1．答題前，考生務(wù)必將自百的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求集合A，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選：D.
2. 已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則等于（ ）
A. 24B. 48C. 72D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，
所以，
故選：B.
3. 已知樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意分別求得，，，結(jié)合獨(dú)立事件的定義，可判定事件與相互獨(dú)立，再結(jié)合對立事件的概念關(guān)系可運(yùn)算得解.
【詳解】由題意，，，，
，
所以事件與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，
.
故選：A.
4. 已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A. 若l與不平行，則l與m一定是異面直線
B. 若，則l與m可能垂直
C. 若，且，則l與m可能平行
D. 若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中線、面位置關(guān)系分析逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，
且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：若，則l與m可能垂直，
如圖所示：，可知：，故B正確；

對于選項(xiàng)C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，
如圖，取為平面，，

符合題意，但，故D錯誤；
故選：B.
5. 今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（ ）
A. 9種B. 36種C. 38種D. 45種
【答案】B
【解析】
【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.
【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，
剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，
故共有種情況.
故選：B
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不死分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，例如，則，
可知，即充分性不成立；
若，例如，則，滿足題意，
但，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，則（ ）
A.
B. 不是周期函數(shù)
C. 在區(qū)間上存在極值
D. 在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】對于A，由誘導(dǎo)公式即可判斷；對于B，由三角函數(shù)周期可得，由此即可判斷；對于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于D，令，解方程即可得解.
【詳解】對于A，，
所以，故A錯誤；
對于B，，所以是以為周期的函數(shù)，故B錯誤；
對于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不存在極值，故C錯誤；
對于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)），故D正確.
故選：D.
8. 過雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，連接，，，，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．
【詳解】由雙曲線方程可知：，
可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，，則，
可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時，取得等號，即的最小值為30.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 復(fù)數(shù)虛部為
B. 設(shè)z為復(fù)數(shù)，，則
C. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，
D. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
【答案】AC
【解析】
【分析】對于ACD：根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和幾何意義分析判斷；對于B：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的模長運(yùn)算求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A：復(fù)數(shù)的虛部為，故A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
所以，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，，故C正確；
對于選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故D錯誤；
故選：AC.
10. 從標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依次得到數(shù)字a，b，記點(diǎn)，，，則（ ）
A. 是銳角的概率為B. 是直角的概率為
C. 是銳角三角形的概率為D. 的面積不大于5的概率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，先得到種情況，數(shù)形結(jié)合得到要想為銳角，則點(diǎn)應(yīng)在直線下方，共有28個點(diǎn)滿足要求，得到是銳角的概率；B選項(xiàng)，求出直線，要想為直角，則點(diǎn)在上，列舉出滿足要求的點(diǎn)的個數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，要想為銳角三角形，則點(diǎn)落在直線與直線之間，列舉出滿足要求的點(diǎn)，得到概率；D選項(xiàng)，要想的面積不大于5，則點(diǎn)在上，或的下方，即，列舉出滿足要求的點(diǎn)，得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，
共有種情況，
設(shè)與直線垂直，因?yàn)椋瑒t直線，
其中個點(diǎn)中，有8個落在直線上，剩余56個點(diǎn)中，一半在上方，
一半在下方，
要想為銳角，則點(diǎn)應(yīng)在直線下方，
其中滿足要求的有28個點(diǎn)，
故是銳角的概率為，A正確；
B選項(xiàng)，過點(diǎn)作直線⊥，
則點(diǎn)落在直線上，滿足為直角，
其中，故直線的斜率為1，直線的方程為，即，
落在上的點(diǎn)的坐標(biāo)有，共6個，
故是直角的概率為，B錯誤；
C選項(xiàng)，要想為銳角三角形，則點(diǎn)落在直線與直線之間，
根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，應(yīng)落在上，
滿足要求的點(diǎn)有，共7個，
故是銳角三角形的概率為，C正確；
D選項(xiàng)，直線的方程為，，
設(shè)直線，
設(shè)直線與直線的距離為，
則，
令，解得，
故要想的面積不大于5，則點(diǎn)在上，或的下方，
即，
滿足要求的點(diǎn)有，
，
，
共個，
的面積不大于5的概率為，D正確.
故選：ACD
11. 如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點(diǎn)）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（ ）
A. 橢圓C的中心不在直線上
B.
C. 直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為
D. 橢圓C的離心率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.
【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，
得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，
點(diǎn)分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長軸，
可知橢圓C的中心（即線段的中點(diǎn)）不在直線上，故A正確；
橢圓長軸長，
過作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，
則，
過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，故B錯誤；
所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；
所以橢圓的離心率，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義分析求解.
【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個，且，
所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三位數(shù)，即為7.
故答案為：7.
13. 設(shè)滿足：對任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，由題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值列不等式求解即可.
【詳解】令.
因?yàn)閷θ我?，均存在，使得，所以的值域是值域的子集?br>所以，即，解得，即的取值范圍是.
故答案為：
14. 已知正四棱錐的所有棱長都為2；點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為______，H的面積的最大值為______．
【答案】 ①. 5 ②. ##
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合，作平面與平面平行，即可解決；令，用表示相關(guān)長度，整理得，結(jié)合二次函數(shù)即可解決.
【詳解】取中點(diǎn)且，平面，可知平面，
根據(jù)平面的基本性質(zhì)，作平面與平面平行，如圖至多為五邊形.
令，則，
可得，
則，可得，
所以，
又因?yàn)榕c的夾角為與夾角，而與垂直，
則，
可得，
可知：當(dāng)時，S取最大值.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)平面的性質(zhì)分析截面的形狀，結(jié)合幾何知識求相應(yīng)的長度和面積，進(jìn)而分析求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在銳角中，角A，B，C．所對的邊分別為a，b，c．已知且，
（1）求角B及邊b的大?。?br>（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊換角即可得，再利用余弦定理即可得；
（2）利用余弦定理求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式即可得到答案.
【小問1詳解】
依題意，，
由正弦定理得，
由于銳角三角形中，所以，
而是銳角，所以.
由余弦定理得.
【小問2詳解】
由余弦定理得，而是銳角，
所以，所以.
.
16. 己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差．
（1）求及的通項(xiàng)公式；
（2）記集合的元素個數(shù)為，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）2497
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得，結(jié)合與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式可得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，成等差，則，且，
當(dāng)時，可得，解得或（舍去）；
當(dāng)時，可得，
兩式相減得，整理得，
且，則；
可知數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋桑?）可得，即，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
可知；
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>所以；
綜上所述：.
所以數(shù)列的前50項(xiàng)和為.
17. 隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會更加廣泛，它將會成為改變?nèi)祟惿鐣l(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對該交互軟件進(jìn)行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為．
（1）求一個問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；
（2）在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？
【答案】（1）0.75
（2）7或8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；
（2）由題意可知：且，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析求解.
【小問1詳解】
記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，
由題意可知：，則，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：，
則，可得，
令，則，
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可得；
所以當(dāng)或時，最大，即n為7或8時，的值最大.
18. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性；
（2）根據(jù)題意分析可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，，利用極值點(diǎn)偏離證明和，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知：的定義域?yàn)?，?br>且，令，可得，
當(dāng)，即時，可知在內(nèi)恒成立，
即在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，由解得或，
由可知，
若，；若，；
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
當(dāng)時，可得，，
由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
由題意可得：，
因?yàn)椋?br>令，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
可得內(nèi)恒成立，
因，則，
且，內(nèi)單調(diào)遞減，
則，即；
令，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
可得在內(nèi)恒成立，
因?yàn)椋瑒t，
且，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即；
由和可得.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
19. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對應(yīng)點(diǎn)記為，．

