2024年廣東省汕頭市金平區(qū)汕頭市下蓬中學(xué)中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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1. 的絕對(duì)值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：的絕對(duì)值是2024．
故選：A．
2. “你以為你已經(jīng)很愛(ài)很愛(ài)媽媽了，但媽媽遠(yuǎn)比你想象中更愛(ài)更愛(ài)更愛(ài)你”．這是2021年2月12日大年初一全國(guó)上映的電影《你好，李煥英》中的一句話，這部電影首日票房就達(dá)298000000元，數(shù)字298000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要確定的值以及的值．
3. 下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 長(zhǎng)方體四棱柱B. 八棱柱有16條棱
C. 五棱柱有7個(gè)面D. 直棱柱的每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)棱柱的性質(zhì)與定義進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】、解：A、長(zhǎng)方體是四棱柱，說(shuō)法正確，不符合題意；
B、八棱柱有24條棱，說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
C、五棱柱有7個(gè)面，說(shuō)法正確，不符合題意；
D、直棱柱的每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，說(shuō)法正確，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱的定義與性質(zhì)，熟知棱柱的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，一學(xué)習(xí)小組七人的成績(jī)?nèi)鐖D所示，則這七人成績(jī)的中位數(shù)是（ ）
A. 22B. 89C. 92D. 96
【答案】D
【解析】
【分析】利用中位數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：將這7人的成績(jī)從小到大排列為：70，89，89，96，96，96，100，
∴中位數(shù)為96，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查求中位數(shù)，掌握中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
5. 已知x=-2是關(guān)于x的方程3x+a=0的解，則a的值是（ ）
A. 3B. 6C. -3D. -6
【答案】B
【解析】
【分析】把x＝-2代入已知方程后，列出關(guān)于a的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求a的值．
【詳解】解：∵x＝-2是關(guān)于x的方程3x+a=0的解，
∴3×（-2）+a＝0，
解得a＝6．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
6. 若二次根式有意義，則a的值不可以是（ ）
A. 0B. 1C. 10D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
∴，
∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)中的0符合題意，
故選A．
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，將線段平移得到線段．已知平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)平移前后的坐標(biāo)確定線段的平移方式，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】由題意，得線段的平移方式是向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，即．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化——平移，解題的關(guān)鍵是確定線段的平移方式．
8. 如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】寫(xiě)出函數(shù)圖象在x軸下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【詳解】解：當(dāng)x＞2時(shí)，y＜0．
所以關(guān)于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
9. 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC的中點(diǎn)O為圓心的圓分別與AB，AC相切于D，E兩點(diǎn)，則弧DE的長(zhǎng)為( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】連接OE、OD，由切線的性質(zhì)可知OE⊥AC，OD⊥AB，又由∠A=90°可得四邊形AEOD是矩形，得出∠DOE=90°，由于O是BC的中點(diǎn)，從而可知OD是中位線，所以可知∠B=45°，從而可知半徑r的值，最后利用弧長(zhǎng)公式即可求出答案．
【詳解】解：連接OE、OD，
設(shè)半徑為r，
∵⊙O分別與AB，AC相切于D，E兩點(diǎn)，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四邊形AEOD是矩形，
∴∠DOE=90°，
∵O是BC的中點(diǎn)，
∴OD是中位線，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=，
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，解題的關(guān)鍵是連接OE、OD后利用中位線的性質(zhì)求出半徑r的值．
10. 二次函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是，則的值分別是（ ）
A. 2，4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)根據(jù)題意得到對(duì)稱(chēng)軸為，然后求出，然后將代入表達(dá)式求出c的值即可．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是，
∴對(duì)稱(chēng)軸為，解得，
∴將代入得，，
∴解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11. 因式分解：x2+3xy＝_____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接提公因式，即可得到答案．
【詳解】解：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法進(jìn)行因式分解．
12. 某單位組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備了150張獎(jiǎng)券，設(shè)一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)20個(gè)，三等獎(jiǎng)80個(gè)．已知每張獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)的可能性相同，則1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解．
【詳解】解：根據(jù)隨機(jī)事件概率公式得；
1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率為，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，解題的關(guān)鍵是：理解隨機(jī)事件的概率等于事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有的可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
13. 如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，若，，，則的長(zhǎng)為 _______．
【答案】15
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)得，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證明是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
∴，
∵，
∴，
即，
，
故答案為：15．
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2與反比例函數(shù)y＝的圖象有唯一公共點(diǎn)，若直線y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝ 的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_____．
【答案】b＞2或b＜-2.
