(1)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線(xiàn)：；直線(xiàn)：；(2)或或；(3)，或，或，
【分析】（1）由題得拋物線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線(xiàn)的解析式；設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線(xiàn)的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而列方程求解；
（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)法表示出各線(xiàn)段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，
拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入上式，得，
．
拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入上式，
得，
解得．
直線(xiàn)的表達(dá)式為．
（2）解：點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，
或．
①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
則，，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線(xiàn)的表達(dá)式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
則，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線(xiàn)的表達(dá)式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線(xiàn)段交軸正半軸于點(diǎn)，．

①求證：．
②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，且．的半徑長(zhǎng)為線(xiàn)段的長(zhǎng)度的倍，若，求的值．
【答案】(1)；(2)①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）依題意得出二次函數(shù)解析式為，該二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，代入即可求解；
（2）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)題意可得，，由①可得，進(jìn)而得出，由已知可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，將代入，解關(guān)于的方程，進(jìn)而得出，可得對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴二次函數(shù)解析式為，
∵該二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半徑長(zhǎng)為線(xiàn)段的長(zhǎng)度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，
∴是方程的兩個(gè)根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，解得：（正值舍去）
∴，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點(diǎn)E位于第二象限且在直線(xiàn)上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；
(2)求證：；
(3)直線(xiàn)EA交x軸于點(diǎn)．將經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)．
①若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)，求t的值；
②若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P在直線(xiàn)上，求t的值；
③將拋物線(xiàn)再向下平移，個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)．若點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)等腰直角三角形；(2)詳見(jiàn)解析；(3)①；②；③
【分析】（1）由得到，又由，即可得到結(jié)論；
（2）由，得到，又有，，利用即可證明；
（3）①求出直線(xiàn)的解析式和拋物線(xiàn)的解析式，聯(lián)立得，由即可得到t的值；
②拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位得到拋物線(xiàn)，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，將頂點(diǎn)代入得到，解得,根據(jù)即可得到t的值；
③過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N，先證明，則，設(shè),由得到,則,求得,得到，由拋物線(xiàn)再向下平移個(gè)單位，得到拋物線(xiàn),把代入拋物線(xiàn),得到,解得,由，得,即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形
（2）如圖，

∵，，
，
，
∵，
；
（3）①設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
，
∴，
，
將代入拋物線(xiàn)得，
，
解得，
，
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)
∴聯(lián)立解析式組成方程組解得
②∵拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位得到，
∴拋物線(xiàn)，
拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
將頂點(diǎn)代入，
，解得,
∵，
；
③過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N,

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式為，
∴設(shè),
∴，
軸,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
拋物線(xiàn)再向下平移個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)，
∴拋物線(xiàn),
代入拋物線(xiàn),
,
解得,
由，得,
∴，
．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4.如圖，已知拋物線(xiàn)交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線(xiàn)位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出圖象位于線(xiàn)段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若直線(xiàn)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出的值；
(3)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線(xiàn)于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．
(1)
解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
設(shè)圖象的解析式為，代入，解得，
∴對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為=．
(2)
解：聯(lián)立方程組，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線(xiàn)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)；
(3)
解：存在．如圖1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，N與C關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴；
如圖2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
由，解得，（舍），
∴N的橫坐標(biāo)為，
所以；
如圖3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線(xiàn)的解析式為，
聯(lián)立方程組：，解得，（舍），
∴N的橫坐標(biāo)為，
所以，
因此，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，屬于綜合題型，有點(diǎn)難度．
5.已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、B（其中A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使與相似且與是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），；（2）存在，或．
【分析】
(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,確定的坐標(biāo)為（2，8），計(jì)算C=2，利用直角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分類(lèi)求解即可.
