一、填空題
1．已知集合，集合，那么 .
2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則 .
3．在中，，，，則的外接圓半徑為 .
4．若正數(shù)滿足，則的最小值為 .
5．已知數(shù)列的前項和為，若（是正整數(shù)），則 .
6．若圓與圓內(nèi)切，則等于 .
7．已知的二項展開式中各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項的值為 .
8．已知函數(shù)在處有極值0，則 .
9．同時拋擲三枚相同的均勻硬幣，設(shè)隨機變量表示結(jié)果中有正面朝上，表示結(jié)果中沒有正面朝上，則 .
10．如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有 種.
11．如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道相交于點，一根長度為的直桿的兩端點分別在上滑動（兩點不與點重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計），直桿上的點滿足，則面積的取值范圍是 .
12．如圖所示，已知滿足，為所在平面內(nèi)一點.定義點集.若存在點，使得對任意，滿足恒成立，則的最大值為 .
二、單選題
13．在下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
14．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：
若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時，y的預(yù)測值為2.2
C．樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1
D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變
15．已知函數(shù)，其中，實數(shù)，下列選項中正確的是（ ）
A．若，函數(shù)關(guān)于直線對稱
B．若，函數(shù)在上是增函數(shù)
C．若函數(shù)在上最大值為1，則
D．若，則函數(shù)的最小正周期是
16．三棱錐各頂點均在半徑為的球的表面上，，二面角的大小為，則對以下兩個命題，判斷正確的是（ ）
①三棱錐的體積為；②點形成的軌跡長度為.
A．①②都是真命題
B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題
D．①②都是假命題
三、解答題
17．已知函數(shù)，其中.
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.
18．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，為圓的直徑，且，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一點，且.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
19．為了解中草藥甲對某疾病的預(yù)防效果，研究人員隨機調(diào)查了100名人員，調(diào)查數(shù)據(jù)如表.（單位：個）
(1)若規(guī)定顯著性水平，試分析中草藥甲對預(yù)防此疾病是否有效；
(2)已知中草藥乙對該疾病的治療有效率數(shù)據(jù)如下：對未服用過中草藥甲的患者治療有效率為，對服用過中草藥甲的患者治療有效率為.若用頻率估計概率，現(xiàn)從患此疾病的人員中隨機選取2人（分兩次選取，每次1人，兩次選取的結(jié)果獨立）使用中草藥乙進行治療，記治療有效的人數(shù)為，求的分布和數(shù)學(xué)期望.
附：，.
20．已知橢圓，分別為橢圓的左、右頂點，分別為左、右焦點，直線交橢圓于兩點（不過點）.
(1)若為橢圓上（除外）任意一點，求直線和的斜率之積；
(2)若，求直線的方程；
(3)若直線與直線的斜率分別是，且，求證：直線過定點.
21．已知各項均不為0的數(shù)列滿足（是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記函數(shù)，其中.
（i）證明：對任意，；
（ii）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和.數(shù)列的極限的嚴(yán)格定義為：若存在一個常數(shù)，使得對任意給定的正實數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)m滿足：當(dāng)時，恒有成立，則稱為數(shù)列的極限.試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限.
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
未患病者
患病者
合計
未服用
中草藥甲
服用
中草藥甲
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
參考答案：
1．
【分析】先求出集合，，然后結(jié)合集合的交集運算即可求解．
【詳解】因為集合,，集合或，
那么,．
故答案為：,．
2．
【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算．
【詳解】由已知，
所以．
故答案為：2．
3．
【分析】由正弦定理求解．
【詳解】由已知，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，所以．
故答案為：1.
4．/
【分析】根據(jù)基本不等式求解．
【詳解】由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故所求最小值是．
故答案為：．
5．
【分析】由已知結(jié)合數(shù)列的和與項的遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解．
【詳解】因為，
時，，
兩式相減可得，，
即，，
因為，解得，
故數(shù)列是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
所以．
故答案為：81．
6．
【分析】根據(jù)兩個圓內(nèi)切時，圓心距和兩個圓的半徑之間的關(guān)系求解.
【詳解】圓，圓心為（0,0），半徑為2；
圓，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式： ，即圓心為（a，0），半徑為1；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距 ，解得
故填：
【點睛】本題考查了兩個圓的位置關(guān)系，當(dāng)兩個圓內(nèi)切時，圓心距等于兩個圓的半徑之差的絕對值.
