1．（4分）數(shù)列1，23，35，47，59?的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A．a(chǎn)n=n2n+1B．a(chǎn)n=n2n-1C．a(chǎn)n=n2n-3D．a(chǎn)n=n2n+3
2．（4分）若函數(shù)f（x）＝3x+sin2x，則（ ）
A．f′（x）＝3xln3+2cs2xB．f′（x）＝3x+2cs2x
C．f′（x）＝3xln3+cs2xD．f′（x）＝3xln3﹣cs2x
3．（4分）二項(xiàng)式（x+2）7的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．21B．35C．84D．280
4．（4分）函數(shù)f（x）＝x﹣2lnx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．（0，2）B．（0，e）C．（1e，+∞）D．（2，+∞）
5．（4分）汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為v1，v2，v3，則三者的大小關(guān)系為（ ）
A．v1＜v2＜v3B．v1＜v3＜v2
C．v3＜v2＜v1D．v2＜v3＜v1
6．（4分）定義在區(qū)間[-12，4]上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）單調(diào)遞增
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間(-12，0)單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）在x＝0處取得極小值
D．函數(shù)f（x）在x＝3處取得極小值
7．（4分）已知曲線y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，則（ ）
A．a(chǎn)＝e，b＝﹣1B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1D．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣1
8．（4分）設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要條件B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件
9．（4分）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]
10．（4分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（ ）
A．440B．330C．220D．110
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．（5分）用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)如圖所示的三個(gè)方格進(jìn)行涂色．若要求每個(gè)小方格涂一種顏色，且涂成紅色的方格數(shù)為偶數(shù)，則不同的涂色方案種數(shù)是 ．（用數(shù)字作答）
12．（5分）若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，則a2b2= ．
13．（5分）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于 ．
14．（5分）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為 ．
（多選）15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=x+e|x|x，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．f（x）為奇函數(shù)
B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱
C．f（x）的最小值為e+1
D．若f(x)f(x)-1=k有兩個(gè)不等實(shí)根，則1-1e＜k＜1+1e，且k≠1
三、解答題：本大題共5小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
16．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝﹣9，a10＝5．
（1）①求公差d；
②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
③設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最小的n的值．
（2）若數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
②求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
17．已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）當(dāng)a＝3時(shí)，求f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若a＞0，求f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值．
18．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣1與函數(shù)g（x）＝alnx（a≠0）．
（1）若f（x），g（x）的圖像在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)F（x）＝f（x）﹣2g（x）．
①求函數(shù)F（x）的極值；
②試判斷函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
19．已知f（x）＝x﹣aex，a∈R．
（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上存在極值，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）＝f（2﹣x），在（2）的條件下，試判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．
20．已知二次函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f（n）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn＝（3）an+5，cn=6bn2+bn+1-bnbnbn+1，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn＞2n+t對(duì)任意n∈N，n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京交大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．【解答】解：1=11，由數(shù)列11，23，35，47，59?，觀察到：分子為項(xiàng)數(shù)n，分母為奇數(shù)2n﹣1．
可得的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2n-1．
故選：B．
