（考試時間100分鐘，滿分120分）
參考公式：二次函數(shù)
圖像的頂點坐標，即
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個答案，只有一個是正確的，將正確的選項代碼填入括號中．）
1．要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．下列調(diào)查項目中：①了解某班50名學(xué)生的體重情況；②選出某校短跑最快的學(xué)生參加全市比賽；③調(diào)查中央電視臺新聞聯(lián)播的收視率；④調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力.適宜抽樣調(diào)查的項目是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
3．如圖，以點為位做中心，將放大后得到，，．若的面積為，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐標系中，將點平移到點處，正確的移動方法是（ ）
A．向右平移3個單位長度，向上平移5個單位長度
B．向右平移3個單位長度，向下平移5個單位長度
C．向左平移3個單位長度，向下平移5個單位長度
D．向左平移3個單位長度，向上平移5個單位長度
5．方程的根是（ ）
A．B．
C．，D．，
6．關(guān)于的圖象，下列敘述正確的是（ ）
A．其圖像開口向左B．其最小值為20
C．當時隨增大而減小D．其圖像的對稱軸為直線
7．如圖中，不規(guī)則小圖形是一座山的地形圖．現(xiàn)施工隊沿方向開山修路，而且要在小山的另一邊同時施工．在上取一點，使得．已知米，，點，，在同一條直線上，那么開挖點離點的距離是（ ）
A，米B．米C．米D．米
8．物理學(xué)中，電源、電奵、開關(guān)形成閉合回路，電燈新會發(fā)光．如圖，電路圖上有4個開關(guān)、、、和1個小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下，只閉合2個開關(guān)的操作下，“小燈泡發(fā)光”是隨機事件，其概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，為的直徑，與相切于點．交的延長線于點，若，，則線段的長是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．圖形結(jié)合法既可以由數(shù)解決形的問題，也可以由形解決數(shù)的問題．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．二次函數(shù)的頂點坐標為______．
12．______．
13．如圖，點、、都在半徑為3的圓上，若，則劣弧的長度為______．
14．現(xiàn)有一副三角板，即含30°的和含45°的，如圖放置，點在上滑動，交于，交于，且在滑動過程中始終保持在線段上，且．若，設(shè)，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)表達式是______．（結(jié)果化為一般式，不必寫的取值范圍．）
15．在中，，若于，，，則為______．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分．）
16．（本題滿分10分）
（1）；
（2）．
17．（本題滿分9分）
已知等邊內(nèi)接于，為弧的中點，連接、，過作的平行線，交的延長線于點．
（1）求證：與相切；
（2）若，求的邊長．
18．（本題滿分9分）汝陽某商場今年年初以每件10元的進價購進一批商品．當商品售價為20元時，一月份銷售2250件，三月份銷售3240件．設(shè)二月份和三月份該商品銷售的月平均增長率相等．
（1）求二月份和三月份該商品的月平均增長率；
（2）從四月初起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷售量的基礎(chǔ)上，該商品每降價1元，銷售量增加50件，當商品降價多少元時，商場獲利29610元？
19．（本題滿分9分）某校組織七、八年級學(xué)生參加廠“科教興國、強國在我”科普知識競賽．現(xiàn)該校從七、八年級學(xué)生中分別隨機抽取了20名學(xué)生的競賽成績進行整理、描述和分析（成績得分用表示，共分為五組：，，，），下面給出了部分信息：
七年級20名學(xué)生的成績是：
69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．
八年級20名學(xué)生的成績在組中的數(shù)據(jù)是：
83，85，85，86，87，89，89，89，89．
七、八兩年級抽取的學(xué)生成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出圖表中、、的值：______，______，______．
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為七年級和八年級中哪個年級的學(xué)生掌握科普知識較好？請說明理由（一條理由即可）；