【詳解】
解：（1）令，則，
∴，
∴．
令，則．
∴．
（2）存在．由已知得，該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
∴，．
∴．
∵點(diǎn)P在y軸上，
∴
∴當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，
i）當(dāng)時(shí)，則，
∴．
∴
ii）當(dāng)時(shí)，則，
∴
∴．
iii）當(dāng)時(shí)，則，與矛盾．
∴點(diǎn)P不存在
∴或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，對(duì)稱(chēng)軸的意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的相似和進(jìn)行一元二次方程根的求解是解題的關(guān)鍵．
6.已知拋物線(xiàn)與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖1，若，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，交直線(xiàn)于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，當(dāng)n為何值時(shí)，；
（3）如圖2，將直線(xiàn)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，然后將它向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線(xiàn)．
①______；
②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)的解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線(xiàn)的解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；
②先求出直線(xiàn)的解析式，再與直線(xiàn)的解析式聯(lián)立求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式求解即可得．
【詳解】
解：（1）將點(diǎn)，代入得：，
解得，
則拋物線(xiàn)的解析式為；
（2）由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，
對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
將點(diǎn)，代入得：，解得，
則直線(xiàn)的解析式為，
，
，，
，
，即，
解得或（與不符，舍去），
故當(dāng)時(shí)，；
（3）①如圖，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
將點(diǎn)，代入得：，解得，
則直線(xiàn)的解析式為，
由平移的性質(zhì)得：直線(xiàn)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，即，
，
，
故答案為：；
②由題意得：，
則設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線(xiàn)的解析式為，
聯(lián)立，解得，
即直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，即，
將點(diǎn)代入得：，
整理得：，
解得或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，－3），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，直線(xiàn)y＝－2x＋m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和m的值；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
（3）直線(xiàn)y＝1上有M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），且MN＝2，若將線(xiàn)段MN在直線(xiàn)y＝1上平移，當(dāng)它移動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)會(huì)達(dá)到最小，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）
【分析】
（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出A（1，0），再利用待定系數(shù)法，即可求解；再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式，即可求出m的值；
（2）先求出E（-5，12），過(guò)點(diǎn)E作EP⊥y軸于點(diǎn)P，從而得，即可得到P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E作，交y軸于點(diǎn)，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；
（3）作直線(xiàn)y=1，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到，作點(diǎn)E關(guān)于y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與直線(xiàn)y=1交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN∥，交直線(xiàn)y=1于點(diǎn)N，在中和 中分別求出EF， ，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∴A（1，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，
∴二次函數(shù)解析式為：y= (x-1)(x+3)，即：，
∵直線(xiàn)y＝－2x＋m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴0=-2×1+m，解得：m=2；
（2）由（1）得：直線(xiàn)AF的解析式為：y=-2x+2，
又∵直線(xiàn)y=-2x+2與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即D（0，2），
聯(lián)立，解得：，，
∵點(diǎn)E在第二象限，
∴E（-5，12），
過(guò)點(diǎn)E作EP⊥y軸于點(diǎn)P，
∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，
∴，
∴P（0，12）；
過(guò)點(diǎn)E作，交y軸于點(diǎn)，可得，
∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，
∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，
∴，即：，解得：，
∴（0，14.5），
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，12）或（0，14.5）；
（3）∵點(diǎn)E、F均為定點(diǎn)，
∴線(xiàn)段EF長(zhǎng)為定值，
∵M(jìn)N=2，
∴當(dāng)EM+FN為最小值時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)最小，
作直線(xiàn)y=1，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到，作點(diǎn)E關(guān)于y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與直線(xiàn)y=1交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN∥，交直線(xiàn)y=1于點(diǎn)N，
由作圖可知：，
又∵三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴EM+FN=，此時(shí)，EM+FN的值最小，
∵點(diǎn)F為直線(xiàn)y=-2x+2與直線(xiàn)x=-1的交點(diǎn)，
∴F（-1，4），
∴（-3，4），
又∵E（-5，12），
∴（-5，-10），
延長(zhǎng)F交線(xiàn)段E于點(diǎn)W，
∵F與直線(xiàn)y=1平行，
∴FW⊥E，
∵在中，由勾股定理得：EF=，
在中，由勾股定理得：=，
∴四邊形MEFN的周長(zhǎng)最小值=ME+FN+EF+MN=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)，利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，構(gòu)造線(xiàn)段和的最小值，是解題的關(guān)鍵．
8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)
（1）求證：∠ACB=90°
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
①求DE+BF的最大值；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）（2）①9；②或．
【分析】
（1）分別計(jì)算A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長(zhǎng)，最后利用勾股定理逆定理解題；
