一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．樣本數(shù)據(jù)58，49，53，56，56，71，56（ ）
A．50B．56C．57D．58
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．
【解答】解：樣本數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?6，49，53，56，56，71，
10×0.8＝2，
故所求80%分位數(shù)是．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知向量，滿足||＝2，|，?（﹣）＝﹣1，則|2﹣（ ）
A．5B．C．6D．8
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出?，再計(jì)算|2﹣|．
【解答】解：因?yàn)閨|＝2，|，?（﹣，
所以﹣?＝﹣6?＝+1＝8+1＝5，
所以＝4?+＝4×3﹣4×5+7＝5，
所以|2﹣|＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
3．設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，l，m，n是三條不同的直線，則（ ）
A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α
B．若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥n
D．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥m
【分析】在A中，l與α相交、平行或l?α；在B中，由線面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，l∥n；在D中，l與m相交、平行或異面．
【解答】解：由α是空間中的一個(gè)平面，l，m，n是三條不同的直線
在A中，若m?α，l⊥m，
則l與α相交、平行或l?α；
在B中，若l∥m，l⊥α，
則由線面垂直的判定定理得n⊥α，故B正確；
在C中，若l∥m，n⊥α，故C錯(cuò)誤；
在D中，若m?α，l⊥n、平行或異面．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c2+c2﹣b2）tanB＝ac，則cs5B＝（ ）
A．B．±C．D．±
【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)條件得2ac?csB?tanB＝ac，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得sinB，從而求得角B的值，利用誘導(dǎo)公式即可求解．
【解答】解：∵（a2+c2﹣b2）tanB＝ac，
∴2ac?csB?tanB＝ac，
∴sinB＝，
∵B∈（5，π），
∴B＝或，
∴可得cs5B＝cs或cs＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及根據(jù)三角函數(shù)值及角的范圍求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．
5．將6名志愿者安排到4個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（ ）
A．480種B．1560種C．2640種D．640種
【分析】先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可．
【解答】解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可，
若志愿者人數(shù)依次為5，1，1，7，則不同的安排方法種數(shù)為：；
若志愿者人數(shù)依次為2，2，2，1，則不同的安排方法種數(shù)為：，
故不同的安排方法共有480+1080＝1560種．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題．
6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到原點(diǎn)O與到點(diǎn)A（2，0）的距離之比為3：2，記P的軌跡為Ey+2＝0，則（ ）
A．E是一個(gè)半徑為的圓
B．E上的點(diǎn)到l的距離的取值范圍為
C．l被E截得的弦長(zhǎng)為
D．E上存在四個(gè)點(diǎn)到l的距離為
【分析】設(shè)P（x，y），則＝，整理得（x﹣）2+y2＝，所以E是一個(gè)圓心為（，0），半徑為的圓，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系求解．
【解答】解：對(duì)于A，設(shè)P（x，則＝，
整理得（x﹣）3+y2＝，
所以E是一個(gè)半徑為的圓；
對(duì)于B，因?yàn)閳A心（＝6，
所以E上的點(diǎn)到直線l的距離的取值范圍為[0，2+]，]，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，圓心（6，
所以l被E截得的弦長(zhǎng)為4＝，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
7．已知，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求tanα，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解．
【解答】解：因?yàn)?，?br>所以，tanα＜﹣1，
