云南省昆明市2024屆高三下學(xué)期“三診一模”（二模）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若是等比數(shù)列，，，則（）
A. 7B. 9C. 25D. 35
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.
【詳解】是等比數(shù)列，，，
則，故．
故選：C．
2. 雙曲線的漸近線方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可.
【詳解】雙曲線的漸近線方程是：
故選：A
3. 復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在直線上，則（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到方程，解得即可.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
依題意可得，解得.
故選：A
4. 已知下圖網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長(zhǎng)為1，平面向量，如圖所示，則（）

A. 2B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，計(jì)算其模可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，如圖建立坐標(biāo)系，
則，，
則，故．
故選：C．

5. 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（）
A 16B. 19C. 21D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，
所以的展開式中含項(xiàng)為，
所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.
故選：B
6. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 為增函數(shù)B. 有兩個(gè)零點(diǎn)
C. 的最大值為2eD. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
【答案】D
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算，即可求解.
【詳解】A：，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以函數(shù)在R上沒(méi)有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；
D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故選：D
7. 早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽(yáng)S在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置如圖所示．地球在位置時(shí)，測(cè)出；行星M繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)位置，地球運(yùn)動(dòng)到了位置，測(cè)出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項(xiàng)中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.
【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，則，
在中，由余弦定理得.
故選：A

8. 已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為、，圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得，設(shè)，由橢圓的定義可知，的表達(dá)式，再由的值，可，在中，可得，可得點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)，在中，由余弦定理可得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率的值．
【詳解】由題意知，圓過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
因?yàn)闉閳A與橢圓的交點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?br>設(shè)，可得，，
所以，
所以，
在中，，
即，解得或，
解得或（舍去），
此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，
又，解得（負(fù)值舍去），
且，，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及焦點(diǎn)三角形問(wèn)題一般是利用橢圓的定義及余弦定理進(jìn)行處理，本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出為短軸頂點(diǎn).
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知函數(shù)，若，則的值可以為（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)整體法以及特殊角的三角函數(shù)值可得或，即可求解.
【詳解】令或，,
故或，，
故,
取和可得或，
故的值可以為或，
故選：BD
10. 在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.
【詳解】若，，又，則，A正確；
若，，由A選項(xiàng)可知，又，可得，
，可得，B錯(cuò)誤；
若，，則，，，可得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；
且，D正確.
故選：ACD
11. 在矩形中，，，以對(duì)角線BD為折痕將△ABD進(jìn)行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 三棱錐體積的最大值為B. 點(diǎn)都在同一球面上
C. 點(diǎn)在某一位置，可使D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)錐體體積公式即可求解A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)線面垂直得線性垂直即可求解CD.
【詳解】如圖所示：分別過(guò)作，

對(duì)A，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大為，
三棱錐體積的最大值為，A正確；
對(duì)B，，
的中點(diǎn)為，則,故為三棱錐的外接球球心，B正確；
對(duì)C，若存在點(diǎn)在某一位置，使，連接，
由于，，平面，
則平面，又平面，
，這與相矛盾,不重合），
不存在點(diǎn)在某一位置，使，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，當(dāng)，又，，平面,
平面，又平面，
，又，，，D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，，再利用二倍角正切公式求解.
【詳解】由，，，
，
.
故答案為：.
13. 已知正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正六棱錐的體積為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】作圖，分外接球的球心在棱錐內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，運(yùn)用勾股定理列式分別計(jì)算.
【詳解】設(shè)正六棱錐，底面中心為，外接球半徑為，底面正六邊形邊長(zhǎng)為，棱錐的高，
則，，，
當(dāng)外接球的球心在棱錐內(nèi)部時(shí)，，在中，，即，在中，，即，聯(lián)立，解得，，
所以正六棱錐的體積為.

當(dāng)外接球的球心在棱錐外部時(shí)，，在中，，即，在中，，即，聯(lián)立，解得，，這與矛盾，不合題意舍去.