2．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝3x+sin2x，所以f′（x）＝（3x）′+（sin2x）′＝3xln3+2cs2x．
故選：A．
3．【解答】解：二項(xiàng)式（x+2）7的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)?75×22＝84．
故選：C．
4．【解答】由題可知，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
由f′(x)=1-2x＜0，
解得0＜x＜2，
所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
故選：A．
5．【解答】解：v1=s(t1)-s(t0)t1-t0，v2=s(t2)-s(t1)t2-t1，v3=s(t3)-s(t2)t3-t2，
可以看作兩點(diǎn)間連線的斜率，
所以v1＜v2＜v3．
故選：A．
6．【解答】解：由題意可知x∈（-12，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
x∈（0，4）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，所以A、B、C正確，
D不正確；
故選：D．
7．【解答】解：y′＝aex+lnx+1，
k＝y(tǒng)′|x＝1＝ae+1＝2，∴a＝e﹣1
將（1，1）代入y＝2x+b，得2+b＝1，b＝﹣1．
故選：D．
8．【解答】解：{an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，
若“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：當(dāng)首項(xiàng)為2，q=-12時(shí)，各項(xiàng)為2，﹣1，12，-14，…，此時(shí)2+（﹣1）＝1＞0，12+（-14）=14＞0；
而“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分條件，
故選：C．
9．【解答】解：由題意可作出函數(shù)y＝|f（x）|的圖象，和函數(shù)y＝ax的圖象，
由圖象可知：函數(shù)y＝ax的圖象為過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式為y＝x2﹣2x，
求其導(dǎo)數(shù)可得y′＝2x﹣2，因?yàn)閤≤0，故y′≤﹣2，故直線l的斜率為﹣2，
故只需直線y＝ax的斜率a介于﹣2與0之間即可，即a∈[﹣2，0]
故選：D．
10．【解答】解：方法一、設(shè)該數(shù)列為{an}，設(shè)bn=a(n-1)n2+1+?+an(n+1)2=2n﹣1，（n∈N+），則i=1n bi=i=1n(n+1)2 ai，
由題意可設(shè)數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為SN，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，
可知當(dāng)N為n(n+1)2時(shí)（n∈N+），數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，即為2n+1﹣n﹣2，
容易得到N＞100時(shí)，n≥14，
A項(xiàng)，由29×302=435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A項(xiàng)符合題意．
B項(xiàng)，仿上可知25×262=325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項(xiàng)不符合題意．
C項(xiàng)，仿上可知20×212=210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項(xiàng)不符合題意．
D項(xiàng)，仿上可知14×152=105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項(xiàng)不符合題意．
故選A．
方法二：由題意可知：20︸第一項(xiàng)，20，21第二項(xiàng)，20，21，22第三項(xiàng)，?20，21，22，?，2n-1第n項(xiàng)，
根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，…，n，
總共的項(xiàng)數(shù)為N＝1+2+3+…+n=(1+n)n2，
所有項(xiàng)數(shù)的和為Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n=2(1-2n)1-2-n＝2n+1﹣2﹣n，
由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣n消去即可，
則①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，總共有(1+1)×12+2＝3，不滿足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，總共有(1+5)×52+3＝18，不滿足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，總共有(1+13)×132+4＝95，不滿足N＞100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，總共有(1+29)×292+5＝440，滿足N＞100，
∴該款軟件的激活碼440．
故選：A．
方法三、要使k(k+1)2＞100，有k≥14，此時(shí)k+2＜2k+1，
∴k+2是之后的等比數(shù)列1，2，…，2k+1的部分和，
即k+2＝1+2+...+2s﹣1＝2s﹣1，∴k＝2s﹣3≥14，s的最小值為5，
此時(shí)k＝25﹣3＝29．
對(duì)應(yīng)最小的滿足條件的N=29×302+5=440．
故選：A．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．【解答】解：因?yàn)橥砍杉t色的方格數(shù)為偶數(shù)，即涂成紅色的方格數(shù)為0，或2，
3個(gè)格涂一種顏色，有2種，（全黃或全藍(lán)）
3個(gè)格涂2顏色且涂0個(gè)紅色時(shí)，C21C32＝6種，
3格涂2顏色且涂2個(gè)紅色時(shí)，C21C32＝6種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得共有2+6+6＝14種，
故答案為：14．
12．【解答】解：等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；
8＝﹣q3，解得q＝﹣2，∴b2＝2．
可得a2b2=1．
故答案為：1．
13．【解答】解：數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4＝9，a2a3＝8，
可得a1a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，
∴8＝1×q3，q＝2，
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為：1-2n1-2=2n﹣1．
故答案為：2n﹣1．
14．【解答】解：設(shè)F（x）＝f（x）﹣（2x+4），
則F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，