（3）該校七年級有400名學(xué)生和八年級有500名學(xué)生參加了此次科普知識競賽，請估計兩個年級成績達到90分及以上的學(xué)生共有多少人？
20．（本題滿分9分）目前，我國的太空站是世界上僅有的兩個太空站之一，它為我國的科學(xué)實驗提供了極大的支持．2023年5月，“神舟十六號”載人飛船成功把三名航天員送入到我國空間站，為了觀察飛船的發(fā)射情況，科學(xué)家預(yù)設(shè)了兩個飛船上升位置與．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當飛船到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是8km，仰角為30°，10s后飛船到達點時，測得仰角為45°．
（1）求點離地面的高度；
（2）求飛船從點到點的平均速度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）
21．（本題滿分9分）如圖所示，將矩形紙片沿折疊得到，且點恰好落在上．
（1）求證：，
（2）若，求的值．
22．（本題滿分10分）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于、兩點，交軸于點．
（1）求拋物線表達式中的、；
（2）點是直數(shù)上方拋物線上的一動點，過點作軸交于點，作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；
（3）將該拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，請直接寫出新拋物線的表達式______．
23．（本題滿分10分）同學(xué)們，“在同一個圓中，同弧對的圓周角相角”，這個命題的逆命題是“在一條線段的同側(cè)，若干個點對線段兩端點張角相等，那么這些點與線段的兩端是共圓的”．這是真命題．如右圖，若，則、、、共圓．這個命題可以解決很多問題．
（1）如圖1，和均為正三角形，、、三點共線，的度數(shù)是______，線段、之間的數(shù)量關(guān)系是______．
（2）如圖2，在等腰直角和等腰直角中，，、、三點共線，線段、交于點．求出的度數(shù)．
（3）如圖3所示，在中，，，，連結(jié)，，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當所在直線與直線交于點時，請直接寫出的長．
汝陽縣2024年中招第一次模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1-5 ADDBC6-10 DACAD
二、填空題（每小題3分，共15分）
11． 12．2024 13． 14． 15．1或5
三、解答題（本大題共8小題，滿分75分．）
16．（本題滿分10分）
解：（1）原式．
（2）原式．
17．（本題滿分9分）
（1）證明：連接，，
是等邊三角形，
，
，，
，，
，
與相切；
（2）四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，．
是弧的中點，，
，
，，即的邊長為6．
18．（本題滿分9分）
（1）解：二、三這兩個月的月平均增長率為，
根據(jù)題意可得：，
解得：或（不合題意舍去）．
答：二、三這兩個月的月平均增長率為20%；
（2）設(shè)當商品降價元時，商品獲利29610元，
根據(jù)題意可得：，
解得：，（不合題意舍去）．
答：當商品降價1元時，商品獲利29610元．
19．（本題滿分9分）
解：（1）86，88，30；
（2）八年級的學(xué)生掌握科普知識較好．
理由：七年級和八年級抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)相同，但八年級的中位數(shù)比七年級的中位數(shù)大，所以八年級的學(xué)生掌握科普知識較好．（理由合理均給分）
（3）（人）．
兩個年級成績達到90分及以上的學(xué)生一共約有290人．
20．（本題滿分9分）
（1）解：在中，，，．
，．
在中，，，
．（兩個數(shù)值都給分）
（2）在中，，
在，，
，
飛船從處到處的平均速度．
21．（本題滿分9分）
（1）證明：四邊形是矩形，
，．
矩形紙片沿折疊得到，且點在上，
，
，
．．
（2）解：在中，，
設(shè)，則，．
矩形紙片沿折疊得到，且點在上，
，，
，，
，
．
．．
22．（本題滿分10分）
解：（1）拋物線過點和點，
，
解這個方程組，得，，．
（2）延長交軸于點．
設(shè)直線的表達式為．
，解這個方程組，得，
直線的表達式為．
、，，，
，，
，
由（1）知拋物線．設(shè)，則，
當時，取得最大值為，此時．
（3）．
23．（本題滿分10分）
解：（1）60°，；
（2）解法1：
和均為等腰直角三角形，
，
解法2：
，
，，
在中，，在中，，
， ，
又，，
，，，
，，
，；
解法2：
、、、四點共圓
又在中
又在中，
、、、四點共圓

在中
（3）或
班級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
滿分率
七年級
87
86
10%
八年級
87
89
15%

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