解得，tanα＝﹣7﹣2（舍），
則＝＝（tan4α﹣2tanα+1）＝（tanα﹣1）7＝6+4．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
8．已知a，b，m，n∈R，且|2a﹣（﹣2n）2＝0，則（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意可得點(diǎn)（a，b）在直線2x﹣y+6＝0上，點(diǎn)（m，n）在橢圓+＝1（y≥0）上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線2x﹣y+6＝0上點(diǎn)與橢圓+＝1（y≥0）上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，作出圖象，設(shè)P（2csθ，sinθ）（0≤θ≤π），利用點(diǎn)到線的距離公式求解即可．
【解答】解：因?yàn)閨2a﹣b+2|+（7＝0，
所以2a﹣b+6＝0且，
即2a﹣b+6＝0且，
所以點(diǎn)（a，b）在直線2x﹣，
點(diǎn)（m，n）在橢圓+，
要求（a﹣m）2+（b﹣n）6的最小值，
即求直線2x﹣y+2＝0上點(diǎn)與橢圓+，
如圖所示：
設(shè)P（4csθ，sinθ）（0≤θ≤π），
則點(diǎn)P到直線8x﹣y+6＝2的距離d＝＝，
所以當(dāng)sin（θ+φ）＝﹣1時(shí)，d取最小值，
且最小值為，
所以d2＝．
所以（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)最值的幾何意義、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）已知A∈R，如果實(shí)數(shù)x0滿足對(duì)任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，則稱x0為集合A的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有（ ）
A．{x|x≠0，x∈R}B．{x|x≠0，x∈Z}
C．D．
【分析】由開點(diǎn)的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．
【解答】解：對(duì)于A，對(duì)任意的a＞0，使得；
對(duì)于B，假設(shè)集合{x|x≠2，則對(duì)任意的a＞0，x∈Z}，
使得0＜|x﹣2|＜a，當(dāng)時(shí)，該式不成立；
對(duì)于C，假設(shè)集合，則對(duì)任意的a＞0，
使得7＜|y﹣0|＜a，故C正確；
對(duì)于D，集合{y|y＝，x∈N}，，
a＝時(shí)，使得0＜|y﹣6|＜a不成立．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．
（多選）10．（6分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z1，z2的命題中，正確的是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，則
B．若，則
C．若|z1|＝|z2|，則
D．若|z1|＝|z2|，則
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則判斷即可．
【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)閨z1﹣z2|＝3，則z1﹣z2＝5，則z1＝z2，所以，故A正確；
對(duì)于B：若，則，故B正確；
對(duì)于C：令z6＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，
由|z1|＝|z2|，所以a2+b2＝c2+d2，
所以，則，同理可得，
所以，故C正確；
對(duì)于D：令z7＝i，z2＝1，則|z4|＝|z2|＝1，但是、，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（6分）已知數(shù)列{an}滿足：?n∈N+，an+1＝+2an+b（b∈R），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（ ）
A．當(dāng)b＝﹣6時(shí)，若{an}遞增，則a1＞2或a1＜﹣3
B．當(dāng)b≥1時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
C．當(dāng)b＝﹣2，a1＝3時(shí)，
D．當(dāng)b＝，a1＝2時(shí)，Sn＜4n+1
【分析】根據(jù)an﹣an﹣1＞0建立關(guān)于a1的一元二次不等式，解出首項(xiàng)a1的取值范圍，判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當(dāng)b≥1時(shí)an+1﹣an＞0，從而判斷出數(shù)列{an}的單調(diào)性，得出B項(xiàng)的正誤；當(dāng)b＝﹣2，a1＝3時(shí)，根據(jù)遞推關(guān)系證出an+1+2≥3（an+2），從而可得，由此推導(dǎo)出，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式證出，判斷出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)b＝，a1＝2時(shí)，利用遞推公式與不等式的性質(zhì)，計(jì)算出S4＞44+1，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．