又對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上單調(diào)遞增，
則F（x）＞0的解集為（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞）．
故答案為：（﹣1，+∞）
15．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=x+e|x|x=1+exx，x＞01+e-xx，x＜0，
據(jù)此依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，f（1）＝1+e，f（﹣1）＝1﹣e，f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，f（x）=1+exx，x＞01+e-xx，x＜0，有f（x）+f（﹣x）＝2，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，f（﹣1）＝1﹣e＜1+e，則f（x）的最小值不是e+1，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，f（x）=x+e|x|x，則f(x)f(x)-1=1+e|x|x1+e|x|-1x=1+xe|x|，
設(shè)g（x）=xe|x|，（x≠0），則g（﹣x）=-xe|x|=-g（x），則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=xex，其導(dǎo)數(shù)g′（x）=1-xex，
在區(qū)間（0，1）上，g（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上，g（x）為減函數(shù)，
則在區(qū)間（0，+∞）上，有0＜g（x）＜g（1）=1e，
則在區(qū)間（﹣∞，0）上，有-1e＜g（x）＜0，
故在區(qū)間（0，+∞）上，有1＜1+xe|x|＜1+1e，
則在區(qū)間（﹣∞，0）上，有1-1e＜g（x）＜1，
若若f(x)f(x)-1=k有兩個(gè)不等實(shí)根，則1-1e＜k＜1+1e，且k≠1，D正確；
故選：BD．
三、解答題：本大題共5小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
16．【解答】解：（1）①因?yàn)閍3＝﹣9，a10＝5，則d=a10-a310-3=5+97=2；
②an＝a3+（n﹣3）d＝﹣9+2（n﹣3）＝2n﹣15；
③Sn=n(a1+an)2=n(2-15+2n-15)2=n2-14n=(n-7)2-49，
由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)n＝7時(shí)，Sn取最小值．
（2）①因?yàn)閿?shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則an+bn=1×2n-1=2n-1，
所以，bn=2n-1-an=2n-1-(2n-15)；
②Tn=(20-a1)+(21-a2)+?+(2n-1-an)=(1+21+?+2n-1)-(a1+a2+?+an)
=1-2n1-2-Sn=2n-1-n2+14n．
17．【解答】解：（1）當(dāng)a＝3時(shí)f（x）＝2x3﹣3x2+b定義域?yàn)镽，且f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
所以當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
所以f（x）在x＝0處取得極大值，在x＝1處取得極小值，
即f（x）極大值＝f（0）＝b，f（x）極小值＝f（1）＝﹣1+b．
（2）函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+b定義域?yàn)镽，則f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），
令f′（x）＝0，解得x＝0或x=a3，
①當(dāng)a＞0時(shí)，則當(dāng)x＜0或x＞a3時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜a3時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），(a3，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，a3)；
②當(dāng)a＝0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＜a3或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)a3＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，a3)，（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(a3，0)．
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），(a3，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，a3)；
當(dāng)a＝0時(shí)f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，a3)，（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(a3，0)．
（3）因?yàn)閍＞0，由（2）可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），(a3，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，a3)，
若a3≥1，即a≥3時(shí)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[0，1]上的最小值為f（x）min＝f（1）＝2﹣a+b；
若0＜a3＜1，即0＜a＜3時(shí)，f（x）在(0，a3)單調(diào)遞減，在(a3，1)單調(diào)遞增，
所以f（x）在[0，1]的最小值為f(x)min=f(a3)=-a327+b，
所以f(x)min=2-a+b，a≥3-a327+b，0＜a＜3．
18．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝x2﹣1，g（x）＝alnx（a≠0），所以f（1）＝0，g（1）＝0．
所以點(diǎn)（1，0）同時(shí)在函數(shù)f（x），g（x）的圖像上，
因?yàn)閒（x）＝x2﹣1，g（x）＝alnx，所以f′（x）＝2x，g′(x)=ax，
由已知，得f′（1）＝g′（1），所以2=a1，即a＝2．
（2）①因?yàn)镕（x）＝f（x）﹣2g（x）＝x2﹣1﹣2alnx，（x＞0），
所以F′(x)=2x-2ax=2(x2-a)x．
i．當(dāng)a＜0時(shí)，
因?yàn)閤＞0，且x2﹣a＞0，所以F′（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）無(wú)極值；
ii．當(dāng)a＞0時(shí)，
令F′（x）＝0，解得x1=a，x2=-a（舍）．
列表得：
所以當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值，且F(a)=(a)2-1-2alna=a-1-alna．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）在x=a處取得極小值a﹣1﹣alna．
