所以，因為，所以，所以，
又，所以.
(2)設(shè)外接圓的半徑為R，則，由正弦定理得，
因為的周長為，所以，
由余弦定理得，即，所以，
由得，所以為等邊三角形，
所以的面積.
21．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因為向量，，，
則，.
因為，
所以，解得.
(2)設(shè)，由題意，，，
由于，且，則，
解得或.因此或.
22．答案：(1)走私船距緝私艇海里，在緝私艇的西南方向上
(2)緝私艇至少需要小時才能追上走私船
解析：(1)由題意知：，，.
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，解得：，.
則剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距緝私艇海里，在緝私艇的西南方向上.
(2)如圖，
設(shè)t小時后緝私艇在D處追上走私船，則，，.
在銳角中，由正弦定理得：，解得：，
則，.
，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：，則緝私艇至少需要小時才能追上走私船.

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