（2）①先解出直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)性質(zhì)，解得AG的長(zhǎng)，再證明，再分兩種情況討論以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．
【詳解】
解：（1）令x=0，得
令得
，
（2）①設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：，代入，得
設(shè)
即DE+BF的最大值為9；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，
在中，
即為等腰三角形，
若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，
則①
又
，
或
經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，舍去，
②，
又
整理得，
，
或，
同理：不合題意，舍去，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
9.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）有最大值為，P點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】
（1）將，代入中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值即可；
（2）設(shè)與y軸交于點(diǎn)E，根據(jù)軸可知，，當(dāng)，即，由此推斷為等腰三角形，設(shè)，則，所以，由勾股定理得，解出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定出BP的函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)與交于點(diǎn)N，過(guò)B作y軸的平行線(xiàn)與相交于點(diǎn)M．由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得所在直線(xiàn)表達(dá)式，求得 M點(diǎn)坐標(biāo)，則，由，可得，，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：（1）由題意可得：
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）設(shè)與y軸交于點(diǎn)E，
∵軸，
，
，
，
，
，設(shè)，
則，，
在中，由勾股定理得，
解得，
，
設(shè)所在直線(xiàn)表達(dá)式為
解得
∴直線(xiàn)的表達(dá)式為．
（3）設(shè)與交于點(diǎn)N．
過(guò)B作y軸的平行線(xiàn)與相交于點(diǎn)M．
由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
可得所在直線(xiàn)表達(dá)式為
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，可得，
設(shè)，則
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值0.8，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．
10.如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）P是該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線(xiàn)，垂足為D，E是l上的點(diǎn)．要使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【分析】
（1）將點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線(xiàn)表達(dá)式，即可求解；
（2）由題意得：PD＝DE＝3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，分點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)、點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)兩種情況，分別求解即可．
【解析】
（1）將點(diǎn)（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得12=9+3b+c?3=4?2b+c，解得b=2c=?3，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，令y＝0，則x＝﹣3或1，令x＝0，則y＝﹣3，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0）；點(diǎn)C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴當(dāng)PD＝DE＝3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，
設(shè)點(diǎn)P（m，n），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故點(diǎn)P（2，5），
故點(diǎn)E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，點(diǎn)P（﹣4，5），此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)同上，
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（﹣1，8）．
11.如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；
（3）點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），進(jìn)而可得出PF的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；
（3）分兩種不同情況，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方或下方時(shí)，畫(huà)出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．
【解析】
（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：a?b+6=09a+3b+6=0，解得：a=?2b=4，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，如圖1所示．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+c，
將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
3k+c=0c=6，解得：k=?2c=6，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣2x+6．
∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC=12PF?OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m?32）2+274，
∴當(dāng)m=32時(shí)，△PBC面積取最大值，最大值為274．
∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，
∴0＜m＜3．
（3）存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．
如圖2，∠CMN＝90°，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△OBC相似，
設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
當(dāng)DMCD=OBOC=36=12時(shí)，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴a?2a2+4a=12，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此時(shí)ND=12DM=12，
∴N（0，172），
當(dāng)CDDM=OBOC=12時(shí)，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴?2a2+4aa=12，
解得a=74，
∴M（74，558），
此時(shí)N（0，838）．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C的下方，
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：2a2?4aa=12或2a2?4aa=2，△CMN與△OBC相似，
解得a=94或a＝3，
∴M（94，398）或M（3，0），
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，38）或（0，?32）．
綜合以上得，M（1，8），N（0，172）或M（74，558），N（0，838）或M（94，398），N（0，38）或M（3，0），N（0，?32），使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．

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