一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量，滿足，，，則與的夾角等于（ ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
2.若復數，則的最大值是（ ）
A.B.C.D.
3.已知甲、乙兩支籃球隊各6名隊員某場比賽的得分數據（單位：分）從小到大排列如下：甲隊：7，12，12，20，，31；乙隊：8，9，，19，25，28.這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則的值為（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.已知，，則的值為（ ）
A.2B.3C.4D.5
5.若，則（ ）
A.B.7C.D.
6.經過拋物線焦點的直線與交于，兩點，與拋物線的準線交于點，若，，成等差數列，則（ ）
A.B.C.D.
7.貝塞爾曲線（Bezier curve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數的圖象是可由，，，四點確定的貝塞爾曲線，其中，在的圖象上，在點，處的切線分別過點，.若，，，，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知函數，且點滿足，，若記點構成的圖形為，則的面積是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.若，則（ ）
A.B.
C.D.
10.某企業(yè)使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”.改進生產工藝后，該款芯片的某項質量指標服從正態(tài)分布，現從中隨機抽取個，這個芯片中恰有個的質量指標位于區(qū)間，則下列說法正確的是（ ）
（若，則，）
A.B.
C.D.取得最大值時，的估計值為53
11.若正實數，滿足，則（ ）
A.B.有序數對（）有6個
C.的最小值是D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12.將函數圖象上的每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度，所得的圖象關于軸對稱，寫出一個符合條件的的值__________.
13.已知定義在上的滿足，且，則________.
14.已知一個頂點為，底面中心為的圓錐的體積為，該圓錐的頂點和底面圓周均在球上.若圓錐的高為3，則球的半徑為_________；球的體積的最小值是_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程戓演算步驟.
15.（13分）如圖所示，已知正方體的棱長為3，，分別是，的中點，是上一點，且平面.
（1）求；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16.（15分）已知函數在處的切線經過原點.
（1）判斷函數的單調性；
（2）求證：函數的圖像與直線有且只有一個交點.
17.（15分）在中，點在邊上，且滿足.
（1）求證：；
（2）若，，求的面積的最小值.
18.（17分）如圖，已知正方體頂點處有一質點，點每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質點的初始位置位于點處，記點移動次后仍在底面上的概率為.
（1）求；
（2）①求證：數列是等比數列；
②求.
19.（17分）已知橢圓（）的左右頂點分別為，，且，，，四個點中恰有三個點在橢圓上.若點是橢圓內（包括邊界）的一個動點，點是線段的中點.
（1）若，且與的斜率的乘積為，求的面積；
（2）若動點滿足，求的最大值.
決勝新高考——2024屆高三年級大聯考
數學參考答案與評分標準
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.ACD 10.ACD 11.AB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.，13.14.3；
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.解：（1）如圖，以點為原點，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，
所以，.
設平面的一個法向量為，
由得，
取，則，故.
設，則.
因為平面，所以，
所以，所以.
（2）因為，
平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角為，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16.（15分）解：（1）因為，所以切點為.
因為，所以，
所以切線方程為.
因為切線經過原點，所以，所以.
故，
所以在上單調遞增.
（2）設（），
則.
因為當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
且，
因為，且當時，單調遞減，所以
所以當時，，
所以函數在時沒有零點，
所以當時，函數的圖像與直線沒有交點.
當時，，單調遞增，
又因為，且函數的圖像是不間斷的，
所以當時，函數有且只有一個零點，
函數的圖像與直線有且只有一個交點.
綜上所述，函數的圖像與直線有且只有一個交點.
17.（15分）解：（1）在中，由正弦定理，得.
在中，由正弦定理，得.
因為，所以，所以.
因為，所以，
所以，
所以.
又因為，，且，
所以.
（2）因為，
所以，
所以，
因為，所以，所以.
因為，
所以，
所以.
因為，
所以，
所以，當且僅當時等號成立.
所以的面積的最小值為.
18.（17分）解：（1）依題意，每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面.
所以當點在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為，
在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為，
又因為，所以.
（2）因為，
所以.
又因為，所以，
所以數列是等比數列.
因為，
所以，所以.
設，
則，
則，
所以，
所以，
所以.
又因為，
所以.
19.（17分）解：因為與關于軸對稱，所以這兩個點必定都在橢圓上，
所以.
若點在橢圓上，則.
因為方程組無解，所以點不在橢圓上.
若點在橢圓上，則，所以，.
綜上可知：橢圓.
（1）因為點是線段的中點，點是線段的中點，
所以，，
所以，.
設，則，.
化簡得，所以或，
又因為點是橢圓內（包括邊界）的一個動點，所以.
因為，所以，所以.
所以的面積為.
（2）因為動點滿足，所以點在以為直徑的圓上.
因為點是線段的中點，所以.
因為，，所以.
設，則當時，點在線段上，此時.
當時，設，點在以，為焦點的橢圓上.
若，則，
所以，所以點在橢圓外，不成立，故舍去.
若，設，則，所以，
因為，所以，，
所以.
所以的最大值是，當且僅當，，三點共線時等號成立.
另解：設，因為點是橢圓內（包括邊界）的一個動點，
所以，
所以，
所以，所以，所以.
當時，取得最大值是.
注意事項
考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求
1.本試卷共4頁，包含單選題（1~8）多選題9~12，填空題（第13題~第16題，共80分）、解答題（第17~22題，共70分）.本次考試時間120分鐘，滿分150分、考試結束后，請將答題卡交回.
2.答題前，請考生務必將自己的姓名、學校、班級、座位號、考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應位置.
3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答.在試卷或草稿紙上作答一律無效.
4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清楚.

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