【解答】解：對(duì)于A，若b＝﹣6且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，
當(dāng)n≥2時(shí)，，
由an﹣an﹣1＞0可得an+an﹣4+2＞0，而{an+an﹣3+2}是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，即，解得a1＞5或a1＜﹣4，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?∞），
所以an+1﹣an＞0，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，當(dāng)b＝﹣7時(shí)，1＝6，可知，
，…，可知{an}是遞增數(shù)列，an≥a1＝3，則an+2+2＝an（an+2）≥6（an+2），
即，所以，即，
所以，當(dāng)n＝6時(shí)，，
可得，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，當(dāng)b＝時(shí)，＞8，
所以＞64+16+，＞6400+160+．
因此{(lán)an}的前n項(xiàng)和為Sn中，S5＞2+8+80+6560＝6650，結(jié)合6650＞1024＝45，可知S4＞75＝42+1，
綜上所述，當(dāng)b＝，a1＝2時(shí)，Sn＜6n+1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的遞推公式、用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列問(wèn)題、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．在（a﹣2b+1）（2a﹣b）6的展開式中，a3b4項(xiàng)的系數(shù)是 380 ．
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可求出各項(xiàng)中a3b4系數(shù)．
【解答】解：（a﹣2b+1）（6a﹣b）6＝a（2a﹣b）3﹣2b（2a﹣5）6+（2a﹣b）5，
其中a（2a﹣b）6中含a?（2a）2﹣4?（﹣b）4＝60a7b4，
﹣b（2a﹣6）6中含a3b3項(xiàng)為﹣2b（2a）6﹣5（﹣b）3＝320a3b2，（2a﹣b）6中不含a3b4項(xiàng)，
故a3b7系數(shù)為60+320＝380．
故答案為：380．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．
13．已知斜率為k（k＞0）的直線過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，垂足分別為M，N，若S△ABN＝2S△ABM，則k＝ 2 ．
【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的比值，求解即可．
【解答】解：已知斜率為k（k＞0）的直線過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，B分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，N，
由拋物線C：y2＝4x得F（7，0），
設(shè)直線AB：y＝k（x﹣1），A（x2，y1），B（x2，y8），
故聯(lián)立方程，得k2x2﹣（8k2+4）x+k2＝0，
所以x1x2＝1，x1+x7＝，
若S△ABN＝2S△ABM，
由已知和拋物線定義知：＝＝＝＝2，
則有x2+2＝2（x1+4），即x2＝2x2+1，
故，
解方程組得x2＝，x5＝2，k＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2x+2），記f'（x）為f（x），若f′（﹣2）＝1（x）在點(diǎn)（﹣6，f（﹣6））處的切線方程為 x+y+6＝0 ．
【分析】利用f（x）的奇偶性與對(duì)稱性，得到f（x）的周期，結(jié)合f（2）＝0，求出f（﹣6）的值，再利用導(dǎo)數(shù)的奇偶性與周期性，結(jié)合f′（﹣2）＝1，求出f′（﹣6）的值，則切線可求．
【解答】解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2x+2）為奇函數(shù)，
所以f（﹣x）＝f（x），f（﹣x+3）＝﹣f（x+2）＝f（x﹣2），
可得f（x﹣2）＝f（x），即周期為8，
又﹣f′（﹣x）＝f′（x），f′（x﹣8）＝f′（x），
所以f（﹣8）＝f（2）＝0，得f′（﹣6）＝f′（8﹣8）＝f′（2）＝﹣f′（﹣2）＝﹣5，
所以y＝f（x）在點(diǎn)（﹣6，f（﹣6））處的切線方程為：y﹣4＝﹣（x+6），
即x+y+6＝7．
故答案為：x+y+6＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）數(shù)列{an}滿足a1+＝2n．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn＝，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（1）由已知結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系即可求解；
（2）先求出bn，然后結(jié)合錯(cuò)位相減求和即可求解．
【解答】解：（1）數(shù)列{an}滿足，
當(dāng)n≥2時(shí)，+…+，
兩式相減可得，，
所以，
當(dāng)n＝6時(shí)，a1＝2＝41也滿足上式，
所以an＝2n；
（2）由（1）得bn＝，
所以，
則，