綜上，該正六棱錐的體積為.
故答案為：.
14. 如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)、等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)六次．質(zhì)點(diǎn)位于4的位置的概率為__________；在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過(guò)兩次3的位置的概率為__________．
【答案】 ①. ##0.09375 ②. ##0.125
【解析】
【分析】計(jì)算質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次可能的結(jié)果，質(zhì)點(diǎn)位于4的位置的可能結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式即可求解；根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算.
【詳解】由題意可得：質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次可能的結(jié)果有種，質(zhì)點(diǎn)位于4的位置則指點(diǎn)向右移動(dòng)5次向左移動(dòng)1次，
從質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次中選1次向左移動(dòng)，其它5次向右移動(dòng)共有種，
所以質(zhì)點(diǎn)位于4的位置的概率為；
在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過(guò)兩次3的位置，可知從1開始的5步中，第1、2步必須向右，
第3步向左或向右均可，若第3步向左則第4步向右，若第3步向右則第4步向左，第5步向左向右均可，則走法有種，
總的質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)5次可能的結(jié)果有種，則在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過(guò)兩次3的位置的概率為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖，在直三棱柱中，D，E為，AB中點(diǎn)，連接，．
（1）證明：DE∥平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)可得，再由線面平行的判定定理可證明；
（2）建系，分別找到平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，代入空間向量的二面角余弦公式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
連接，
因?yàn)镈，E分別為，AB的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，因?yàn)椋裕?br>因?yàn)樵谥比庵?，平面ABC，所以，
因?yàn)椋訟B⊥平面，故．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，可取為平面的一個(gè)法向量，
可取為平面的一個(gè)法向量，
則，
設(shè)二面角的大小為，則，，
所以二面角正弦值為．
16. 某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家“強(qiáng)芯固基”號(hào)召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為
了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年收入的附加額y（單位：千萬(wàn)元）的影響，對(duì)2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對(duì)應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個(gè)年份中任意取3個(gè)，記X表示這三個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，，．
附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
，．
【答案】（1）
（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解，
（2）根據(jù)超級(jí)幾何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，
，
，
，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意，7個(gè)年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個(gè)，
所以X的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列如下：
所以X的期望是.
17. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以切線斜率為，
故切線方程為，即．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
令，，
恒成立，則恒成立，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．
綜上所述，．
18. 已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)A，B作C的兩條切線交于點(diǎn)P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點(diǎn)，且直線DE與C相切，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，直線方程聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合拋物線的定義即可求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PA、PB方程，進(jìn)而求得，設(shè)，求得、，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示與，即證，由（1），化簡(jiǎn)計(jì)算即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，，，
聯(lián)立，得，
則，，，
則，故，
所以C的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，因?yàn)閽佄锞€C：，則，
則，，則直線PA方程為，即，
同理直線PB方程為．
聯(lián)立，得，
則，將代入得，
兩式相加得，
即，所以點(diǎn)．
設(shè)直線DE與拋物線相切于點(diǎn)，則直線DE方程為．
設(shè)，，聯(lián)立，
兩式作比，即，同理，
因?yàn)椋?br>同理，
故要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證，
由（1）知，又，故，上式成立，
故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
19. 若非空集合A與B，存在對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．
設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對(duì)于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．
（1）若，，寫出Y，并求；
（2）若，，求所有的總和；
（3）對(duì)于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；
（2）對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行分類討論，求出對(duì)應(yīng)所有Y中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；
（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，，
所以．
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行討論：
①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
所以所有Y中2總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；
②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
不含5B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；
②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；
不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；
所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．
綜上，所有的總和為．
【小問(wèn)3詳解】
對(duì)于給定的，考慮在映射f下的變化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共個(gè)，
所以在映射f下變?yōu)椋?br>不含的子集B共個(gè)，在映射f下變?yōu)椋?br>所以在映射f下得到的所有的和為．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的總和為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合的有關(guān)知識(shí)點(diǎn).
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入額
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加額
7．30
X
0
1
2
3
P

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