②當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（1）＝12﹣1﹣2aln1＝0，函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在(0，a)上單調(diào)遞，F(xiàn)（x）在(a，+∞)上單調(diào)遞增，
函數(shù)F（x）在x=a處取得極小值a﹣1﹣alna．
設(shè)g（a）＝a﹣1﹣alna，g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna，a∈（0，1），g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，a∈（1，+∞），g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
又 g（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，g（a）＝a﹣1﹣alna≤g（1）＝0，
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，x趨近于0時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣1﹣2alnx趨近于正無(wú)窮大，?x1∈(0，a)，F(xiàn)(x1)=0，
1∈(a，+∞)，F(xiàn)(1)=12-1-2aln1=0，函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)a＞1時(shí)，x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣1﹣2alnx趨近于正無(wú)窮大，?x2∈(a，+∞)，F(xiàn)(x2)=0，
1∈(0，a)，F(xiàn)(1)=12-1-2aln1=0，函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)a＝1時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)F（x）在x＝1處取得極小值a﹣1﹣alna＝1﹣1﹣ln1＝0，
函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
綜上，當(dāng)a＜0或a＝1時(shí)，函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1；當(dāng)a＞1或1＞a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2．
19．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝x﹣aex，所以f（0）＝﹣a，f′（x）＝1﹣aex，則f′（0）＝1﹣a，
所以函數(shù)f（x）在（0，f（0））出的切線方程為y+a＝（1﹣a）x，即y＝（1﹣a）x﹣a．
（2）由（1）得f′（x）＝1﹣aex，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上存在極值，
所以f′（x）＝1﹣aex在區(qū)間（1，+∞）上有變號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝1﹣aex在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（1）＝1﹣ae＞0，故不符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＝1﹣aex在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，f′（x）趨近于﹣∞，
故要使f′（x）＝1﹣aex在區(qū)間（1，+∞）上有變號(hào)零點(diǎn)，則f′（1）＝1﹣ae＞0，即0＜a＜1e，
綜上，a∈(0，1e)，即a的取值范圍是(0，1e)．
（3）函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，理由如下：
g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x﹣ae2﹣x，a∈(0，1e)，x∈（1，+∞），
所以g′（x）＝﹣1+ae2﹣x，
令y＝﹣1+ae2﹣x，x＞1，則y′＝﹣ae2﹣x＜0在x∈（1，+∞）恒成立，
所以函數(shù)g′（x）＝﹣1+ae2﹣x在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
由于g′(1)=-1+ae＜-1+1e?e=0，
所以函數(shù)g′（x）＝﹣1+ae2﹣x＜0在（1，+∞）上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．
20．【解答】解：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素得Δ＝a2﹣4a＝0，
解得a＝0或a＝4．
當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝x2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；
當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝x2﹣4x+4在（0，2）上單調(diào)遞減，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
綜上，f（x）＝x2﹣4x+4．
（2）由（1）知：Sn=n2-4n+4．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1．
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2﹣4n+4）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]＝2n﹣5．
∴an=1，n=12n-5，n≥2.．
（3）∵bn=(3)an+5=27，n=13n，n≥2.，∴b1＝27，b2＝9，c1=18-227，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，cn=6×32n+3n+1-3n3n×3n+1=2+2(13)n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=18-227+2(n-1)+2127(1-(13)n-1)1-1316+127+2n-(13)n+1，
Tn＞2n+t對(duì)n∈N，n≥2恒成立等價(jià)于t＜16+127-(13)n+1對(duì)n∈N，n≥2恒成立，
而16+127-(13)n+1是關(guān)于n的增函數(shù)，∴當(dāng)n＝2時(shí)，（Tn）min＝16，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是t＜16．
22 11:48:53x
(0，a)
a
(a，+∞)
F′（x）
﹣
0
+
F（x）
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)

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