【解析】
【詳解】試題解析：解方程組得：x2-bx+1=0，
∵直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x2-bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b2-4＞0，
∴b＞2或b＜-2，
考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．
15. 如圖，在矩形中，若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算，得出，再證明代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：∵四邊形是矩形
∴，
∵E是邊的中點(diǎn)，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案為：
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16. 解方程組．
【答案】
【解析】
【分析】法一：代入消元法解方程組即可，法二：加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：由①得：③，
將③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程組的解為：．
方法二：解：①得：③
②+③得：
解得：
把代入①得：
∴方程組的解為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握消元法解方程組．
17. 如圖，在中， .
（1）作邊上的高線（作圖工具不限）
（2）若平分，求的度數(shù).
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于D，垂足為D即可；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得，再由三角形內(nèi)角和定理可得，然后由角平分線的定義求得，最后根據(jù)即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作于D，垂足為D，線段即為所求．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵
∴，即
∵
∴
∵平分
∴
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)定理、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
18. 先化簡(jiǎn)，再求值
，從-2，-1，0中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)作為的值
【答案】，-1
【解析】
【分析】先將括號(hào)里分式的分母進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行通分，然后進(jìn)行減法運(yùn)算，再根據(jù)分式除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=
=
=
=
=，
∵-2，-1，0中，x只能取值-1，
∴原式=．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，涉及分式有意義的條件，異分母分式的減法，分式的除法等知識(shí)．掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
19. 一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同，將球搖勻．
（1）從中任意摸出1個(gè)球；
①判斷摸到什么顏色的球可能性最大？
②求摸到黃顏色的球的概率；
（2）如果把白球拿出來(lái)，將剩下的5個(gè)球搖勻，從中任意摸出2個(gè)球，求摸到2個(gè)都是黃顏色球的概率．
【答案】（1）①紅；②
（2）
【解析】
【分析】本題考查了可能性大小的判斷、概率公式的計(jì)算、畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，熟練掌握概率公式的計(jì)算、畫(huà)樹(shù)狀圖求概率是解題的關(guān)鍵．
（1）①哪種球的數(shù)量最多，摸到哪種球的概率就最大，得出答案即可；②利用概率公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，求概率即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：①∵一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，
∴紅球的數(shù)量最多，
∴摸到紅顏色的球可能性最大；
②∵一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同，將球搖勻，
∴摸到黃顏色的球的概率；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，畫(huà)樹(shù)狀圖，
共有20個(gè)等可能的結(jié)果，摸到2個(gè)都是黃顏色球的結(jié)果有2個(gè)，
∴摸到2個(gè)都是黃顏色球的概率．
20. 某校數(shù)學(xué)實(shí)踐小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某塔的高度．
下面是兩個(gè)方案及測(cè)量數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)“方案一”的測(cè)量數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出塔的高度為 ；
（2）根據(jù)“方案二”的測(cè)量數(shù)據(jù)，求出塔的高度；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】（1）
（2）m
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
（1）由題意可知，從而得出，代入測(cè)量的平均值進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的正切值分別得出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，
由題意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度為米；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴塔的高度為米．