7．
【分析】依題意，可求得，再利用的二項展開式的通項公式可求得答案．
【詳解】的二項展開式中各項系數(shù)和為1024，
即，
故．
設(shè)的二項展開式的通項為，則，
令，得，
故展開式中常數(shù)項的值為．
故答案為：210．
8．
【分析】由題可得，即可得答案.
【詳解】因為，所以，依題意可得
.解得，
經(jīng)檢驗適合題意，所以.
故答案為：
9．
【分析】先利用獨立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解．
【詳解】由題意可知，，，
所以，
所以．
故答案為：.
10．72
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理以及分類加法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】下面分兩種情況，即C，A同色與C，A不同色來討論.
（1）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種，
C，A同色時，C的著色方法為1種，D的著色方法有2種.
（2）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種.
C與A不同色時C的著色方法有1種，D的著色方法有1種，
綜上，兩類共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(種).
故答案為：72
11．
【分析】令，利用直角三角形邊角關(guān)系及三角形面積公式求出的面積函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出值域即得.
【詳解】依題意，設(shè)，則，
因此的面積，，
求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此，而，則，
所以面積的取值范圍是.
故答案為：
12．
【分析】延長到滿足，取的靠近的三等分點，連接，由向量共線定理得三點共線，從而表示的邊上的高，利用正弦定理求得的面積的最大值，從而可得結(jié)論．
【詳解】延長到滿足，取的靠近的三等分點，連接，如圖，
，
所以三點共線，
又存在點，使得對任意，滿足恒成立，則的長表示到直線的距離，即的邊上的高，設(shè)，
由得，，公用，因此，
所以，
中，設(shè)，由正弦定理得，記為角，
所以，，，
所以
，
若不是鈍角，則
，
又，所以，即，
所以，
設(shè)，則，，它是減函數(shù)，
所以時，，
若是鈍角，則
，
設(shè)，則，，
令，則，
，
時，，遞減，時，遞增，
所以時，，，
綜上，，
此時．
故答案為：3．
【點睛】方法點睛：本題考查向量的線性運算，考查三角形的面積，解題方法其一是根據(jù)向量共線定理得出點在一條直線，問題轉(zhuǎn)化為求三角形高的最大值，從而求三角形面積的最大值，解題方法其二是利用正弦定理求三角形的面積，本題中注意在用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化時，需要根據(jù)是否為鈍角分類討論，才能正確求解（本題用海倫公式求三角形的面積方法較簡便）．
13．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷，利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和基本不等式確定偶函數(shù)的值域．
【詳解】ACD三個選項中函數(shù)定義域是，
函數(shù)的定義域是，，為偶函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知其值域為，B符合；
，因此是奇函數(shù)，A不符；
，因此是偶函數(shù)，但，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此函數(shù)值域不是，C不符；
，是奇函數(shù)，D不符.
故選：B ．
14．D
【分析】由表格數(shù)據(jù)求出樣本點的中心坐標(biāo)，代入可得的值由此即可判斷A，進一步可得回歸方程，由此即可驗算B選項，由百分位數(shù)的概念即可判斷C，由相關(guān)系數(shù)公式即可判斷D.
【詳解】，所以樣本點的中心坐標(biāo)為，
將它代入得，，解得，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，y的預(yù)測值為，故B錯誤；
對于C，樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為，故C錯誤；
對于D，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變，故D正確.
故選：D.
15．C
【分析】求出即可判斷選項A；由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式，從而可求出的取值范圍，即可判斷C；判斷，即可判斷D．
【詳解】對于A，若，則，
，不是最值，
所以不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；
對于B，若，則，
當(dāng)時，，因為正弦函數(shù)在上不單調(diào)，
所以函數(shù)在上不是增函數(shù)，故B錯誤；
對于C，，則，
因為函數(shù)在上最大值為1，
所以，解得，故C正確；
對于D，若，函數(shù)，
因為，
所以函數(shù)的最小正周期不是，故D錯誤．
故選：C．
16．A
【分析】根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)可得出二面角，利用直角三角形性質(zhì)判斷外心和外心的位置，利用垂直關(guān)系證明是中點，利用體積公式判斷①，根據(jù)為定長判斷點軌跡是圓，判斷②．
【詳解】由題意知，故,
設(shè)外心為，則為BC的中點，設(shè)外心為，如圖，
則平面，平面，
平面，平面，
，，
，平面，平面，
又因為，則平面，即，，，四點共面，
則平面，
連接，則為二面角的平面角，
二面角的大小為，，
而，，因為平面，平面，
故，而，則，
在中，，
則，故，即三點共線，
且是的中點；
則，故①是真命題；
又，
點形成的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
軌跡長度為，故②真命題．
故選：A．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)空間的位置關(guān)系，推出三點共線，及說明是得中點，從而確定點形成的軌跡.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）結(jié)合奇偶性的定義以及對數(shù)函數(shù)運算法則即可得證；
