一、選擇題
1．已知，則m等于( )
A.1B.3C.1或3D.1或4
2．函數(shù)在上的圖像大致為( )
A.B.
C.D.
3．在中國地圖上，西部五?。ǜ拭C、四川、青海、新疆、西藏）如圖所示，有四種顏色供選擇，要求每省涂一色，相鄰省不同色，則不同的涂色方法有( )種.
A.48B.72C.96D.120
4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
5．3個0和2個1隨機排成一行，則2個1相鄰的概率為( )
A.B.C.D.
6．已知橢圓C：（）的左右焦點分別為、，P為橢圓上一點，，若坐標原點O到的距離為，則橢圓離心率為( )
A.B.C.D.
7．有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到A、B、C三個工廠實習(xí)，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為( )
A.12B.14C.36D.72
8．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程恰有兩個不等實根，，則的最大值為( )
A.eB.C.D.
二、多項選擇題
9．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的有( )
A.B.C.D.
10．已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前n項和，且，則( )
A.B.
C.D.、均為的最大值
11．帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則( )
A.全部投入4個不同的盒子里，共有種方法
B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種方法
C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種方法
D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
12．已知函數(shù)的定義域為，則下列說法正確是( )
A.若函數(shù)無極值，則
B.若，為函數(shù)的兩個不同極值點，則
C.存在，使得函數(shù)有兩個零點
D.當時，對任意，不等式恒成立
三、填空題
13．甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有__________種.（填數(shù)字）
14．已知的展開式中含項的系數(shù)為，則______.
15．如圖，直三棱柱中，，，P為線段上的一個動點，則的最小值是___________.
16．已知函數(shù)有三個零點，，，且有，則的值為________.
四、解答題
17．已知，.
（1）若的二項展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，求展開式中的系數(shù)；
（2）苦，且，求.
18．已知函數(shù)，，a是的極大值點.
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)的極值.
19．已知數(shù)列的前n項和為，滿足.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）若不等式2對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.
20．如圖，四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，且底面ABCD.
（1）證明：平面平面PBC；
（2）若二面角為，求AP與平面PBC所成角的正弦值.
21．已知點，，動點，滿足直線與直線的斜率之積為，記動點S的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程.
（2）設(shè)經(jīng)過點且不經(jīng)過點的直線l與曲線C相交于M，N兩點，求證:為定值.
22．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的最小值為0，求實數(shù)a的值；
（2）證明：對任意的，，恒成立.
參考答案
1．答案：C
解析：由可知:或者，解得:或.
故選：C.
2．答案：B
解析：函數(shù)定義域為，
而，且，
即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，排除選項CD；
而當時，，排除選項A，選項B符合要求.
故選：B.
3．答案：B
解析：先進行編號：新疆A、甘肅B、青海C、西藏D、四川E，
按的順序進行涂色，其中B、D顏色可以相同或不相同，
所以不同的涂色方法數(shù)有種.
故選：B.
4．答案：D
解析：因為在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
而，當且僅當時，等號成立，
所以，即，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：D.
5．答案：B
解析：將3個0和2個1隨機排成一行，只需要在5個位子中選2個放1即可，有種排法；
其中2個1相鄰，只需要將2個1捆綁，在4個位子中選1個放1即可，有種排法；
則2個1相鄰的概率為.
故選：B.
6．答案：D
解析：設(shè)，，
作，，
由題意可得，，，
即有，，由，
可得，
因為，在直角三角形中，由勾股定理得，
可得.
故選：D.
7．答案：B
解析：由題意，可分為兩種情況：
①若A廠只接收1個女生，有種分派方案，
則B、C廠分派人數(shù)可以為1，2或2，1，則有種分派方案，
由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；
②若A廠接受2個女生，只有1種分派方案，
則B、C廠分派人數(shù)為1，1，則有種分派方案，
此時共有種不同的分派方案，
綜上，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.
故選：B.
8．答案：B
解析：作出函數(shù)的圖像如下圖所示：
由圖像可知，當時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，，
，則，可得，
，
構(gòu)造函數(shù)，，
則，
當，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
，
故選：B.
9．答案：CD
解析：對于A選項，，故錯誤；
對于B選項，，故錯誤；
對于C選項，，故正確；
對于D選項，，故正確.
故選：CD.
10．答案：BD
解析：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯誤；
因為，所以，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為由題意得，，所以，，故D正確；
故選：BD.
