1.已知平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，則x等于( )
A. ?1B. 1C. 9D. ?9
2.已知|a|=|b|=3，e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為32e，則a與b的夾角為( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.秦九韶是我國南宋時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，他在著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長(zhǎng)計(jì)算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，即在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊，S△ABC=12 (ab)2?(a2+b2?c22)2=12 (bc)2?(b2+c2?a22)2=12 (ac)2?(a2+c2?b22)2，若c2=2sinCsinA，csB=35，a>b>c，則利用“三斜求積術(shù)”求△ABC的面積為( )
A. 54B. 34C. 35D. 45
4.如圖在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D被陰影遮住，請(qǐng)找出D點(diǎn)的位置，計(jì)算AB?AD的值為( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
5.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面積為154 3，則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A. 15B. 12C. 16D. 20
6.在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中點(diǎn)，AM=2 3，則AC=( )
A. 2 13B. 4C. 3 13D. 4 13
7.在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△ABC，使得AB?CE=0；②存在△ABC，使得CE//(CB+CA)；它們的成立情況是( )
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
8.在△ABC中，點(diǎn)D滿足AD=13DB且CD⊥CB，則當(dāng)角A最大時(shí)，csA的值為( )
A. ?45B. 35C. 45D. 5 3434
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說法中正確的是( )
A. AB+BA=0
B. 若a，b為單位向量，則a=b
C. 若a/?/b、b/?/c，則a/?/c
D. 對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b，若|a+b|=|a?b|，則a⊥b
10.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,1)，c=(2,t)，下列說法正確的是( )
A. 若(a+b)//c，則t=6
B. 若(a+b)⊥c，t=23
C. |a+c|≥3
D. 若tcsB恒成立
C. 若B=π3，a=2 3，且△ABC有兩解，則b的取值范圍是(3,2 3)
D. 若∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，BD=1，則4a+c的最小值為9
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.設(shè)平面向量AB=(3,?6)，點(diǎn)A(?1,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．
13.為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1km處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查某區(qū)一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西 3km有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，如果以每小時(shí)12km的速度沿公路行駛，則最長(zhǎng)需要______分鐘檢查員開始收不到信號(hào)．
14.設(shè)e1，e2為單位向量，滿足|2e1?e2|≤ 2，a=e1+e2，b=3e1+e2，設(shè)a，b的夾角為θ，則cs2θ的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a，b滿足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a與b的夾角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
16.(本小題15分)
已知在△ABC中，N是邊AB的中點(diǎn)，且4BM=BC，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P.記AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AM，CN；
(2)若2|a|=|b|，且CP⊥AB，求?a,b?的余弦值．
17.(本小題15分)
在△ABC中，已知3csinA=4bsinC，csC=23；
(1)證明：△ABC為等腰三角形；
(2)若△ABC的面積為2 5，點(diǎn)D在線段AB上，且BD=2DA，求CD的長(zhǎng)．
18.(本小題17分)
在△ABC中，AC= 13,D為∠ABC的角平分線上一點(diǎn)，且與B分別位于邊AC的兩側(cè)，若∠ADC=150°，AD=2．
(1)求△DAC的面積；
(2)若∠ABC=120°，求BD的長(zhǎng)．
19.(本小題17分)
已知a1，a2是平面內(nèi)任意兩個(gè)非零不共線向量，過平面內(nèi)任一點(diǎn)O作OA1=a1，OA2=a2，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA1、OA2為x、y軸的正半軸，建立平面坐標(biāo)系，如圖(1).我們把這個(gè)由基底a1，a2確定的坐標(biāo)系xOy稱為基底{a1,a2}坐標(biāo)系xOy.當(dāng)向量a1，a2不垂直時(shí)，坐標(biāo)系xOy就是平面斜坐標(biāo)系，簡(jiǎn)記為{O；a1,a2}.對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，使得OP=xa1+ya2，則稱實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)為點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系{O；a1,a2}中的坐標(biāo)．

今有斜坐標(biāo)系{O；e1,e2}(長(zhǎng)度單位為米，如圖(2))，且|e1|=|e2|=1，?e1,e2?=120°，設(shè)Op=(1,2)
(1)計(jì)算|OP|的大??；
(2)質(zhì)點(diǎn)甲在x上距O點(diǎn)4米的點(diǎn)A處，質(zhì)點(diǎn)乙在y上距O點(diǎn)1米的點(diǎn)B處，現(xiàn)在甲沿x的方向，乙沿y的方向同時(shí)以3米/小時(shí)的速度移動(dòng)．
①若過2小時(shí)后質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)C點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)D點(diǎn)，請(qǐng)用e1，e2，表示CD；
