2024.4
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．有3名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有
A．36種B．48種C．72種D．108種
2．若，且，則
A．0.10B．0.40C．0.80D．0.90
3．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，，當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù)．用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：．用這樣的方法，估計的近似值約為
A．2.015B．2.023C．2.031D．2.083
4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則
A．6B．3C．2D．0
5．在的展開式中，含的項的系數(shù)是
A．B．C．20D．4
6．某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和3名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的健康體檢活動，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為
A．B．C．D．
7．己知函數(shù)，當(dāng)時，f（x）有極大值．則
A．2B．1C．0D．
8．甲箱中有2個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和2個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是白球的概率是
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有
A．如果選出的4人全部為男生，那么有30種不同的選法
B．如果選出的4人中，男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法
C．如果選出的4人中，男生女生各有2人，那么有30種不同的選法
D．如果選出的4人中至少有一名女生，那么有195種不同的選法
10．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則
A．B．
C．事件B與事件C相互獨立D．
11．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是
A．當(dāng)時，有兩個零點
B．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增
C．若關(guān)于x的方程有兩個不等實根，則
D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若隨機變量，則 ．
13．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍 ．
14．某單位安排甲、乙，丙等6人參與周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，則不同的安排方法有 種．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
在的展開式中．
（1）求展開式中各項系數(shù)之和；
（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項．
16．（17分）
一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球6個，黑球4個，每次從袋中隨機摸出個球，摸出的球不再放回．
（1）求第2次摸到紅球的概率；
（2）對于事件A，B，C，當(dāng)時，證明：；
（3）利用（2）中的結(jié)論，求第1，2，3次都摸到紅球的概率．
17．（15分）
已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，求a的取值范圍．
18．（15分）
強基計劃于2020年在有關(guān)高校開始實施，主要選拔有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動．
（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有4人來自A中學(xué)，從這7名學(xué)員中隨機選取4人，表示選取的人中來自A中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲乙答對每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響．當(dāng)時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值．
19．（17分）
已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時，證明：在上恒成立；
（2）當(dāng)時，證明：，；
（3）是希臘字母，即的大寫形式，在數(shù)學(xué)中表示求積運算或直積運算，形式上類似于，如．證明：．
2022級普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
2024.4
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．B2．D3．C4．A5．C6．D7．B8．A
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．BD10．AC11．AB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．313．14．252
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解：
（1）令，可得展開式中各項系數(shù)之和為．
（2）因為，，1，2，…，7，
所以當(dāng)，3，5，7時為有理項，
由插空法可得有理項不相鄰的概率為．
（3）設(shè)第項系數(shù)最大，
則
即，
解得，
故此時，
故所求系數(shù)最大的項是第6項，為．
16．解：
（1）記事件“第i次摸到紅球”為（，2，3，…，10），則第⒉次摸到紅球的事件為，
，，
，
于是由全概率公式，
得．
（2）證明：由條件概率及，，
得，，
所以．
（3）因為，
，
．
由（2）中結(jié)論得，．
17．解：
（1）因為，所以，
當(dāng)時，，函數(shù)在R上是增函數(shù)，
當(dāng)時，令，得，即，
當(dāng)，，函數(shù)的減區(qū)間為，
當(dāng)，，函數(shù)的增區(qū)間，
（2）由得，
所以．
令，得．
設(shè)，；則，
令，即，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
分別作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，
由圖象可知，時，解得，函數(shù)有兩個極值點，
所以當(dāng)時，函數(shù)兩個極值點．
18．解：
（1）的所有可能取值是1，2，3，4．
，
，
，
，
所以的分布列是
數(shù)學(xué)期望是．
（2）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝為事件A，則
，
由，得．……
令，因為，，所以，
所以，設(shè)，則，
因為當(dāng)時，取得最大值．
所以，當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率取得最大值．
19．解：
（1）當(dāng)時，，
令，即證在上恒成立，
，
所以在上單調(diào)遞增
所以，
即在上恒成立．
（2）當(dāng)時，，
要證明：，
即證明：
即證明：
令，即證明：
即證明：
設(shè)，則，
所以在是增函數(shù)，成立，
所以，成立．
（3）要證，
即證，
令（），則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即，
所以，
所以，
所以．
1
2
3
4
P

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