（2）分離參數(shù)，將原問題等價轉(zhuǎn)換為在上有解，由此轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域問題.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為 ，
在中任取一個實數(shù)，都有，并且.
因此，是奇函數(shù).
（2）等價于即在上有解.
記，因為在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以，，，
故的值域為，因此，實數(shù)的取值范圍為.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得，，由此即可證明；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求解以及平面的法向量為，利用向量的坐標(biāo)運算得線面夾角即可；方法二：利用體積相等求解點到平面的距離，即可得與平面所成角．
【詳解】（1）證明：由題意得，，
，，
，
在中，由，得，
同理可得，又平面，故平面.
（2）（方法一）如圖所示，以為坐標(biāo)原點，、為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則點，故，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)直線與平面所成角為，
故，
因此直線與平面所成角的正弦值.
（方法二），，
則，．
記點到平面的距離為，因為，
所以，則，
設(shè)直線與平面所成角為，，
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
19．(1)認(rèn)為中草藥甲對預(yù)防此疾病有效果
(2)分布列見解析，期望為
【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；
（2）記表示服用中草藥乙后治療有效，表示未服用過中草藥甲，表示服用過中草藥甲，利用全概率公式求出，依題意可得，根據(jù)二項分布的概率公式求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）提出原假設(shè)：中草藥甲對預(yù)防此疾病無效，確定顯著性水平，
計算，而，
的值超過了所確定的界限，從而否定原假設(shè)，即認(rèn)為中草藥甲對預(yù)防此疾病有效果.
（2）記表示服用中草藥乙后治療有效，表示未服用過中草藥甲，表示服用過中草藥甲，
由題意可得，，且，，
則，
即中草藥乙的治療有效率，則，
所以，
，
，
所以隨機變量的分布為：
所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望.
20．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)點，直接計算，結(jié)合點在橢圓上化簡即得；
（2）設(shè)，由向量線性運算的坐標(biāo)表示得出，再利用在橢圓上，可求出（或）的坐標(biāo)，然后可得直線方程；
（3）設(shè)，易知直線的斜率不為，設(shè)其方程為（），直線方程橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把它代入可求得的確定值，從而得定點坐標(biāo)．
【詳解】（1）在橢圓 中，左、右頂點分別為，
設(shè)點，則 .
（2）設(shè)，由已知可得，，
由得，化簡得
代入可得，
聯(lián)立解得
由得直線過點，，
所以，所求直線方程為.
（3）設(shè)，易知直線的斜率不為，設(shè)其方程為（），
聯(lián)立，可得，
由，得.
由韋達(dá)定理，得.，.
可化為，
整理即得，
，由，
進一步得，化簡可得，解得，
直線的方程為，恒過定點.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的直線過定點問題，一般可設(shè)直線與圓錐曲線的交點為，設(shè)出直線方程為或，直線方程代入圓錐曲線方程后化簡整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），代入題中關(guān)于交點的其他條件化簡可得出（或）的關(guān)系，從而得出定點坐標(biāo)．
21．(1)證明見解析，；
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）由可變形為，從而得到為等差數(shù)列，然后由累乘法求通項即可；
（2）可先證：，根據(jù)的表達(dá)式求導(dǎo)，分析單調(diào)性，得出最小值，即可得證，再證：，即證恒成立，即即可；先求出，然后由，分析單調(diào)性證明進而得到，代入表達(dá)式，取可得，再對進行放縮即可求解.
【詳解】（1）由于數(shù)列的各項均不為，
所以，可變形為（是正整數(shù)），
所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，
又，也符合上式，所以.
（2）（i）先證：.
根據(jù)已知，得
由當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
于是在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故成立.
再證：.
又，記，則，
由，故且僅當(dāng)時等號成立，
于是在上是嚴(yán)格減函數(shù)，
故，于是，證畢.
（ii）由題意知，，
下面研究.將（i）推廣至一般情形.
，
由當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
于是在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故成立.①
再證：.，
記，則，
由，故當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
于是在上是嚴(yán)格減函數(shù)，
故，于是，
所以，，即對任意，.
于是對，，整理得，
令，得，即，故.
（方法一）當(dāng)時，
故即，
從而.對于任意給定的正實數(shù)，令，
則取為大于且不小于的最小整數(shù)，
則當(dāng)時，恒成立，因此，數(shù)列的極限為.
（方法二）而對于任意，只需且時，
可得.
故存在，當(dāng)時，恒有，
因而的極限.
【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的通項、求和，另外考查數(shù)列和函數(shù)的結(jié)合以及新定義知識，難度較大，本題主要思維方法：
1.基本方法求通項：定義法，累乘法；
2.不等式的證明，借助構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，求最值；
3.新定義考查，主要是結(jié)合導(dǎo)數(shù)的最值分析和不等式的放縮思維，對于一般學(xué)生要求較高，難度很大.
0
1
2

