第I卷（選擇題 共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知，是全集的兩個(gè)非空子集，若，則下列說法可能正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．1D．
4．2023年10月31日，神州十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天的熱愛．某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，眾數(shù)為，則（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線與所成角為，則（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
7．已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù)，，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A．4為的一個(gè)周期
B．
C．由，可知
D．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為0
10．已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，則（ ）
A．
B．若，則的最小正周期為
C．關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
D．若在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
11．在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則（ ）
A．對(duì)于任意的，都有B．對(duì)于任意的，不可能為常數(shù)列
C．若，則為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知向量，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上找一個(gè)點(diǎn)，使得取最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則________．
14．若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”，若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為________．
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（13分）
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若線段上一點(diǎn)滿足，，求的長度．
16．（15分）
如圖，在三棱柱中，平面平面，，，．
（1）若，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）
在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：（，）的離心率為，實(shí)軸長為4．
（1）求的方程；
（2）如圖，為的下頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于軸（位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過的直線交于，兩點(diǎn)，直線，分別與交于，兩點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．（17分）
某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲、乙兩地的一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣的某項(xiàng)指標(biāo)值滿足時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過疫苗的小白鼠中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過疫苗小白鼠的總體，設(shè)．
（1）求，；
（2）小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過疫苗的只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)的可能值（以使得最大的的值作為的估計(jì)值）；
（3）對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組只小白鼠混合血樣的值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為元．試給出的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．
附：若，則，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
19．（17分）
已知函數(shù)，．
（1）若是的極值點(diǎn)，求的值；
（2）判斷的單調(diào)性；
（3）已知有兩個(gè)解，．
（i）直接寫出的取值范圍（無需過程）；
（ii）為正實(shí)數(shù)，若對(duì)于符合題意的任意，，當(dāng)時(shí)，都有，求的取值范圍．
參考答案及解析
一、選擇題
1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D
二、選擇題
9．ABD 10．ABD 11．ACD
三、填空題
12． 13．70 14．
四、解答題
15．解：（1）由及正弦定理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>（2）由題設(shè)，，
則，，，
在中，，即，
所以，
即，
所以，即，所以，
解得，，
在等腰三角形中，取的中點(diǎn)，連接，則，
則．
16．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）解：因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面?br>所以直線與平面所成角為，則．
在中，不妨設(shè)，
則，，連接．
因?yàn)?，所以?br>又平面平面，所以平面平面，
且平面平面，平面，故平面．
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，．
設(shè)平面的法向量為，
則即不妨取，則．
易知平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
17．解：（1）因?yàn)閷?shí)軸長為4，即，，
又，所以，，
故的方程為．
（2）由，，，四點(diǎn)共圓可知，，
又，即，
故，
即，所以，
設(shè)，，，
由題意可知，則直線：，直線：，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，代入直線的方程，可知，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，
又，，所以，
整理可得，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，
故設(shè)直線：，代入的方程可得，
所以，，
又，
所以，
故，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
18．解：（1）解法一：記甲地小白鼠樣本的值平均數(shù)為，方差為，記乙地小白鼠樣本的值平均數(shù)為，方差為，
則，，，，
所以，．
解法二：記甲地小白鼠樣本的值分別為，，…，，平均數(shù)為，方差為，記乙地小白鼠樣本的值分別為，，…，，平均數(shù)為，方差為，
因?yàn)椋?，，?br>所以．
由，，
可得，
同理，
于是．
（2）解法一：因?yàn)?，所以?br>從注射過疫苗的小白鼠中取出只，其中產(chǎn)生抗體的有只，則，
（，1，2，…，）．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即，
則．
由等價(jià)于，當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)或時(shí)，最大，所以的估計(jì)值為149或150．
解法二：因?yàn)椋裕?br>從注射過疫苗的小白鼠中取出只，其中產(chǎn)生抗體的有只，則，
（，1，2，…，）．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
若，則．
若，則
化簡(jiǎn)得解得．
綜上，的估計(jì)值為149或150．
（3）記只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用為元，當(dāng)只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，，當(dāng)只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，，
則，．因此，
因?yàn)?，所以?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，的估計(jì)值為10．
19．解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，即，故．
此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則是的極值點(diǎn)，滿足題意．綜上，．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，令0，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）（i）由，得，即有兩個(gè)解，．
令，則，且在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則在上沒有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的極大值為，
為使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得．
當(dāng)時(shí)，易知，
因?yàn)?，所以?br>又在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則，
再令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
故在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以，即?br>即，即，故，
所以，故，
又在上單調(diào)遞減，所以在有唯一零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，時(shí)，，即．
（ii）由（i）得，，故，
又，所以，即，
即，故，
令，則，故，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立；
當(dāng)，，而，
當(dāng)時(shí)，，
故存在，使得，使得，
故在為減函數(shù)，故，矛盾，舍．
綜上，，即的取值范圍為．

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