全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第二冊(cè)第一章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A. 相同的向量B. 模相等的向量
C. 共線向量D. 共起點(diǎn)的向量
2. 已知，在上的投影為，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是兩個(gè)不共線的向量，且，則（ ）
A 三點(diǎn)共線B. 三點(diǎn)共線
C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線
4. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則其最大角為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，它們的夾角為，則（ ）
A. 4B. 12C. 2D.
6. 在中，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 平行四邊形中，，，，，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列關(guān)于平面向量的說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B. 若，則
C.
D 若，則
10. 在中，，則的面積可以是（ ）
A. B. 1C. D.
11. 若是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則下列說法不正確的是（ ）
A. 可以表示平面內(nèi)的所有向量
B. 對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)多對(duì)
C. 均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使
D. 若存在實(shí)數(shù)，使，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，則與向量平行的單位向量為__________.
13. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的外接圓的面積為__________.
14. 在平行四邊形中，是直線上的一點(diǎn)，且，若，則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證?試秷及演算步驟.
15. 已知向量，且.
（1）求的值；
（2）求向量與的夾角的余弦值.
16. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）若，的面積為，求．
17. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量且.
（1）求角；
（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.
18. 如圖，在等腰三角形中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（異于端點(diǎn)），.
（1）若是邊的中點(diǎn)，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置.
19. 在平面四邊形中（在兩側(cè)），.
（1）若，求；
（2）若，求四邊形的面積的最大值.2023~2024第二學(xué)期第一次月考試卷
高一數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第二冊(cè)第一章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A. 相同的向量B. 模相等的向量
C. 共線向量D. 共起點(diǎn)的向量
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，即可判斷得解
【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，
到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.
故選：B
2. 已知，在上的投影為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋谏系耐队盀?，可得，所?
故選：C.
3. 已知是兩個(gè)不共線的向量，且，則（ ）
A. 三點(diǎn)共線B. 三點(diǎn)共線
C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量運(yùn)算與共線定理即可得.
【詳解】，故，則，
又因?yàn)閮上蛄坑泄颤c(diǎn)，
故三點(diǎn)共線.
故選：A.
4. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則其最大角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形大邊對(duì)大角原則和余弦定理直接求解即可.
【詳解】設(shè)，則，，
，最大，
，，.
故選：C.
5. 已知向量，它們的夾角為，則（ ）
A. 4B. 12C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件求出，再由化簡(jiǎn)計(jì)算即可
【詳解】因?yàn)橄蛄?，它們的夾角為，
所以，
所以.
故選：C.
6. 在中，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根據(jù)正弦定理可求的值．
【詳解】∵，
∴由余弦定理可得：
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故選:B
7. 如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知.
故選：C.
8. 在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以為基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.
【詳解】
，，
.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列關(guān)于平面向量的說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B. 若，則
C.
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量的坐標(biāo)表示，判斷A；賦值法，判斷B、D；由數(shù)量積公式結(jié)合數(shù)乘運(yùn)算判斷C；
【詳解】設(shè)，
則，，
，
，
所以，故正確；
若，則不能推出錯(cuò)誤；
表示與共線的向量，表示與共線的向量，而與關(guān)系不定，且與大小不定，所以C錯(cuò)誤；
若，且，則與是任意向量，故D錯(cuò).
故選：BCD
10. 在中，，則的面積可以是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．
【詳解】解：∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面積公式得或，
故選：AD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
11. 若是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法不正確的是（ ）
A. 可以表示平面內(nèi)的所有向量
B. 對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)多對(duì)
C. 均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使
D. 若存在實(shí)數(shù)，使，則
【答案】BC
【解析】
【分析】運(yùn)用平面向量基本定理可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)、D項(xiàng)，通過舉反例可判斷C項(xiàng).
【詳解】由題意可知：可以看成一組基底向量，根據(jù)平面向量基本定理可知：A項(xiàng)、D項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)任意實(shí)數(shù)均有，故C項(xiàng)不正確.
故選：BC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，則與向量平行的單位向量為__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用與向量平行的單位向量為，求解即可
【詳解】因?yàn)?，所以，所以與向量平行的單位向量為或.
故答案為：或
13. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的外接圓的面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角形面積公式平方關(guān)系公式、正弦定理計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，
根據(jù)余弦定理得即，即，
又，所以，
設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，
所以的外接圓的面積為.
故答案為：.
14. 在平行四邊形中，是直線上的一點(diǎn)，且，若，則__________.
【答案】3
【解析】
【分析】將向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化得，從而得解.
【詳解】記，又，所以，所以，
解得.
故答案為：3
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證?試秷及演算步驟.
15. 已知向量，且.
（1）求的值；
（2）求向量與的夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用平面向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
（2）運(yùn)用平面向量夾角公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，解得
故的值為3.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故與的夾角的余弦值為.
16. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求角；
（2）若，的面積為，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得，在求解即可得答案；
（2）由面積公式得，進(jìn)而根據(jù)題意得，，再根據(jù)余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因，則，
所以，即，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)榈拿娣e為，，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得.
所以.
17. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量且.
（1）求角；
（2）若，求內(nèi)切圓半徑.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理邊角互化，求得，即可求得；
（2）利用余弦定理求得，利用等面積法，結(jié)合三角形面積公式，即可求得內(nèi)切圓半徑.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理得，所以，解得或（舍），
所以的面積，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
所以，解得.
18. 如圖，在等腰三角形中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（異于端點(diǎn)），.
（1）若是邊的中點(diǎn)，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置.
【答案】（1）
（2）是線段靠近處的四等分點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）用、作為基底分別表示、，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可.
（2）設(shè)，則，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可.
【小問1詳解】
由題意知，
由于是邊的中點(diǎn)，因此，
因此.
【小問2詳解】
不妨設(shè)，因此，
又，
所以
解得，即，
故是線段靠近處的四等分點(diǎn).
19. 在平面四邊形中（在的兩側(cè)），.
（1）若，求；
（2）若，求四邊形的面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之間的關(guān)系，在中用正弦定理可求出；
（2）將四邊形，分成，，的面積為定值，的面積可用余弦定理與三角形面積公式求出最大值.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理得，
即.
因?yàn)?，，所以?br>又，所以.
在中，由正項(xiàng)定理得，
所以，
又，所以，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，所以.
在中，由余弦定理得.
所以的面積
，
所以，此時(shí)，
又的面積，
所以四邊形的面積的最大值為

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