2024廣東省大灣區(qū)高三下學期二模聯(lián)考試題數(shù)學含答案-試卷下載-教習網(wǎng)

數(shù) 學
本卷共6頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．
注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．
2、作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．集合的真子集個數(shù)為（）
A．3B．4C．7D．8
2．的展開式中，的系數(shù)為（）
A．B．10C．D．40
3．某圓臺上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為2，母線長為，則該圓臺的體積為（）
A．B．C．D．
4．已知正實數(shù)滿足，則（）
A．1B．C．4D．1或
5．若向量滿足，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
6．（）
A．B．C．D．
7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若與獨立，則的值為（）
A．2B．3C．4D．5
8．法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓．根據(jù)此背景，設(shè)為橢圓的一個外切長方形（的四條邊所在直線均與橢圓相切），若在第一象限內(nèi)的一個頂點縱坐標為2，則的面積為（）
A．B．26C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知一組數(shù)據(jù)是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則（）
A．中位數(shù)不變B．平均數(shù)變小C．方差變大D．方差變小
10．函數(shù)的定義域為，若對任意，都有，則（）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在上為單調(diào)函數(shù)
11．如圖，已知直三棱柱的所有棱長均為3，分別在棱，上，且分別為的中點，則（）
A．平面
B．若分別是平面和內(nèi)的動點，則周長的最小值為
C．若，過三點的平面截三棱柱所得截面的面積為
D．過點且與直線和所成的角都為的直線有且僅有1條
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)，為虛數(shù)單位，定義，則復數(shù)的模為________．
13．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則________．
14．在平面直角坐標系中，圓經(jīng)過點和點，與軸正半軸相交于點．若在第一象限內(nèi)的圓弧上存在點，使，則圓的標準方程為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．
（1）證明：；
（2）求點到平面的距離．
16．（15分）
已知數(shù)列為等差數(shù)列，，前項和為，滿足：當且時，．
（1）求的通項公式；
（2）定義集合，記的元素個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，求．
17．（15分）
一個袋子中裝有6個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同．現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機取出一個球，直到2個白球都被取出為止．以表示袋中還剩下的黑球個數(shù)．
（1）記事件表示“第次取出的是白球”，，求；
（2）求的分布列和數(shù)學期望．
18．（17分）
雙曲線的焦點為（在下方），虛軸的右端點為，過點且垂直于軸的直線交雙曲線于點（在第一象限），與直線交于點，記的周長為的周長為．
（1）若的一條漸近線為，求的方程；
（2）已知動直線與相切于點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點，為線段上一點，設(shè)為常數(shù)．若為定值，求的最大值．
19．（17分）
拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)存在點，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實數(shù)集上有唯一零點，且．
（1）證明：當時，；
（2）從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復以上過程，得的近似值序列．
①當時，證明：；
②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．