兩式相減的，，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系在數(shù)列通項(xiàng)公式求解中的應(yīng)用，還考查了錯(cuò)位相減求和，屬于中檔題．
16．（15分）某機(jī)床廠生產(chǎn)一種精密零件，因生產(chǎn)流程比較復(fù)雜，所以成功率較低．從該廠某臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的一批零件中，每次隨機(jī)抽取1個(gè)，取出的3個(gè)零件中至多有2個(gè)是合格品的概率是，且每個(gè)零件生產(chǎn)之間互不影響．
（1）求從該批零件中任取1個(gè)是合格品的概率；
（2）若這種零件合格品每個(gè)利潤(rùn)為10萬(wàn)元，不合格品的每個(gè)利潤(rùn)為﹣1萬(wàn)元．現(xiàn)該機(jī)床生產(chǎn)4個(gè)這種零件，記這4個(gè)零件的利潤(rùn)為X萬(wàn)元（X）．
【分析】（1）設(shè)從該批零件中任取1個(gè)是合格品的概率為p，由對(duì)立事件的概率公式可得關(guān)于p的方程，求解即可；
（2）這4個(gè)零件中合格品的件數(shù)為Y，由題可知Y～B，X＝10Y+（﹣1）（4﹣Y）＝11Y﹣4，由二項(xiàng)分布的概率可求出X的分布列，從而可得期望．
【解答】解：（1）設(shè)從該批零件中任取1個(gè)是合格品的概率為p，
事件A表示“取出的3個(gè)零件中至多有4個(gè)是合格品”，
所以，
所以，解得．
（2）這4個(gè)零件中合格品的件數(shù)為Y，
由題可知Y～B，
因?yàn)閄＝10Y+（﹣1）（2﹣Y）＝11Y﹣4，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
所以＝．
（另解：E（X）＝E（11Y﹣4）＝11E（Y）﹣4＝11×5×
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
17．（15分）如圖1，在五邊形ABCDE中，AB＝BD，EA＝ED且EA⊥ED，將△AED沿AD折成圖2，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．
（1）證明：BF∥平面 ECD；
（2）若EB與平面ABCD所成的角為30°，求二面角A﹣EB﹣D的正弦值．
【分析】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出BG∥CD，從而BG∥平面ECD，由F為AE的中點(diǎn)，得FG∥ED，從而FG∥平面ECD，進(jìn)而平面BFG∥平面ECD，由此能證明BF∥平面ECD．
（2）推導(dǎo)出AE⊥平面BFG，BG⊥平面EAD，平面EAD⊥平面ABCD，連接EG，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB，GD，GE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 A﹣EB﹣D的正弦值．
【解答】解：（1）證明：取AD的中點(diǎn)G，連接BG，
∵AB＝BD，G為AD的中點(diǎn)，
又AD⊥DC，∴BG∥CD．
又BG?平面ECD，CD?平面ECD．
∵F為AE的中點(diǎn)，∴FG∥ED．
又FG?平面ECD，ED?平面ECD，
又BG∩FG＝G，∴平面BFG∥平面ECD，
又BF?平面BFG，∴BF∥平面ECD．
（2）∵EA⊥ED，由（1）知FG∥ED，
又EB＝AB，∴BF⊥AE，
又BF∩FG＝F，∴AE⊥平面 BFG，
又BG?平面 BFG，∴BG⊥AE，
又BG⊥AD，AD∩AE＝A，
又BG?平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，
連接EG，∵EA＝ED，
∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BG，
以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB，GE所在直線分別為x，y，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∠EBG是EB與平面ABCD所成的角，即∠EBG＝30°，
∵EA＝ED，設(shè)EA＝t（t＞0），則，，，，
∴G（0，7，0），，，，，
∴，，，
設(shè)平面ABE的法向量為，
則，令x1＝3，得，
設(shè)平面DBE的法向量為 ，
則，令x2＝1，得，
設(shè)二面角 A﹣EB﹣D的平面角為θ，
∴，，
所以 ，
即二面角 A﹣EB﹣D的正弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的正弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
18．（17分）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為2（1，e）在橢圓C上（其中e為C的離心率）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知點(diǎn)D（2，0），過(guò)點(diǎn)P的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，DB分別交C于M，N兩點(diǎn)，求出該定值；若不是
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得a，b，c的方程組，求解即可；