21. 數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．在人類(lèi)歷史發(fā)展和社會(huì)生活中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用．為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)《什么是數(shù)學(xué)》和《古今數(shù)學(xué)思想》若干套，已知5000元可購(gòu)買(mǎi)《什么是數(shù)學(xué)》的數(shù)量比《古今數(shù)學(xué)思想》多60套，且《古今數(shù)學(xué)思想》的單價(jià)是《什么是數(shù)學(xué)》單價(jià)的2.5倍．
（1）求每套《古今數(shù)學(xué)思想》的價(jià)格；
（2）學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)4000元購(gòu)進(jìn)這兩套書(shū)共70套，此時(shí)正趕上書(shū)城8折銷(xiāo)售所有書(shū)籍，求《古今數(shù)學(xué)思想》最多能買(mǎi)幾套？
【答案】（1）125元
（2）20套
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系，列出不等式，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）設(shè)每套《什么是數(shù)學(xué)》的價(jià)格是x元，則每套《古今數(shù)學(xué)思想》的價(jià)格是元，根據(jù)5000元可購(gòu)買(mǎi)《什么是數(shù)學(xué)》的數(shù)量比《古今數(shù)學(xué)思想》多60套，列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)可以購(gòu)進(jìn)m套《古今數(shù)學(xué)思想》，則購(gòu)進(jìn)套《什么是數(shù)學(xué)》，根據(jù)用不超過(guò)4000元購(gòu)進(jìn)這兩套書(shū)共70套，列出不等式，解不等式即可．
小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)每套《什么是數(shù)學(xué)》的價(jià)格是x元，則每套《古今數(shù)學(xué)思想》的價(jià)格是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：每套《古今數(shù)學(xué)思想》的價(jià)格是125元；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)可以購(gòu)進(jìn)m套《古今數(shù)學(xué)思想》，則購(gòu)進(jìn)套《什么是數(shù)學(xué)》，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴m的最大值為20．
答：《古今數(shù)學(xué)思想》最多能買(mǎi)20套．
22. 已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是過(guò)點(diǎn)A的⊙O的切線上一點(diǎn)，連接OC，過(guò)點(diǎn)A作OC的垂線交OC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：CE與⊙O相切；
（2）連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，若OA=5，sin∠BAE=，求AF的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】（1）連接OE、BE，先證明OD∥BE，得到OC垂直平分AE，再證明△AOC≌△EOC，求出∠CEO=∠CAO=90°，即可得到結(jié)論；
（2）作DM⊥AB于M，先利用三角函數(shù)求出BE得到AE，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)三角函數(shù)求出DM，利用勾股定理求出AM得到BM，根據(jù)DM∥AF證明△DMB∽△FAB，列比例線段由此求出AF.
【詳解】（1）連接OE、BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AE⊥OC，
∴∠ADO=∠AEB=90°，
∴OD∥BE，
∵OA=OB，
∴AD=DE，
∴OC垂直平分AE，
∴AC=CE，
∴△AOC≌△EOC，
∴∠CEO=∠CAO=90°，
即OE⊥CE，
∴CE與⊙O相切；

（2）作DM⊥AB于M，
∵OA=5，
∴AB=10，
∵sin∠BAE=，
∴,
∴,
∴，
∴DM=，
∴,
∵OA=5，
∴OM=1，
∴BM=6，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠CAB=∠DMB=90°，
∴DM∥AF，
∴△DMB∽△FAB，
∴，
∴，
∴AF=.
【點(diǎn)睛】此題考查圓的性質(zhì)，切線的判定定理及性質(zhì)定理，三角函數(shù)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì).
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C．
（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式為： ；
（2）點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和y軸分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
①求DF＋HF的最大值；
②連接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
【答案】(1) (2)①②1或
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式列二元一次方程組即可；
（2）①用含有m的式子表示HF、DF得到新的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的增減性和自變量的取值范圍，得到最大值．
②根據(jù)條件找到相似三角形，用含有m的式子表示HE、OE、OH再利用勾股定理列方程解出m
【詳解】(1)將點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)代入拋物線
y=-x2+bx+c得
解得：
則拋物線的解析式為
故答案為：；
(2)①當(dāng)x=0時(shí)， =3.
∴C(0，3)，
又∵B(3，0)，
所以直線BC的解析式為y=-x+3，
∵OB=OC=3，
∴∠OB C=∠OC B=45°
過(guò)點(diǎn)F作FK⊥y軸于點(diǎn)K，如下圖
又∵FH⊥BC，
∴∠ KFH=∠K HF=45°，
∴.FH= KF=OE
∴DF+HF=DE-EF+OE
＝ (-m2+2m+3) - (-m+3) +m
＝－m2+ (3+) m
由題意得，0