（1）當(dāng)時，
①求證：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
（2）是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）①證明過程見解析；②
（2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；
②建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；
（2）設(shè)折疊前，折疊后對應(yīng)的，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)折疊前后的周長關(guān)系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進(jìn)而求出的值.
【小問1詳解】
①由橢圓定義可知，
所以的周長，所以，
因?yàn)殡x心率為，故，解得，
則，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
所以橢圓方程為，
直線，即，
聯(lián)立得，解得或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以，
故⊥，折疊后有⊥，
因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵雌矫妗?，交線為，
平面，
所以⊥平面，
因?yàn)槠矫?，所以⊥?br>②以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
其中平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，故，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為；
【小問2詳解】
設(shè)折疊前，折疊后對應(yīng)的，
設(shè)直線方程為，
將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，
則，
在折疊前可知，
折疊后，在空間直角坐標(biāo)系中，，，
由，，
故，
所以①，
分子有理化得，
所以②，
由①②得，
因?yàn)?br>，
故，
即，
將代入上式得
，
兩邊平方后，整理得，
即，解得，
因?yàn)?，所?
【點(diǎn)睛】出題非常新穎，將立體幾何和解析幾何結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力，在解決圖形的翻折問題時，應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時應(yīng)抓住不變量，利用平面幾何知識或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

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33、山東省日照市一模2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題及答案：

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2023屆山東省日照市高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析：

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