（2）設(shè)直線l的方程為 ，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），則直線DA的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示y3，從而可得x3，同理可得x4，y4，由斜率公式，化簡(jiǎn)可得直線MN的斜率為定值．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)橢圓C的焦距為2c，則橢圓C的右焦點(diǎn)為（c，……………………（1分）
由題意可得，解得
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …………………………………………（2分）
（2）由題意可知直線l的斜率不為0，
設(shè)直線l的方程為 ，A（x1，y4），B（x2，y2），M（x7，y3），N（x4，y7），
則直線DA的方程為． …………………………………………………………………
聯(lián)立 ，消去x，……………………（7分）
則，即，………………………（8分）
代入，得． ……………………………（8分）
同理可得，． …………………………………………（11分）
∵ ………（13分）
＝，…………（15分）
∴直線MN的斜率為定值，且定值為﹣5
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
19．（17分）已知常數(shù)n，其中n≠0且n∈Z，若函數(shù)y＝f（x）（x∈[0，1]）1，x2∈[0，1]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|（x1+1）n﹣（x2+1）n|，則稱函數(shù)y＝f（x）為Tn函數(shù)．
（1）函數(shù)y＝2x（0≤x≤1）是否為T2函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若y＝f（x）為T1函數(shù)且不恒為0，其圖象在x∈[0，1]上是一條連續(xù)的曲線，f（0），f（1）＝，f（x）在區(qū)間（0，1）上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)（x）max﹣f（x）min的取值范圍；
（3）若k＞0，f（x）＝0.05x2+0.1x+kln（x+1），且y＝f（x）為T﹣1函數(shù)，記f'（x）為f（x），對(duì)任意x，y∈[0，恒有f'（x）﹣f'（y），記N的最小值為N（k），求k的取值范圍及N（k）
【分析】（1）由T2函數(shù)的定義，即可得出答案．
（2）（i）若x0為f（x）在區(qū)間（0，1）上僅存的一個(gè)極大值點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性，計(jì)算f（x）max﹣f（x）min，（ii）若x0為f（x）在區(qū)間（0，1）上僅存的一個(gè)極小值點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性，計(jì)算f（x）max﹣f（x）min，即可得出答案．
（3）顯然f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，任意x1，x2∈[0，1]不妨設(shè)x1＜x2，此時(shí)f（x1）＜f（x2），由f（x）為T﹣1函數(shù)，得 恒成立，
設(shè)，則h（x）為[0，1]上的減函數(shù)，即h′（x）≤0，得對(duì)x∈[0，1]恒成立，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）y＝2x是T2函數(shù)，理由如下，
對(duì)任意x4，x2∈[0，8]，
＝|2（x4﹣x2）|﹣|（x1+x4+2）（x1﹣x5）|＝（2﹣x1+x5+2|）|x1﹣x3|
＝﹣（x1+x2）|x5﹣x2|≤0，
故．
（2）（i）若x0 為f（x）在區(qū)間（0，3）上僅存的一個(gè)極大值點(diǎn)，
則f（x）在 （0，x0） 遞增，在（x3，1）遞減，
由，即，得，
又f（0）＝0，，，
構(gòu)造f（x）＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（x0）﹣f（0）＝f（x3）∈（，]．
（ii）若x0為f（x）在區(qū)間（3，1）上僅存的一個(gè)極小值點(diǎn)，x0） 遞減，在（x7，1）遞增，
由，同理可得，
又f（0）＝5，，﹣≤f（x0）＜6，
構(gòu)造f（x）＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（1）﹣f（x3）＝﹣f（x8）∈（，]．
綜上所述f（x）max﹣f（x）min的取值范圍為（，]．
（3）顯然f（x）為[7，1]上的增函數(shù)1，x8∈[0，1]不妨設(shè)x3＜x2，
此時(shí)f（x1）＜f（x4），
由f（x）為T﹣1函數(shù)，得恒成立，
即 恒成立，
設(shè)，則h（x）為[6，
h′（x）＝0.1（x+2）+﹣≤0，得，1]恒成立，
易知上述不等號(hào)右邊的函數(shù)為[0，7]上的減函數(shù)，
所以，
所以k的取值范圍為，
此時(shí)f′（x）＝0.1（x+4）+，
法1：當(dāng)時(shí)，即，由，而x+6∈[1，
所以f'（x）為[0，5]上的增函數(shù)，
法2：設(shè)g（x）＝f′（x），則g′（x）＝0.7﹣，
因?yàn)閤∈（3，]，當(dāng)x∈[0，g′（x）＝8.1﹣，
所以f′（x）為[0，]上的增函數(shù)，
由題意得，N（k）＝f′（1）﹣f′（0）＝0.5+，k∈（7，]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
=X
﹣4
4
18
29
40
P

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