②若t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)M點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)N點(diǎn)，求兩質(zhì)點(diǎn)何時(shí)相距最短，并求出最短距離．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，
可得x=3×3=9．
故選：C．
直接利用向量共線的充要條件列出方程求解即可．
本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，設(shè)a與b的夾角為θ，由數(shù)量積的計(jì)算公式求出a?b，進(jìn)而可得csθ的值，結(jié)合θ的范圍分析可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，設(shè)a與b的夾角為θ，若向量a在向量b上的投影向量為32e，則a?b=32e?b=92，則有csθ=a?b|a|?|b|=12，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°．
故選：B．
3.【答案】D
【解析】解：因?yàn)閏2=2sinCsinA，由正弦定理asinA=csinC得：c2=2ca，則ac=2，
又由余弦定理csB=a2+c2?b22ac=35，得：a2+c2?b22=35ac=65，
則由“三斜求積術(shù)”得S△ABC=12 (ac)2?(a2+c2?b22)2=12 4?(65)2=45，
故選：D．
由正弦定理可得ac=2，由余弦定理可得a2+c2?b22=65，再結(jié)合已知“三斜求積術(shù)”即可求△ABC的面積．
本題主要考查解三角形，屬于中檔題．
4.【答案】B
【解析】解：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，
平行四邊形ABCD，則AB=DC，
設(shè)D(x,y)，
∴(4,1)=(6?x,4?y)，
∴4=6?x，1=4?y，
解得x=2，y=3，
∴D(2,3)，
∴AB?AD=2×4+3×1=11，
故選：B．
以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)四邊形為平行四邊形可得AB=DC，即可求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算即可．
本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：因?yàn)锳=120°，b=5，且△ABC的面積為154 3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×5c× 32=154 3，解得c=3，
由余弦定理a2=b2+c2?2bccsA=52+32?2×5×3×(?12)=49，
所以a=7，則C△ABC=a+b+c=15．
故選：A．
由面積公式求出c，由余弦定理求出a，即可得解．
本題考查三角形面積公式的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
6.【答案】A
【解析】解：因?yàn)椤螧=60°，AB=2，M是BC的中點(diǎn)，AM=2 3，
所以在△ABM中，由余弦定理AM2=AB2+BM2?2AB?BM?csB，可得12=4+BM2?2×2×BM×12，整理可得BM2?2BM?8=0，
解得BM=4，或?2(舍去)，
所以BC=2BM=8，
所以由余弦定理可得AC= AB2+BC2?2AB?BC?csB= 22+82?2×2×8×12=2 13．
故選：A．
由題意在△ABM中，由余弦定理可得BM2?2BM?8=0，解方程可得BM的值，從而可求BC的值，進(jìn)而由余弦定理可得AC的值．
本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】B
【解析】解：不妨設(shè)A(2x,2y)，B(?1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，
①AB=(?1?2x,?2y)，CE=(x?1,y)，
若AB?CE=0，則?(1+2x)(x?1)?2y2=0，即?(1+2x)(x?1)=2y2，
滿足條件的(x,y)存在，例如(0, 22)，滿足上式，所以①成立；
②F為AB中點(diǎn)，(CB+CA)=2CF，CF與AD的交點(diǎn)即為重心G，
因?yàn)镚為AD的三等分點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，
所以CE與CG不共線，即②不成立．
故選：B．
設(shè)A(2x,2y)，B(?1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；F為AB中點(diǎn)，可得(CB+CA)=2CF，由D為BC中點(diǎn)，可得CF與AD的交點(diǎn)即為重心G，從而可判斷②
本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC中，設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，∵點(diǎn)D滿足AD=13DB∴AD=c4，BD=3c4，
Rt△BCD中，csB=aBD=4a3c．
△ABC中，由余弦定理可得csB=a2+c2?b22ac，∴a2+c2?b22ac=4a3c，∴a2=25(c2?b2).
csA=b2+c2?a22bc=4b2+c25bc．
由于A為銳角，當(dāng)角A最大時(shí)，csA=4b2+c25bc 最小．
再利用基本不等式可得4b2+c25bc≥4bc5bc=45，當(dāng)且僅當(dāng)2b=c時(shí)，等號(hào)成立，
故csA的最小值為45，
故選：C．
由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出csB的值，△ABC中利用余弦定理求得csB的值，可得a2=25(c2?b2)，可得csA的解析式，再利用基本不等式求出它的最小值，即為所求．
本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
9.【答案】AD
【解析】解：選項(xiàng)A，根據(jù)相反向量，知AB+BA=0，
故A正確；
選項(xiàng)B，由a，b為單位向量，
即|a|=|b|=1，
而a，b方向不一定相同，
故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，規(guī)定零向量與任意向量共線，
即當(dāng)b=0時(shí)，
則a/?/b，且b/?/c均成立，
而a，c為任意向量，它們不一定共線，
故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，由|a+b|=|a?b|，
得|a+b|2=|a?b|2，
則a2+2a?b+b2=a2?2a?b+b2，
整理得a?b=0，
又已知a，b是兩個(gè)非零向量，
故a⊥b．
故D正確．
故選：AD．
A項(xiàng)，由相反向量與加法運(yùn)算幾何意義可得；B項(xiàng)，單位向量a，b的方向不一定相同；C項(xiàng)，由零向量的規(guī)定它與任何向量共線可得；D項(xiàng)，兩邊平方展開化簡(jiǎn)可得．
本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量模的運(yùn)算，屬中檔題．
10.【答案】BC
【解析】解：由a=(1,2),b=(?2,1),c=(2,t)，則a+b=(?1,3)，
對(duì)于A，若(a+b)//c，則?t?3×2=0，t=?6，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若(a+b)⊥c，則?2+3t=0,t=23，故B正確；
對(duì)于C，a+c=(3,t+2),|a+c|= 9+(t+2)2≥3，故C正確；
對(duì)于D，若tπ2?B>0，
由正弦函數(shù)y=sinx在(0,π2)單調(diào)遞增，則sinA>sin(π2?B)=csB，
故B正確．
選項(xiàng)C，如圖，若△ABC有兩解，則asinB

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