相關(guān)試卷

上海市虹口區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試（二模）數(shù)學(xué)試卷(無答案)：

這是一份上海市虹口區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試（二模）數(shù)學(xué)試卷(無答案)，共4頁。試卷主要包含了本考試分設(shè)試卷和答題紙等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024屆上海市徐匯區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2024屆上海市徐匯區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷，共6頁。

上海市徐匯區(qū)2024屆高三學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試卷：

這是一份上海市徐匯區(qū)2024屆高三學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試卷，共12頁。試卷主要包含了 已知復(fù)數(shù)，則 等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

上海市徐匯區(qū)2023-2024學(xué)年高一（上）學(xué)習(xí)能力診斷卷（期末）數(shù)學(xué)試卷（含解析）

上海市徐匯區(qū)2023-2024學(xué)年高一（上）學(xué)習(xí)能力診斷卷（期末）數(shù)學(xué)試卷（含解析）
上海市徐匯區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷卷（期末）數(shù)學(xué)試卷

上海市徐匯區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷卷（期末）數(shù)學(xué)試卷
2020屆上海市虹口區(qū)高三學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試（二模）數(shù)學(xué)試題 PDF版

2020屆上海市虹口區(qū)高三學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試（二模）數(shù)學(xué)試題 PDF版
2021屆上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷（一模）（12月）數(shù)學(xué)試卷 PDF版

2021屆上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷（一模）（12月）數(shù)學(xué)試卷 PDF版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部