11．答案：ACD
解析：對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種方法，A正確；
對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：
全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種方法，B錯誤；
對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種方法，C正確；
對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種方法，D正確；
故選：ACD.
12．答案：BCD
解析：對于A，若函數(shù)無極值，，，
則或恒成立，則或，
當，則，解得：或，故A不正確；
對于B，若，為函數(shù)的兩個不同極值點，，所以，
因為，則，，故B正確；
對于C，存在，使得函數(shù)有兩個零點，與有兩個交點，
在處的切線平行于軸，過原點的切線在的左側(cè)稍微旋轉(zhuǎn)后可得兩個交點，故C正確；
對于D，當時，對任意，不等式恒成立，
，
，
，，
令，
對任意恒成立，
在上單減，，
對任意恒成立，所以，
在上單減，，
對任意恒成立，故D正確.
故選：BCD.
13．答案：144
解析：第一步：現(xiàn)將除甲乙丙之外的三個人全排列，有種方法，
第二步；將甲乙捆綁看成一個整體，然后連同丙看成兩個個體，插空共有種方法，
第三步：甲乙兩個人之間全排列，
由分步乘法計數(shù)原理可得總的排法有，
故答案為：144.
14．答案：/
解析：，
又的展開式通項為，
的展開式通項為，
，解得.
故答案為：.
15．答案：
解析：將圖1中的和放置于同一個平面內(nèi)，如圖2所示，
則.
直三棱柱中，，，
在中，，.
同理，在中，，
，
在圖2中，，
，
的最小值是.
16．答案：12
解析：若，則，即，
當時，可得，不成立，故，
等式兩邊同除以，得，
即，
令，則，
，
方程有兩個不等的實根，，，，
令，則，令，，
當時，，當或時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，
如下圖所示，
函數(shù)有三個零點，，，，
，，
由圖可知，.
故答案為：12.
17．答案：（1）594
（2）
解析：（1）由于的二項展開式中第7項的二項式系數(shù)為且最大，可得，則，所以當時，故展開式中的系數(shù)為594.
（2）若，由可知當為奇數(shù)時，即x的奇次項系數(shù)為正，當為偶數(shù)時，即x的偶次項系數(shù)為負，所以，又，故.
18．答案：（1）1
（2）極大值，極小值
解析：（1）函數(shù)的定義域為，
導(dǎo)函數(shù)為，
是函數(shù)的極大值點，
，即，
解得或，
當時，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)取得極大值，符合題意；
當時，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；
綜上，.
（2）當時，，
由（1）可得當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極大值，
當時，函數(shù)取得極小值.
19．答案：（1）證明見詳解；，
（2）
解析：（1）①，
，②.
①-②得，即，
變形可得，
又，得，
故數(shù)列是以-1為首項，為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項公式可得，
，.
（2）令，則，
，
當或時，，
當，時，，
又，，
因為不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，
，解得.
20．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）在平行四邊形中，，，，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）由題意，建立空間直角坐標系，如下圖所示：
設(shè)，則，在中，，
平面，平面，，
，平面，平面，
在二面角的平面角，即，
在中，，
在平行四邊形中，，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，化簡可得，
令，，解得平面的一個法向量，
設(shè)與平面的夾角為，
.
21．答案：（1），
（2）證明見解析
解析：（1）因為，直線與直線的斜率之積為，
所以，即，，
化簡可得:，，
故曲線C的方程為:，.
（2）證明:①當直線l的斜率不存在時，直線，
與曲線C聯(lián)立可得:，，
此時，，
所以；
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線，
因為直線l經(jīng)過點且不經(jīng)過點，
所以，，設(shè)，，
聯(lián)立可得:，
所以，解得:，
由韋達定理可得:，，
因為，，
所以
，
綜上:為定值2.
22．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）當時，函數(shù)的定義域為，，
當，，單調(diào)遞減，
當，，單調(diào)遞增，
所以，可得；
當時，函數(shù)的定義域為，，
在上單調(diào)遞減，無最小值，不合題意.
綜上，.
（2）證明：由（1）可得不等式恒成立，用替代x可得，
，由，
即證，即證，
令，構(gòu)造函數(shù)，，
由，，
所以，在上單調(diào)遞減，，
所以，
由于，在，上同號，在時兩式相等，
所以，
所以對任意的，，恒成立.

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