考生注意：
1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．
3．本卷命題范圍：人教版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第六章結(jié)束．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)向量，，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
3．單位圓上一點(diǎn)P從出發(fā)，逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．《九章算術(shù)》是我國(guó)算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問(wèn)為田幾何?”意思是說(shuō)：“現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑16步，問(wèn)面積是多少?”在此問(wèn)題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．120
5．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值為（ ）
A．B．1C．2D．
8．克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和．已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓O的半徑為（ ）
A．4B．2C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列關(guān)系式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．若恒成立，則m的最大值為1
C．在上共有6個(gè)解D．在上單調(diào)遞增
11．點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）
A．若，則點(diǎn)O為的重心
B．若，則點(diǎn)O為的內(nèi)心
C．若，則點(diǎn)O為的垂心
D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)的外心
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．在中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若，，則______，______．
13．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值是______．
14．窗，古時(shí)亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長(zhǎng)為50cm的正方形，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則______．
第14題圖
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知．
（1）若α是第一象限角，求sinα的值；
（2）求的值．
16．（本小題滿分15分）
已知向量，，，，
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值．
17．（本小題滿分15分）
給出以下三個(gè)條件：①直線x=x1，x=x2是函數(shù)f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，②，③對(duì)任意的，．
請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．
已知函數(shù)，，______．
（1）求的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
18．（本小題滿分17分）
在中，已知，，，AC邊上的中線為BN，M為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，連接AM交BN于點(diǎn)P．
（1）用與表示，并計(jì)算AM的長(zhǎng)；
（2）求∠NPM的余弦值．
19．（本小題滿分17分）
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且；
（1）求∠PAQ的大??；
（2）求面積的最小值；
（3）某同學(xué)在探求過(guò)程中發(fā)現(xiàn)PQ的長(zhǎng)也有最小值，結(jié)合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023～2024學(xué)年第二學(xué)期安徽縣中聯(lián)盟高一3月聯(lián)考·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13．1 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．
15．解：（1）因?yàn)椋?br>所以，又，所以，
因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以?br>（2）．
16．解：（1）∵，，
∴，（顯然，否則與矛盾）
∴．（不交代扣1分）
∵，∴．
（2）∵，，
∴，（顯然，否則與矛盾）
∴．（不交代扣1分）
∵，∴．
∵且，∴．
∵，
∴，∴．
∴．
17．解：．
（1）若選條件①，直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，
且的最小值為，則，解得，則；
若選條件②，則，則，，
因此，，又，所以，則，
若選條件③，對(duì)任意的，，
則有，，解得，，
又，所以，則．
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，
再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．
由，，得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
又，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
因?yàn)?，，?br>因?yàn)殛P(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則或．
18．解：（1）∵M(jìn)為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，
∴．
∵，∴，
；
∵，，，∴，
∴，∴．
（2）∠NPM為向量與的夾角，所以，
∵AC邊上的中線為BN，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
解法二：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，，
∵AC邊上的中線為BN，∴，
∵M(jìn)為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，可得．
設(shè)，代入坐標(biāo)可解得，
且有．
（2）∠NPM為向量與的夾角，所以，
，，
，，
．
19．解：記，，則．
（1）∵，∴，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴，，
在中，，，由，
則，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
設(shè)，，則．
在中，，即，
．
∵，∴．
（2），．
∴，
∵，∴．
∵，∴當(dāng)時(shí)，面積的最小值為．
（3）設(shè)中PQ邊上的高為h，由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，
∴，即為定值，該同學(xué)猜想正確．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
B
A
C
B
題號(hào)
9
10
11
答案
BC
ACD
ABD

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